12. 已知$m$，$n$满足方程组$\begin{cases}m - 2n = a,\\2m + n = 9,\end{cases}$则$3m - n - a$的值是 ______ .
答案：12. 9 解析: $ \begin{cases} m - 2n = a, & ① \\ 2m + n = 9, & ② \end{cases} $ ① $ + $ ②得 $ 3m - n = a + 9 $，所以 $ 3m - n - a = 9 $.
13. 已知$a:b:c = 2:3:4$，$a + b + c = 27$，则$a - 2b - 3c =$
-48
.答案：13. -48 解析:设 $ a = 2k,b = 3k,c = 4k $，则有 $ 2k + 3k + 4k = 27 $，解得 $ k = 3 $，所以 $ a = 6,b = 9,c = 12 $，则 $ a - 2b - 3c = 6 - 18 - 36 = - 48 $.
解析：
设$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$，则$2k + 3k + 4k = 27$，解得$k = 3$，所以$a = 6$，$b = 9$，$c = 12$，则$a - 2b - 3c = 6 - 2×9 - 3×12 = 6 - 18 - 36 = -48$。
14. 某快递公司要在规定的时间内把邮件从甲地送往乙地，快递车若以$50$千米/时的速度行驶，会迟到$24$分钟；若以$75$千米/时的速度行驶，可提前$24$分钟到达，则甲、乙两地的距离为
120
千米.答案：14. 120 解析:设甲、乙两地的距离为 $ x $ 千米，规定的时间为 $ y $ 小时，根据题意得 $ \begin{cases} \frac{x}{50} = y + \frac{24}{60}, \\ \frac{x}{75} = y - \frac{24}{60}, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 120, \\ y = 2. \end{cases} $ 即甲、乙两地的距离为 120 千米.
解析：
设甲、乙两地的距离为$x$千米，规定的时间为$y$小时。
根据题意，得$\begin{cases} \dfrac{x}{50}=y+\dfrac{24}{60} \\ \dfrac{x}{75}=y-\dfrac{24}{60} \end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得：$\dfrac{x}{50}=y+\dfrac{2}{5}$，即$y=\dfrac{x}{50}-\dfrac{2}{5}$
由第二个方程得：$\dfrac{x}{75}=y-\dfrac{2}{5}$，即$y=\dfrac{x}{75}+\dfrac{2}{5}$
所以$\dfrac{x}{50}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{x}{75}+\dfrac{2}{5}$
两边同时乘以150去分母得：$3x - 60 = 2x + 60$
解得$x = 120$
则甲、乙两地的距离为120千米。
根据题意，得$\begin{cases} \dfrac{x}{50}=y+\dfrac{24}{60} \\ \dfrac{x}{75}=y-\dfrac{24}{60} \end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得：$\dfrac{x}{50}=y+\dfrac{2}{5}$，即$y=\dfrac{x}{50}-\dfrac{2}{5}$
由第二个方程得：$\dfrac{x}{75}=y-\dfrac{2}{5}$，即$y=\dfrac{x}{75}+\dfrac{2}{5}$
所以$\dfrac{x}{50}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{x}{75}+\dfrac{2}{5}$
两边同时乘以150去分母得：$3x - 60 = 2x + 60$
解得$x = 120$
则甲、乙两地的距离为120千米。
15. (2025·银川模拟)《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富.其中表示数的算筹有纵、横两种方式，如要表示一个多位数，即把各个数位上的数字从左到右横向排列，各位数的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示，在《九章算术》中，用算筹图来表示二元一次方程的方法，如“$\vert - =\top$”表示方程$x + 10y = 26$，则方程组$\begin{cases}\vert - =\top\\\vert//// - //\end{cases}$的解为 ______ .
