21. （12分）商场为庆祝母亲节，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型.如表：
在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物.
（1）若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了$520$元，已知她用了$1$张$A$型“优惠券”，$4$张$C$型“优惠券”，则她用了几张$B$型“优惠券”？
（2）若小温同时使用了$5$张$A$，$B$型“优惠券”，共优惠了$404$元，那么她使用了$A$，$B$型“优惠券”各几张？
（3）若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各$16$张，她同时使用$A$，$B$，$C$型中的两种不同类型的“优惠券”消费（部分未使用），共优惠了$708$元，请问有哪几种“优惠券”使用方案？（请写出具体解题过程）
在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物.
（1）若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了$520$元，已知她用了$1$张$A$型“优惠券”，$4$张$C$型“优惠券”，则她用了几张$B$型“优惠券”？
（2）若小温同时使用了$5$张$A$，$B$型“优惠券”，共优惠了$404$元，那么她使用了$A$，$B$型“优惠券”各几张？
（3）若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各$16$张，她同时使用$A$，$B$，$C$型中的两种不同类型的“优惠券”消费（部分未使用），共优惠了$708$元，请问有哪几种“优惠券”使用方案？（请写出具体解题过程）
答案：21. (1) $ (520 - 100 - 4 × 20) ÷ 68 = 5 $ (张).答:她用了 5 张 $ B $ 型“优惠券”.
(2)设她使用了 $ A $ 型“优惠券”$ x $ 张，$ B $ 型“优惠券”$ y $ 张，根据题意，得 $ \begin{cases} x + y = 5, \\ 100x + 68y = 404, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 3. \end{cases} $ 答:她使用了 $ A $ 型“优惠券”2 张，$ B $ 型“优惠券”3 张.
(3)设小温使用了 $ A $ 型“优惠券”$ a $ 张，$ B $ 型“优惠券”$ b $ 张，$ C $ 型“优惠券”$ c $ 张，根据题意，分三种情况:
①若使用了 $ A,B $ 两种类型的优惠券，得 $ 100a + 68b = 708 $，化简，得 $ 25a + 17b = 177 $.因为 $ a,b $ 为正整数，且 $ a ≤ 16,b ≤ 16 $，可取 $ a = 3,b = 6 $;
②若使用了 $ B,C $ 两种类型的优惠券，得 $ 68b + 20c = 708 $，化简，得 $ 17b + 5c = 177 $.因为 $ b,c $ 为正整数，且 $ b ≤ 16,c ≤ 16 $，可取 $ b = 6,c = 15 $;
③若使用了 $ A,C $ 两种类型的优惠券，得 $ 100a + 20c = 708 $，化简，得 $ 25a + 5c = 177 $.因为 $ a,c $ 为正整数，且 $ a ≤ 16,c ≤ 16 $，此时 $ a,c $ 无解.
综上，有两种“优惠券”使用方案:
① $ A $ 型“优惠券”3 张，$ B $ 型“优惠券”6 张;
② $ B $ 型“优惠券”6 张，$ C $ 型“优惠券”15 张.
(2)设她使用了 $ A $ 型“优惠券”$ x $ 张，$ B $ 型“优惠券”$ y $ 张，根据题意，得 $ \begin{cases} x + y = 5, \\ 100x + 68y = 404, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 3. \end{cases} $ 答:她使用了 $ A $ 型“优惠券”2 张，$ B $ 型“优惠券”3 张.
(3)设小温使用了 $ A $ 型“优惠券”$ a $ 张，$ B $ 型“优惠券”$ b $ 张，$ C $ 型“优惠券”$ c $ 张，根据题意，分三种情况:
①若使用了 $ A,B $ 两种类型的优惠券，得 $ 100a + 68b = 708 $，化简，得 $ 25a + 17b = 177 $.因为 $ a,b $ 为正整数，且 $ a ≤ 16,b ≤ 16 $，可取 $ a = 3,b = 6 $;
②若使用了 $ B,C $ 两种类型的优惠券，得 $ 68b + 20c = 708 $，化简，得 $ 17b + 5c = 177 $.因为 $ b,c $ 为正整数，且 $ b ≤ 16,c ≤ 16 $，可取 $ b = 6,c = 15 $;
③若使用了 $ A,C $ 两种类型的优惠券，得 $ 100a + 20c = 708 $，化简，得 $ 25a + 5c = 177 $.因为 $ a,c $ 为正整数，且 $ a ≤ 16,c ≤ 16 $，此时 $ a,c $ 无解.
综上，有两种“优惠券”使用方案:
① $ A $ 型“优惠券”3 张，$ B $ 型“优惠券”6 张;
② $ B $ 型“优惠券”6 张，$ C $ 型“优惠券”15 张.
22. （16分）（2025·杭州期中）某广告公司要利用长为$240$cm、宽为$40$cm的$KT$板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为$40$cm×$15$cm，乙广告牌尺寸为$40$cm×$35$cm.
