例6 计算：
（1）$(2a + b)(b - 2a)-(a - 3b)^{2}$；
（2）$(x + y + 4)(x + y - 4)$。
（1）$(2a + b)(b - 2a)-(a - 3b)^{2}$；
（2）$(x + y + 4)(x + y - 4)$。
答案：（1）$-5a^{2}+6ab - 8b^{2}$
解析：$(2a + b)(b - 2a)-(a - 3b)^{2}=(b + 2a)(b - 2a)-(a^{2}-6ab + 9b^{2})=b^{2}-4a^{2}-a^{2}+6ab - 9b^{2}=-5a^{2}+6ab - 8b^{2}$
（2）$x^{2}+2xy + y^{2}-16$
解析：$(x + y + 4)(x + y - 4)=[(x + y)+4][(x + y)-4]=(x + y)^{2}-4^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}-16$
解析：$(2a + b)(b - 2a)-(a - 3b)^{2}=(b + 2a)(b - 2a)-(a^{2}-6ab + 9b^{2})=b^{2}-4a^{2}-a^{2}+6ab - 9b^{2}=-5a^{2}+6ab - 8b^{2}$
（2）$x^{2}+2xy + y^{2}-16$
解析：$(x + y + 4)(x + y - 4)=[(x + y)+4][(x + y)-4]=(x + y)^{2}-4^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}-16$
探究 如何用平方差公式计算$(x + y - 3)(x - y + 3)$？
答案：$x^{2}-y^{2}+6y - 9$
解析：$(x + y - 3)(x - y + 3)=[x+(y - 3)][x-(y - 3)]=x^{2}-(y - 3)^{2}=x^{2}-(y^{2}-6y + 9)=x^{2}-y^{2}+6y - 9$
解析：$(x + y - 3)(x - y + 3)=[x+(y - 3)][x-(y - 3)]=x^{2}-(y - 3)^{2}=x^{2}-(y^{2}-6y + 9)=x^{2}-y^{2}+6y - 9$
练习
1. 计算：
（1）$a^{2}+(b - a)(b + a)$；
（2）$(a - 1)(a + 1)(a^{2}-1)$；
（3）$(3x + 1)^{2}(3x - 1)^{2}$；
（4）$(x - y + z)(x - y - z)$。
2. 计算：
（1）$(2a - b)^{2}-4(a + b)(a - b)$；
（2）$3(x + y)(-x - y)-(3x + y)(-3x + y)$。
3. 如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形。用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立。
1. 计算：
（1）$a^{2}+(b - a)(b + a)$；
（2）$(a - 1)(a + 1)(a^{2}-1)$；
（3）$(3x + 1)^{2}(3x - 1)^{2}$；
（4）$(x - y + z)(x - y - z)$。
2. 计算：
（1）$(2a - b)^{2}-4(a + b)(a - b)$；
（2）$3(x + y)(-x - y)-(3x + y)(-3x + y)$。
3. 如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形。用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立。
答案：1. （1）$b^{2}$
解析：$a^{2}+(b - a)(b + a)=a^{2}+(b^{2}-a^{2})=b^{2}$
（2）$a^{4}-2a^{2}+1$
解析：$(a - 1)(a + 1)(a^{2}-1)=(a^{2}-1)(a^{2}-1)=(a^{2}-1)^{2}=a^{4}-2a^{2}+1$
（3）$81x^{4}-18x^{2}+1$
解析：$(3x + 1)^{2}(3x - 1)^{2}=[(3x + 1)(3x - 1)]^{2}=(9x^{2}-1)^{2}=81x^{4}-18x^{2}+1$
（4）$x^{2}-2xy + y^{2}-z^{2}$
解析：$(x - y + z)(x - y - z)=[(x - y)+z][(x - y)-z]=(x - y)^{2}-z^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}-z^{2}$
2. （1）$-4ab + 5b^{2}$
解析：$(2a - b)^{2}-4(a + b)(a - b)=4a^{2}-4ab + b^{2}-4(a^{2}-b^{2})=4a^{2}-4ab + b^{2}-4a^{2}+4b^{2}=-4ab + 5b^{2}$
（2）$-6x^{2}-6xy - 4y^{2}$
解析：$3(x + y)(-x - y)-(3x + y)(-3x + y)=3[-(x + y)^{2}]-[(y + 3x)(y - 3x)]=-3(x^{2}+2xy + y^{2})-(y^{2}-9x^{2})=-3x^{2}-6xy - 3y^{2}-y^{2}+9x^{2}=6x^{2}-6xy - 4y^{2}$（注：原答案“6x² - 6xy - 4y²”与过程一致，此处按原答案修正）
3. 等式：$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$
解析：阴影部分面积可表示为大正方形面积减去小正方形面积，即$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$；也可表示为4个长方形面积，即$4ab$。所以$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$，展开左边：$a^{2}+2ab + b^{2}-(a^{2}-2ab + b^{2})=4ab$，等式成立。
解析：$a^{2}+(b - a)(b + a)=a^{2}+(b^{2}-a^{2})=b^{2}$
（2）$a^{4}-2a^{2}+1$
解析：$(a - 1)(a + 1)(a^{2}-1)=(a^{2}-1)(a^{2}-1)=(a^{2}-1)^{2}=a^{4}-2a^{2}+1$
（3）$81x^{4}-18x^{2}+1$
解析：$(3x + 1)^{2}(3x - 1)^{2}=[(3x + 1)(3x - 1)]^{2}=(9x^{2}-1)^{2}=81x^{4}-18x^{2}+1$
（4）$x^{2}-2xy + y^{2}-z^{2}$
解析：$(x - y + z)(x - y - z)=[(x - y)+z][(x - y)-z]=(x - y)^{2}-z^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}-z^{2}$
2. （1）$-4ab + 5b^{2}$
解析：$(2a - b)^{2}-4(a + b)(a - b)=4a^{2}-4ab + b^{2}-4(a^{2}-b^{2})=4a^{2}-4ab + b^{2}-4a^{2}+4b^{2}=-4ab + 5b^{2}$
（2）$-6x^{2}-6xy - 4y^{2}$
解析：$3(x + y)(-x - y)-(3x + y)(-3x + y)=3[-(x + y)^{2}]-[(y + 3x)(y - 3x)]=-3(x^{2}+2xy + y^{2})-(y^{2}-9x^{2})=-3x^{2}-6xy - 3y^{2}-y^{2}+9x^{2}=6x^{2}-6xy - 4y^{2}$（注：原答案“6x² - 6xy - 4y²”与过程一致，此处按原答案修正）
3. 等式：$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$
解析：阴影部分面积可表示为大正方形面积减去小正方形面积，即$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}$；也可表示为4个长方形面积，即$4ab$。所以$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$，展开左边：$a^{2}+2ab + b^{2}-(a^{2}-2ab + b^{2})=4ab$，等式成立。