答案：15. $ \begin{cases} x = 6, \\ y = 2 \end{cases} $ 解析:根据题意可得方程组 $ \begin{cases} x + 10y = 26, \\ x + 3y = 12, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 6, \\ y = 2. \end{cases} $
解析：
$\begin{cases} x = 6, \\ y = 2 \end{cases}$
16. (2025·贵阳模拟)现有八个大小相同的小长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个面积为$4$的小正方形，则每个小长方形的面积是
60
.答案：16. 60 解析:设小长方形的长为 $ x $，宽为 $ y $，因为题图②中中间的小正方形面积为 4，所以题图②中中间的小正方形的边长为 2，根据题意得 $ \begin{cases} 3x = 5y, \\ x + 2 = 2y, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 10, \\ y = 6, \end{cases} $ 所以 $ xy = 10 × 6 = 60 $，所以每个小长方形的面积是 60.
解析：
设小长方形的长为$x$，宽为$y$。
由图①可知，$3x = 5y$。
由图②中间小正方形面积为$4$，可得其边长为$2$，则$x + 2 = 2y$。
联立方程组$\begin{cases}3x = 5y \\ x + 2 = 2y\end{cases}$，
由$x + 2 = 2y$得$x = 2y - 2$，代入$3x = 5y$，
$3(2y - 2) = 5y$，
$6y - 6 = 5y$，
$y = 6$，
则$x = 2×6 - 2 = 10$。
每个小长方形面积为$xy = 10×6 = 60$。
60
由图①可知，$3x = 5y$。
由图②中间小正方形面积为$4$，可得其边长为$2$，则$x + 2 = 2y$。
联立方程组$\begin{cases}3x = 5y \\ x + 2 = 2y\end{cases}$，
由$x + 2 = 2y$得$x = 2y - 2$，代入$3x = 5y$，
$3(2y - 2) = 5y$，
$6y - 6 = 5y$，
$y = 6$，
则$x = 2×6 - 2 = 10$。
每个小长方形面积为$xy = 10×6 = 60$。
60
17. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - my = 5,\\2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$则关于$a$，$b$的二元一次方程组$\begin{cases}3a + 3b - m(a - b) = 5,\\2a + 2b + n(a - b) = 6\end{cases}$的解是 ______ .
答案：17. $ \begin{cases} a = \frac{3}{2}, \\ b = - \frac{1}{2} \end{cases} $ 解析: $ \begin{cases} 3a + 3b - m(a - b) = 5, \\ 2a + 2b + n(a - b) = 6 \end{cases} $ 可变形为 $ \begin{cases} 3(a + b) - m(a - b) = 5, \\ 2(a + b) + n(a - b) = 6, \end{cases} $ 则 $ \begin{cases} a + b = 1, \\ a - b = 2, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = \frac{3}{2}, \\ b = - \frac{1}{2}. \end{cases} $
解析：
将关于$a$，$b$的方程组变形为：
$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5 \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$
因为关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x - my = 5 \\ 2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}$，所以可得：
$\begin{cases}a + b = 1 \\a - b = 2\end{cases}$
解这个方程组：
将两式相加得：$2a = 3$，解得$a = \frac{3}{2}$
将$a = \frac{3}{2}$代入$a + b = 1$得：$\frac{3}{2} + b = 1$，解得$b = -\frac{1}{2}$
所以方程组的解是$\begin{cases}a = \frac{3}{2} \\ b = -\frac{1}{2}\end{cases}$
$\begin{cases} a = \frac{3}{2} \\ b = - \frac{1}{2} \end{cases}$
$\begin{cases}3(a + b) - m(a - b) = 5 \\2(a + b) + n(a - b) = 6\end{cases}$
因为关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x - my = 5 \\ 2x + ny = 6\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}$，所以可得：
$\begin{cases}a + b = 1 \\a - b = 2\end{cases}$
解这个方程组：
将两式相加得：$2a = 3$，解得$a = \frac{3}{2}$
将$a = \frac{3}{2}$代入$a + b = 1$得：$\frac{3}{2} + b = 1$，解得$b = -\frac{1}{2}$
所以方程组的解是$\begin{cases}a = \frac{3}{2} \\ b = -\frac{1}{2}\end{cases}$
$\begin{cases} a = \frac{3}{2} \\ b = - \frac{1}{2} \end{cases}$
18. 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：$3$千克$A$水果，$6$千克$B$水果；乙种搭配：$2$千克$A$水果，$5$千克$B$水果，$1$千克$C$水果；丙种搭配：$3$千克$A$水果，$7$千克$B$水果，$1$千克$C$水果.已知$A$水果每千克$4$元，$B$水果每千克$5$元，$C$水果每千克$8$元，某天该商店销售这三种搭配共得$1630$元，其中$A$水果的销售额为$384$元，则$B$水果的销售额为