（1）若该广告公司用$1$块$KT$板裁切出的广告牌中，甲广告牌的数量是乙广告牌数量的$3$倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
（2）求$1$块$KT$板的所有无浪费裁切方案；
（3）现需要甲、乙两种广告牌各$500$块，该公司仓库已有$488$块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切.
（1）若该广告公司用$1$块$KT$板裁切出的广告牌中，甲广告牌的数量是乙广告牌数量的$3$倍，在不造成板材浪费的前提下，求此时裁切出的甲、乙广告牌的数量；
（2）求$1$块$KT$板的所有无浪费裁切方案；
（3）现需要甲、乙两种广告牌各$500$块，该公司仓库已有$488$块乙广告牌，还需要购买该型号板材多少块（恰好全部用完）？写出购买数量，并说明如何裁切.
答案：22. (1)设裁切甲广告牌 $ x $ 块，乙广告牌 $ y $ 块，依题意得 $ \begin{cases} 15x + 35y = 240, \\ x = 3y, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 9, \\ y = 3. \end{cases} $ 答:裁切甲广告牌 9 块，乙广告牌 3 块.
(2)设 1 块 $ KT $ 板可裁切甲广告牌 $ m $ 块，乙广告牌 $ n $ 块，根据题意得 $ 15m + 35n = 240 $，可得 $ m = 16 - \frac{7}{3}n $，因为 $ m,n $ 为非负整数，所以 $ \begin{cases} m = 16, \\ n = 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 9, \\ n = 3 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 2, \\ n = 6. \end{cases} $ 所以有以下三种裁切方案:
方案 1:裁切甲广告牌 16 块，乙广告牌 0 块;
方案 2:裁切甲广告牌 9 块，乙广告牌 3 块;
方案 3:裁切甲广告牌 2 块，乙广告牌 6 块.
(3)依题意分析可得甲广告牌需 500 块，乙广告牌需 $ 500 - 488 = 12 $ (块)，设使用第(2)题的三种方案分别为 $ x,y,z $ 块 $ KT $ 板，则 $ 16x + 9y + 2z = 500 $ ①，且 $ 3y + 6z = 12 $ ②，由②得 $ y = 4 - 2z $，代入①，化简得 $ x - z = 29 $，因为 $ x,y,z $ 均为自然数，则有以下可能:
当 $ z = 0 $ 时，解得 $ y = 4,x = 29,0 + 4 + 29 = 33 $ (块);
当 $ z = 1 $ 时，解得 $ y = 2,x = 30,1 + 2 + 30 = 33 $ (块);
当 $ z = 2 $ 时，解得 $ y = 0,x = 31,2 + 0 + 31 = 33 $ (块).
所以还需要购买该型号板材 33 块，可以把其中的 29 块按(2)中方案 1 裁切，4 块按方案 2 裁切;或把其中 30 块按方案 1 裁切，2 块按方案 2 裁切，1 块按方案 3 裁切;或把其中 31 块按方案 1 裁切，2 块按方案 3 裁切.
(2)设 1 块 $ KT $ 板可裁切甲广告牌 $ m $ 块，乙广告牌 $ n $ 块，根据题意得 $ 15m + 35n = 240 $，可得 $ m = 16 - \frac{7}{3}n $，因为 $ m,n $ 为非负整数，所以 $ \begin{cases} m = 16, \\ n = 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 9, \\ n = 3 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 2, \\ n = 6. \end{cases} $ 所以有以下三种裁切方案:
方案 1:裁切甲广告牌 16 块，乙广告牌 0 块;
方案 2:裁切甲广告牌 9 块，乙广告牌 3 块;
方案 3:裁切甲广告牌 2 块，乙广告牌 6 块.
(3)依题意分析可得甲广告牌需 500 块，乙广告牌需 $ 500 - 488 = 12 $ (块)，设使用第(2)题的三种方案分别为 $ x,y,z $ 块 $ KT $ 板，则 $ 16x + 9y + 2z = 500 $ ①，且 $ 3y + 6z = 12 $ ②，由②得 $ y = 4 - 2z $，代入①，化简得 $ x - z = 29 $，因为 $ x,y,z $ 均为自然数，则有以下可能:
当 $ z = 0 $ 时，解得 $ y = 4,x = 29,0 + 4 + 29 = 33 $ (块);
当 $ z = 1 $ 时，解得 $ y = 2,x = 30,1 + 2 + 30 = 33 $ (块);
当 $ z = 2 $ 时，解得 $ y = 0,x = 31,2 + 0 + 31 = 33 $ (块).
所以还需要购买该型号板材 33 块，可以把其中的 29 块按(2)中方案 1 裁切，4 块按方案 2 裁切;或把其中 30 块按方案 1 裁切，2 块按方案 2 裁切，1 块按方案 3 裁切;或把其中 31 块按方案 1 裁切，2 块按方案 3 裁切.