3. 已知：如图，$AB// CD$，$BC// DE$．求证：$\angle B+\angle CDE = 180^{\circ}$．
答案：证明：$\because AB// CD$，$\therefore \angle B=\angle C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BC// DE$，$\therefore \angle C+\angle CDE=180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\therefore \angle B+\angle CDE = 180^{\circ}$（等量代换）。
$\because BC// DE$，$\therefore \angle C+\angle CDE=180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\therefore \angle B+\angle CDE = 180^{\circ}$（等量代换）。
4. 已知：如图，在直角三角形ABC中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，D是AB上一点，且$\angle ACD=\angle B$．求证：$CD⊥ AB$．
答案：证明：$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle A+\angle B=90^{\circ}$。
$\because \angle ACD=\angle B$，$\therefore \angle A+\angle ACD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ACD$中，$\angle ADC=180^{\circ}-(\angle A+\angle ACD)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，$\therefore CD⊥ AB$。
$\because \angle ACD=\angle B$，$\therefore \angle A+\angle ACD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ACD$中，$\angle ADC=180^{\circ}-(\angle A+\angle ACD)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，$\therefore CD⊥ AB$。
5. 已知：如图，AD平分$\angle BAC$，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且$\angle AGF=\angle F$．求证：$EF// AD$．
答案：证明：$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD=\angle CAD$。
$\because \angle AGF=\angle F$，$\angle AGF=\angle BGE$（对顶角相等），$\therefore \angle BGE=\angle F$。
$\because \angle BAC$是$\triangle AGF$的外角，$\therefore \angle BAC=\angle AGF+\angle F = 2\angle F$。
又$\angle BAC = 2\angle CAD$，$\therefore 2\angle CAD=2\angle F$，$\angle CAD=\angle F$，$\therefore EF// AD$（同位角相等，两直线平行）。
$\because \angle AGF=\angle F$，$\angle AGF=\angle BGE$（对顶角相等），$\therefore \angle BGE=\angle F$。
$\because \angle BAC$是$\triangle AGF$的外角，$\therefore \angle BAC=\angle AGF+\angle F = 2\angle F$。
又$\angle BAC = 2\angle CAD$，$\therefore 2\angle CAD=2\angle F$，$\angle CAD=\angle F$，$\therefore EF// AD$（同位角相等，两直线平行）。
6. 已知：如图，直线EF分别交AB，AC和CB的延长线于点D，E，F，$\angle F+\angle FEC=\angle A+\angle ABC$．求证：$\angle F+\angle FEC = 2\angle A$．
答案：证明：在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle C=180^{\circ}$，$\therefore \angle A+\angle ABC=180^{\circ}-\angle C$。
在$\triangle EFC$中，$\angle F+\angle FEC+\angle C = 180^{\circ}$，$\therefore \angle F+\angle FEC=180^{\circ}-\angle C$。
$\therefore \angle F+\angle FEC=\angle A+\angle ABC$（已知），又$\angle A+\angle ABC=180^{\circ}-\angle C$，$\angle F+\angle FEC=180^{\circ}-\angle C$，所以$\angle F+\angle FEC=\angle A+\angle ABC$，无法直接得出$\angle F+\angle FEC = 2\angle A$，题目条件可能存在误差或需补充条件。
在$\triangle EFC$中，$\angle F+\angle FEC+\angle C = 180^{\circ}$，$\therefore \angle F+\angle FEC=180^{\circ}-\angle C$。
$\therefore \angle F+\angle FEC=\angle A+\angle ABC$（已知），又$\angle A+\angle ABC=180^{\circ}-\angle C$，$\angle F+\angle FEC=180^{\circ}-\angle C$，所以$\angle F+\angle FEC=\angle A+\angle ABC$，无法直接得出$\angle F+\angle FEC = 2\angle A$，题目条件可能存在误差或需补充条件。
7. 证明：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．
答案：证明：设两条平行线为AB，CD，被第三条直线EF所截，交点分别为G，H，$\angle BGH$和$\angle DHG$是同旁内角，GM平分$\angle BGH$，HN平分$\angle DHG$。
$\because AB// CD$，$\therefore \angle BGH+\angle DHG=180^{\circ}$。
$\because GM$平分$\angle BGH$，$\therefore \angle MGH=\frac{1}{2}\angle BGH$。
$\because HN$平分$\angle DHG$，$\therefore \angle NHG=\frac{1}{2}\angle DHG$。
$\therefore \angle MGH+\angle NHG=\frac{1}{2}(\angle BGH+\angle DHG)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle GKH$中（K为GM与HN的交点），$\angle GKH=180^{\circ}-(\angle MGH+\angle NHG)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，$\therefore GM⊥ HN$，即同旁内角的平分线互相垂直。
$\because AB// CD$，$\therefore \angle BGH+\angle DHG=180^{\circ}$。
$\because GM$平分$\angle BGH$，$\therefore \angle MGH=\frac{1}{2}\angle BGH$。
$\because HN$平分$\angle DHG$，$\therefore \angle NHG=\frac{1}{2}\angle DHG$。
$\therefore \angle MGH+\angle NHG=\frac{1}{2}(\angle BGH+\angle DHG)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle GKH$中（K为GM与HN的交点），$\angle GKH=180^{\circ}-(\angle MGH+\angle NHG)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，$\therefore GM⊥ HN$，即同旁内角的平分线互相垂直。
8. 判断命题的真假，并说明理由：任何正数的平方都大于这个数本身．
答案：假命题，反例：$(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}$。
9. 证明：一个数加上一个负数比原来的数小．
答案：证明：设这个数为$a$，负数为$-b$（$b＞0$），则$a+(-b)=a - b$。
$\because b＞0$，$\therefore a - b＜a$，即一个数加上一个负数比原来的数小。
$\because b＞0$，$\therefore a - b＜a$，即一个数加上一个负数比原来的数小。
10. 已知：m是正整数，且$m^{2}$是偶数．求证：m是偶数．
答案：证明：假设m是奇数，设$m = 2n+1$（n是整数），则$m^{2}=(2n + 1)^{2}=4n^{2}+4n + 1=4n(n + 1)+1$。
$\because 4n(n + 1)$是偶数，$\therefore 4n(n + 1)+1$是奇数，即$m^{2}$是奇数，这与已知$m^{2}$是偶数矛盾，故假设不成立，$\therefore m$是偶数。
$\because 4n(n + 1)$是偶数，$\therefore 4n(n + 1)+1$是奇数，即$m^{2}$是奇数，这与已知$m^{2}$是偶数矛盾，故假设不成立，$\therefore m$是偶数。