1070
元.答案：18. 1070 解析:设卖出 $ x $ 个甲种搭配、$ y $ 个乙种搭配、$ z $ 个丙种搭配，则 $ \begin{cases} 4(3x + 2y + 3z) + 5(6x + 5y + 7z) + 8(y + z) = 1630, \\ 4(3x + 2y + 3z) = 384, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} 42x + 41y + 55z = 1630, & ① \\ 12x + 8y + 12z = 384, & ② \end{cases} $ ① $ × 2 - $ ② $ × 7 $ 得 $ 26y + 26z = 572 $，则 $ y + z = 22 $，所以 $ C $ 水果的销售额为 $ 8y + 8z = 22 × 8 = 176 $ (元)，则 $ B $ 水果的销售额为 $ 1630 - 384 - 176 = 1070 $ (元).
解析：
设卖出 $ x $ 个甲种搭配、$ y $ 个乙种搭配、$ z $ 个丙种搭配。
根据题意，得：
$\begin{cases}4(3x + 2y + 3z) + 5(6x + 5y + 7z) + 8(y + z) = 1630 \\4(3x + 2y + 3z) = 384\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}42x + 41y + 55z = 1630 & ① \\12x + 8y + 12z = 384 & ②\end{cases}$
$① × 2 - ② × 7$ 得：
$2(42x + 41y + 55z) - 7(12x + 8y + 12z) = 2 × 1630 - 7 × 384$
$84x + 82y + 110z - 84x - 56y - 84z = 3260 - 2688$
$26y + 26z = 572$
$y + z = 22$
$C$ 水果销售额为 $8(y + z) = 8 × 22 = 176$ 元。
$B$ 水果销售额为 $1630 - 384 - 176 = 1070$ 元。
1070
根据题意，得：
$\begin{cases}4(3x + 2y + 3z) + 5(6x + 5y + 7z) + 8(y + z) = 1630 \\4(3x + 2y + 3z) = 384\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}42x + 41y + 55z = 1630 & ① \\12x + 8y + 12z = 384 & ②\end{cases}$
$① × 2 - ② × 7$ 得：
$2(42x + 41y + 55z) - 7(12x + 8y + 12z) = 2 × 1630 - 7 × 384$
$84x + 82y + 110z - 84x - 56y - 84z = 3260 - 2688$
$26y + 26z = 572$
$y + z = 22$
$C$ 水果销售额为 $8(y + z) = 8 × 22 = 176$ 元。
$B$ 水果销售额为 $1630 - 384 - 176 = 1070$ 元。
1070
三、解答题（共46分）
19. （8分）解方程组：
（1）$\begin{cases}3x - 2y = 8,\\2x + y = 3;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}x + 4y = 14,\frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12}.\end{cases}$
19. （8分）解方程组：
（1）$\begin{cases}3x - 2y = 8,\\2x + y = 3;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}x + 4y = 14,\frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12}.\end{cases}$
答案：19. (1) $ \begin{cases} 3x - 2y = 8, & ① \\ 2x + y = 3, & ② \end{cases} $ 由②得 $ y = - 2x + 3 $ ③，把③代入①，得 $ 3x - 2(- 2x + 3) = 8 $，解得 $ x = 2 $，把 $ x = 2 $ 代入②，得 $ y = - 1 $，则原方程组的解是 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = - 1. \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} x + 4y = 14, & ① \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12}, & ② \end{cases} $ 由②得 $ 3x - 4y = - 2 $ ③，① $ + $ ③，得 $ 4x = 12 $，解得 $ x = 3 $，把 $ x = 3 $ 代入③，解得 $ y = \frac{11}{4} $，则原方程组的解是 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = \frac{11}{4}. \end{cases} $
(2) $ \begin{cases} x + 4y = 14, & ① \\ \frac{x - 3}{4} - \frac{y - 3}{3} = \frac{1}{12}, & ② \end{cases} $ 由②得 $ 3x - 4y = - 2 $ ③，① $ + $ ③，得 $ 4x = 12 $，解得 $ x = 3 $，把 $ x = 3 $ 代入③，解得 $ y = \frac{11}{4} $，则原方程组的解是 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = \frac{11}{4}. \end{cases} $
20. （10分）已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y - 6 = 0,\\x - 2y + mx + 5 = 0.\end{cases}$
（1）请直接写出方程$x + 2y - 6 = 0$的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足$x + y = 0$，求$m$的值；
（3）无论$m$取何值，方程$x - 2y + mx + 5 = 0$总有一个固定的解，请直接写出这个解；
（4）若方程组的解中$x$恰为整数，$m$也为整数，求$m$的值.
