练习 1. 计算：
（1）$(a + 1)(b + 1)$；
（2）$(x - 2)(x - 3)$；
（3）$(4x + 2)(x - 2)$；
（4）$(1 - 2x)(2 + 3x)$。
（1）$(a + 1)(b + 1)$；
（2）$(x - 2)(x - 3)$；
（3）$(4x + 2)(x - 2)$；
（4）$(1 - 2x)(2 + 3x)$。
答案：（1）$ab + a + b + 1$
解析：$(a + 1)(b + 1)=a· b+a·1 + 1· b + 1·1=ab + a + b + 1$。
（2）$x^{2}-5x + 6$
解析：$(x - 2)(x - 3)=x· x+x·(-3)+(-2)· x+(-2)·(-3)=x^{2}-3x - 2x + 6=x^{2}-5x + 6$。
（3）$4x^{2}-6x - 4$
解析：$(4x + 2)(x - 2)=4x· x+4x·(-2)+2· x+2·(-2)=4x^{2}-8x + 2x - 4=4x^{2}-6x - 4$。
（4）$-6x^{2}-x + 2$
解析：$(1 - 2x)(2 + 3x)=1·2+1·3x+(-2x)·2+(-2x)·3x=2 + 3x - 4x - 6x^{2}=-6x^{2}-x + 2$。
解析：$(a + 1)(b + 1)=a· b+a·1 + 1· b + 1·1=ab + a + b + 1$。
（2）$x^{2}-5x + 6$
解析：$(x - 2)(x - 3)=x· x+x·(-3)+(-2)· x+(-2)·(-3)=x^{2}-3x - 2x + 6=x^{2}-5x + 6$。
（3）$4x^{2}-6x - 4$
解析：$(4x + 2)(x - 2)=4x· x+4x·(-2)+2· x+2·(-2)=4x^{2}-8x + 2x - 4=4x^{2}-6x - 4$。
（4）$-6x^{2}-x + 2$
解析：$(1 - 2x)(2 + 3x)=1·2+1·3x+(-2x)·2+(-2x)·3x=2 + 3x - 4x - 6x^{2}=-6x^{2}-x + 2$。
练习 2. 计算：
（1）$(4 - 3x)(4 + 3x)$；
（2）$n(n - 2)(n + 2)$。
（1）$(4 - 3x)(4 + 3x)$；
（2）$n(n - 2)(n + 2)$。
答案：（1）$16 - 9x^{2}$
解析：$(4 - 3x)(4 + 3x)=4^{2}-(3x)^{2}=16 - 9x^{2}$。
（2）$n^{3}-4n$
解析：$n(n - 2)(n + 2)=n[(n - 2)(n + 2)]=n(n^{2}-4)=n^{3}-4n$。
解析：$(4 - 3x)(4 + 3x)=4^{2}-(3x)^{2}=16 - 9x^{2}$。
（2）$n^{3}-4n$
解析：$n(n - 2)(n + 2)=n[(n - 2)(n + 2)]=n(n^{2}-4)=n^{3}-4n$。
练习 3. 一块长方形地砖的长、宽分别为$a\ \mathrm{cm}$，$b\ \mathrm{cm}(a\gt2,b\gt2)$。如果长、宽各截去$2\ \mathrm{cm}$，那么剩余部分的面积是多少？
答案：$(ab - 2a - 2b + 4)\ \mathrm{cm}^{2}$
解析：剩余部分的长为$(a - 2)\ \mathrm{cm}$，宽为$(b - 2)\ \mathrm{cm}$，面积为$(a - 2)(b - 2)=ab - 2a - 2b + 4\ \mathrm{cm}^{2}$。
解析：剩余部分的长为$(a - 2)\ \mathrm{cm}$，宽为$(b - 2)\ \mathrm{cm}$，面积为$(a - 2)(b - 2)=ab - 2a - 2b + 4\ \mathrm{cm}^{2}$。
习题 1. 计算：
（1）$(x - 3)(2x + 3)$；
（2）$(2a + 1)(-a - 2)$；
（3）$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3})$；
（4）$(x^{2}-1)(x^{2}-3)$；
（5）$(xy + 1)(xy - 4)$；
（6）$(5m - 4n)(4m - 5n)$。
（1）$(x - 3)(2x + 3)$；
（2）$(2a + 1)(-a - 2)$；
（3）$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3})$；
（4）$(x^{2}-1)(x^{2}-3)$；
（5）$(xy + 1)(xy - 4)$；
（6）$(5m - 4n)(4m - 5n)$。
答案：（1）$2x^{2}-3x - 9$
解析：$(x - 3)(2x + 3)=x·2x+x·3+(-3)·2x+(-3)·3=2x^{2}+3x - 6x - 9=2x^{2}-3x - 9$。
（2）$-2a^{2}-5a - 2$
解析：$(2a + 1)(-a - 2)=2a·(-a)+2a·(-2)+1·(-a)+1·(-2)=-2a^{2}-4a - a - 2=-2a^{2}-5a - 2$。
（3）$x^{2}+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}$
解析：$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3})=x· x+x·(-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}· x+\frac{1}{2}·(-\frac{1}{3})=x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=x^{2}+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}$。
（4）$x^{4}-4x^{2}+3$
解析：$(x^{2}-1)(x^{2}-3)=x^{2}· x^{2}+x^{2}·(-3)+(-1)· x^{2}+(-1)·(-3)=x^{4}-3x^{2}-x^{2}+3=x^{4}-4x^{2}+3$。
（5）$x^{2}y^{2}-3xy - 4$
解析：$(xy + 1)(xy - 4)=xy· xy+xy·(-4)+1· xy+1·(-4)=x^{2}y^{2}-4xy + xy - 4=x^{2}y^{2}-3xy - 4$。
