答案：1. （1）$4a^{2}+12ab + 9b^{2}$
解析：$(2a + 3b)^{2}=(2a)^{2}+2×2a×3b+(3b)^{2}=4a^{2}+12ab + 9b^{2}$
（2）$4x^{2}-20xy + 25y^{2}$
解析：$(2x - 5y)^{2}=(2x)^{2}-2×2x×5y+(5y)^{2}=4x^{2}-20xy + 25y^{2}$
（3）$\frac{1}{3}a^{2}-2ab + 3b^{2}$
解析：$3(\frac{1}{3}a - b)^{2}=3[(\frac{1}{3}a)^{2}-2×\frac{1}{3}a× b + b^{2}]=3(\frac{1}{9}a^{2}-\frac{2}{3}ab + b^{2})=\frac{1}{3}a^{2}-2ab + 3b^{2}$
（4）$x^{2}+4xy + 4y^{2}$
解析：$(-x - 2y)^{2}=(-x)^{2}+2×(-x)×(-2y)+(-2y)^{2}=x^{2}+4xy + 4y^{2}$
2. 等式：$(20 - a)^{2}=400 - 40a + a^{2}$
解析：草坪面积可表示为$(20 - a)^{2}$，也可表示为大正方形面积减去两个小长方形面积加重叠部分面积，即$20^{2}-2×20× a + a^{2}=400 - 40a + a^{2}$，所以$(20 - a)^{2}=400 - 40a + a^{2}$，由完全平方公式$(20 - a)^{2}=20^{2}-2×20× a + a^{2}=400 - 40a + a^{2}$，等式成立。
3. $\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}b^{2}$
解析：梯形面积公式为$\frac{1}{2}×(上底 + 下底)×高$，上底为$b$，下底为$a$，高为$a - b$，面积为$\frac{1}{2}(a + b)(a - b)=\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2})=\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}b^{2}$
4. （1）$4m^{2}-9n^{2}$
解析：$(2m - 3n)(2m + 3n)=(2m)^{2}-(3n)^{2}=4m^{2}-9n^{2}$
（2）$4a^{2}-25b^{2}$
解析：$(2a - 5b)(5b + 2a)=(2a)^{2}-(5b)^{2}=4a^{2}-25b^{2}$
（3）$4 - 9x^{2}$
解析：$(-2 + 3x)(-2 - 3x)=(-2)^{2}-(3x)^{2}=4 - 9x^{2}$
（4）$y^{2}-\frac{1}{9}x^{2}$
解析：$(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y)=(-y + \frac{1}{3}x)(-y - \frac{1}{3}x)=(-y)^{2}-(\frac{1}{3}x)^{2}=y^{2}-\frac{1}{9}x^{2}$
5. （1）998001
解析：$999^{2}=(1000 - 1)^{2}=1000^{2}-2×1000×1 + 1^{2}=1000000 - 2000 + 1=998001$
（2）999984
解析：$1004×996=(1000 + 4)(1000 - 4)=1000^{2}-4^{2}=1000000 - 16=999984$
6. （1）$-4xy$
解析：$(x - y)^{2}-(x + y)^{2}=(x^{2}-2xy + y^{2})-(x^{2}+2xy + y^{2})=-4xy$
（2）$18a^{2}+2b^{2}$
解析：$(3a - b)^{2}+(b + 3a)^{2}=(9a^{2}-6ab + b^{2})+(9a^{2}+6ab + b^{2})=18a^{2}+2b^{2}$
（3）$16x^{4}-1$
解析：$(2x - 1)(2x + 1)(4x^{2}+1)=(4x^{2}-1)(4x^{2}+1)=16x^{4}-1$
（4）$16m^{4}-72m^{2}n^{2}+81n^{4}$
解析：$(2m + 3n)^{2}(3n - 2m)^{2}=[(3n + 2m)(3n - 2m)]^{2}=(9n^{2}-4m^{2})^{2}=81n^{4}-72m^{2}n^{2}+16m^{4}=16m^{4}-72m^{2}n^{2}+81n^{4}$
（5）$10a + 82$
解析：$4(a + 2)^{2}-7(a + 3)(a - 3)+3(a - 1)^{2}=4(a^{2}+4a + 4)-7(a^{2}-9)+3(a^{2}-2a + 1)=4a^{2}+16a + 16 - 7a^{2}+63 + 3a^{2}-6a + 3=10a + 82$
（6）$4a^{2}-b^{2}-12a + 9$
解析：$(2a - b - 3)(2a + b - 3)=[(2a - 3)-b][(2a - 3)+b]=(2a - 3)^{2}-b^{2}=4a^{2}-12a + 9 - b^{2}=4a^{2}-b^{2}-12a + 9$
7. （1）27.6
解析：$(3 - 4y)(3 + 4y)+(3 + 4y)^{2}=(9 - 16y^{2})+(9 + 24y + 16y^{2})=18 + 24y$，当$y = 0.4$时，$18 + 24×0.4=18 + 9.6=27.6$
（2）$\frac{3}{2}$
解析：$(2a + b)^{2}-(3a - b)^{2}+5a(a - b)=(4a^{2}+4ab + b^{2})-(9a^{2}-6ab + b^{2})+5a^{2}-5ab=4a^{2}+4ab + b^{2}-9a^{2}+6ab - b^{2}+5a^{2}-5ab=5ab$，当$a=\frac{2}{5}$，$b = \frac{3}{4}$时，$5×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$
8. 是，理由如下：设两个连续偶数为$2n$和$2n + 2$（$n$为整数），则$(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}=4n^{2}+8n + 4 - 4n^{2}=8n + 4=4(2n + 1)$，$4(2n + 1)$是4的倍数，所以两个连续偶数的平方差一定是4的倍数。