（1）请直接写出方程$x + 2y - 6 = 0$的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足$x + y = 0$，求$m$的值；
（3）无论$m$取何值，方程$x - 2y + mx + 5 = 0$总有一个固定的解，请直接写出这个解；
（4）若方程组的解中$x$恰为整数，$m$也为整数，求$m$的值.
答案：20. (1) $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 2; \end{cases} \begin{cases} x = 4, \\ y = 1. \end{cases} $
(2)由题意得 $ \begin{cases} x + y = 0, \\ x + 2y - 6 = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = - 6, \\ y = 6. \end{cases} $ 把 $ \begin{cases} x = - 6, \\ y = 6 \end{cases} $ 代入 $ x - 2y + mx + 5 = 0 $，解得 $ m = - \frac{13}{6} $.
(3) $ \begin{cases} x = 0, \\ y = 2.5. \end{cases} $ 解析: $ x - 2y + mx + 5 = 0 $，整理得 $ (1 + m)x - 2y = - 5 $.当 $ x = 0 $ 时，$ y = 2.5 $，即固定的解为 $ \begin{cases} x = 0, \\ y = 2.5. \end{cases} $
(4) $ \begin{cases} x + 2y - 6 = 0, & ① \\ x - 2y + mx + 5 = 0, & ② \end{cases} $ 由① $ + $ ②，得 $ 2x - 6 + mx + 5 = 0 $，整理得 $ (2 + m)x = 1 $，解得 $ x = \frac{1}{2 + m} $.因为 $ x $ 恰为整数，$ m $ 也为整数，所以 $ 2 + m = 1 $ 或 $ 2 + m = - 1 $，解得 $ m = - 1 $ 或 $ m = - 3 $.
(2)由题意得 $ \begin{cases} x + y = 0, \\ x + 2y - 6 = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = - 6, \\ y = 6. \end{cases} $ 把 $ \begin{cases} x = - 6, \\ y = 6 \end{cases} $ 代入 $ x - 2y + mx + 5 = 0 $，解得 $ m = - \frac{13}{6} $.
(3) $ \begin{cases} x = 0, \\ y = 2.5. \end{cases} $ 解析: $ x - 2y + mx + 5 = 0 $，整理得 $ (1 + m)x - 2y = - 5 $.当 $ x = 0 $ 时，$ y = 2.5 $，即固定的解为 $ \begin{cases} x = 0, \\ y = 2.5. \end{cases} $
(4) $ \begin{cases} x + 2y - 6 = 0, & ① \\ x - 2y + mx + 5 = 0, & ② \end{cases} $ 由① $ + $ ②，得 $ 2x - 6 + mx + 5 = 0 $，整理得 $ (2 + m)x = 1 $，解得 $ x = \frac{1}{2 + m} $.因为 $ x $ 恰为整数，$ m $ 也为整数，所以 $ 2 + m = 1 $ 或 $ 2 + m = - 1 $，解得 $ m = - 1 $ 或 $ m = - 3 $.