（6）$20m^{2}-41mn + 20n^{2}$
解析：$(5m - 4n)(4m - 5n)=5m·4m+5m·(-5n)+(-4n)·4m+(-4n)·(-5n)=20m^{2}-25mn - 16mn + 20n^{2}=20m^{2}-41mn + 20n^{2}$。
解析：$(x - 3)(2x + 3)=x·2x+x·3+(-3)·2x+(-3)·3=2x^{2}+3x - 6x - 9=2x^{2}-3x - 9$。
（2）$-2a^{2}-5a - 2$
解析：$(2a + 1)(-a - 2)=2a·(-a)+2a·(-2)+1·(-a)+1·(-2)=-2a^{2}-4a - a - 2=-2a^{2}-5a - 2$。
（3）$x^{2}+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}$
解析：$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3})=x· x+x·(-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}· x+\frac{1}{2}·(-\frac{1}{3})=x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x-\frac{1}{6}=x^{2}+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}$。
（4）$x^{4}-4x^{2}+3$
解析：$(x^{2}-1)(x^{2}-3)=x^{2}· x^{2}+x^{2}·(-3)+(-1)· x^{2}+(-1)·(-3)=x^{4}-3x^{2}-x^{2}+3=x^{4}-4x^{2}+3$。
（5）$x^{2}y^{2}-3xy - 4$
解析：$(xy + 1)(xy - 4)=xy· xy+xy·(-4)+1· xy+1·(-4)=x^{2}y^{2}-4xy + xy - 4=x^{2}y^{2}-3xy - 4$。
（6）$20m^{2}-41mn + 20n^{2}$
解析：$(5m - 4n)(4m - 5n)=5m·4m+5m·(-5n)+(-4n)·4m+(-4n)·(-5n)=20m^{2}-25mn - 16mn + 20n^{2}=20m^{2}-41mn + 20n^{2}$。
习题 2. 计算：
（1）$(2a - b)(a + 2b - 1)$；
（2）$(x + y + 2)(x + y + 3)$。
（1）$(2a - b)(a + 2b - 1)$；
（2）$(x + y + 2)(x + y + 3)$。
答案：（1）$2a^{2}+3ab - 2a - b - 2b^{2}$
解析：$(2a - b)(a + 2b - 1)=2a· a+2a·2b+2a·(-1)-b· a - b·2b - b·(-1)=2a^{2}+4ab - 2a - ab - 2b^{2}+b=2a^{2}+3ab - 2a + b - 2b^{2}$。
（2）$x^{2}+2xy + y^{2}+5x + 5y + 6$
解析：令$m=x + y$，则原式$=(m + 2)(m + 3)=m^{2}+3m + 2m + 6=m^{2}+5m + 6$，将$m=x + y$代回得$(x + y)^{2}+5(x + y)+6=x^{2}+2xy + y^{2}+5x + 5y + 6$。
解析：$(2a - b)(a + 2b - 1)=2a· a+2a·2b+2a·(-1)-b· a - b·2b - b·(-1)=2a^{2}+4ab - 2a - ab - 2b^{2}+b=2a^{2}+3ab - 2a + b - 2b^{2}$。
（2）$x^{2}+2xy + y^{2}+5x + 5y + 6$
解析：令$m=x + y$，则原式$=(m + 2)(m + 3)=m^{2}+3m + 2m + 6=m^{2}+5m + 6$，将$m=x + y$代回得$(x + y)^{2}+5(x + y)+6=x^{2}+2xy + y^{2}+5x + 5y + 6$。
习题 3. 求$(x - 1)(2x + 1)-2(x - 5)(x + 2)$的值，其中$x=\frac{1}{5}$。
答案：20
解析：$(x - 1)(2x + 1)-2(x - 5)(x + 2)=2x^{2}+x - 2x - 1 - 2(x^{2}+2x - 5x - 10)=2x^{2}-x - 1 - 2(x^{2}-3x - 10)=2x^{2}-x - 1 - 2x^{2}+6x + 20=5x + 19$，当$x = \frac{1}{5}$时，$5×\frac{1}{5}+19=1 + 19=20$。
解析：$(x - 1)(2x + 1)-2(x - 5)(x + 2)=2x^{2}+x - 2x - 1 - 2(x^{2}+2x - 5x - 10)=2x^{2}-x - 1 - 2(x^{2}-3x - 10)=2x^{2}-x - 1 - 2x^{2}+6x + 20=5x + 19$，当$x = \frac{1}{5}$时，$5×\frac{1}{5}+19=1 + 19=20$。
习题 4. 光伏电池板可以将太阳光能转化为电能，在相同光照条件下，电池板面积越大，输出的电能越大。现将一块长$90\ \mathrm{cm}$、宽$60\ \mathrm{cm}$的长方形光伏电池板的长和宽都增加$a\ \mathrm{cm}$，它的面积将增加多少？
答案：$(a^{2}+150a)\ \mathrm{cm}^{2}$
解析：原面积为$90×60 = 5400\ \mathrm{cm}^{2}$，新面积为$(90 + a)(60 + a)=5400 + 90a + 60a + a^{2}=5400 + 150a + a^{2}\ \mathrm{cm}^{2}$，面积增加$(5400 + 150a + a^{2})-5400=a^{2}+150a\ \mathrm{cm}^{2}$。
解析：原面积为$90×60 = 5400\ \mathrm{cm}^{2}$，新面积为$(90 + a)(60 + a)=5400 + 90a + 60a + a^{2}=5400 + 150a + a^{2}\ \mathrm{cm}^{2}$，面积增加$(5400 + 150a + a^{2})-5400=a^{2}+150a\ \mathrm{cm}^{2}$。