答案：（1）$4a^2 + 12ab + 9b^2$
解析：$(2a + 3b)^2=(2a)^2+2×2a×3b+(3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$
（2）$4x^2 - 20xy + 25y^2$
解析：$(2x - 5y)^2=(2x)^2-2×2x×5y+(5y)^2 = 4x^2 - 20xy + 25y^2$
（3）$\frac{1}{3}a^2 - 2ab + 3b^2$
解析：$3(\frac{1}{3}a - b)^2=3[(\frac{1}{3}a)^2-2×\frac{1}{3}a× b + b^2]=3(\frac{1}{9}a^2-\frac{2}{3}ab + b^2)=\frac{1}{3}a^2 - 2ab + 3b^2$
（4）$x^2 + 4xy + 4y^2$
解析：$(-x - 2y)^2=(-x)^2+2×(-x)×(-2y)+(-2y)^2=x^2 + 4xy + 4y^2$

答案：草坪面积可表示为$(20 - a)^2$或$20^2-2×20× a + a^2$，等式为$(20 - a)^2=400 - 40a + a^2$
解析：大正方形边长为$20m$，草坪是边长为$(20 - a)m$的正方形，面积为$(20 - a)^2$；也可看作大正方形面积减去两个长为$20m$、宽为$am$的长方形面积再加上重叠部分边长为$am$的正方形面积，即$20^2-2×20× a + a^2 = 400 - 40a + a^2$。由完全平方公式$(m - n)^2=m^2 - 2mn + n^2$，令$m = 20$，$n = a$，则$(20 - a)^2=20^2-2×20× a + a^2$，等式成立。

答案：$\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2$
解析：梯形上底为$b$，下底为$a$，高为$(a - b)$，根据梯形面积公式$S=\frac{(上底 + 下底)×高}{2}$，可得$S=\frac{(b + a)(a - b)}{2}=\frac{a^2 - b^2}{2}=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b^2$。

答案：（1）$4m^2 - 9n^2$
解析：$(2m - 3n)(2m + 3n)=(2m)^2-(3n)^2 = 4m^2 - 9n^2$
（2）$4a^2 - 25b^2$
解析：$(2a - 5b)(5b + 2a)=(2a)^2-(5b)^2 = 4a^2 - 25b^2$
（3）$4 - 9x^2$
解析：$(-2 + 3x)(-2 - 3x)=(-2)^2-(3x)^2 = 4 - 9x^2$
（4）$y^2-\frac{1}{9}x^2$
解析：$(\frac{1}{3}x - y)(-\frac{1}{3}x - y)=(-y)^2-(\frac{1}{3}x)^2=y^2-\frac{1}{9}x^2$

答案：（1）998001
解析：$999^2=(1000 - 1)^2=1000^2-2×1000×1 + 1^2 = 1000000 - 2000 + 1=998001$
（2）999984
解析：$1004×996=(1000 + 4)(1000 - 4)=1000^2-4^2 = 1000000 - 16=999984$

答案：（1）$-4xy$
解析：$(x - y)^2-(x + y)^2=(x^2 - 2xy + y^2)-(x^2 + 2xy + y^2)=x^2 - 2xy + y^2 - x^2 - 2xy - y^2=-4xy$
（2）$18a^2 + 2b^2$
解析：$(3a - b)^2+(b + 3a)^2=(9a^2 - 6ab + b^2)+(9a^2 + 6ab + b^2)=18a^2 + 2b^2$
（3）$16x^4 - 1$
解析：$(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)=[(2x)^2 - 1^2](4x^2 + 1)=(4x^2 - 1)(4x^2 + 1)=(4x^2)^2 - 1^2=16x^4 - 1$
（4）$81n^4 - 72m^2n^2 + 16m^4$
解析：$(2m + 3n)^2(3n - 2m)^2=[(3n + 2m)(3n - 2m)]^2=(9n^2 - 4m^2)^2=81n^4 - 72m^2n^2 + 16m^4$
（5）$10a + 82$
解析：$4(a + 2)^2-7(a + 3)(a - 3)+3(a - 1)^2=4(a^2 + 4a + 4)-7(a^2 - 9)+3(a^2 - 2a + 1)=4a^2 + 16a + 16 - 7a^2 + 63 + 3a^2 - 6a + 3=(4a^2 - 7a^2 + 3a^2)+(16a - 6a)+(16 + 63 + 3)=10a + 82$
（6）$4a^2 - b^2 - 12a + 9$
解析：$(2a - b - 3)(2a + b - 3)=[(2a - 3)-b][(2a - 3)+b]=(2a - 3)^2 - b^2=4a^2 - 12a + 9 - b^2=4a^2 - b^2 - 12a + 9$

答案：（1）27.6
解析：$(3 - 4y)(3 + 4y)+(3 + 4y)^2=(9 - 16y^2)+(9 + 24y + 16y^2)=18 + 24y$，当$y = 0.4$时，$18 + 24×0.4=18 + 9.6 = 27.6$
（2）$\frac{3}{2}$
解析：$(2a + b)^2-(3a - b)^2 + 5a(a - b)=(4a^2 + 4ab + b^2)-(9a^2 - 6ab + b^2)+5a^2 - 5ab=4a^2 + 4ab + b^2 - 9a^2 + 6ab - b^2 + 5a^2 - 5ab=5ab$，当$a=\frac{2}{5}$，$b=\frac{3}{4}$时，$5×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

答案：一定是4的倍数
解析：设两个连续偶数分别为$2n$和$2n + 2$（$n$为整数），则它们的平方差为$(2n + 2)^2-(2n)^2=(4n^2 + 8n + 4)-4n^2 = 8n + 4 = 4(2n + 1)$，因为$2n + 1$是整数，所以$4(2n + 1)$是4的倍数，即两个连续偶数的平方差一定是4的倍数。