一、选择题(每小题3分，共24分)
1. (2025·无锡期中)下列方程：①$x + y = 1$；②$2x - \frac{2}{y} = 1$；③$x^{2} + 2x = - 1$；④$5xy = 1$；⑤$x - \frac{1}{3}y = 2$，是二元一次方程的是(
A.①⑤
B.①②
C.①④
D.①②④
1. (2025·无锡期中)下列方程：①$x + y = 1$；②$2x - \frac{2}{y} = 1$；③$x^{2} + 2x = - 1$；④$5xy = 1$；⑤$x - \frac{1}{3}y = 2$，是二元一次方程的是(
A
)A.①⑤
B.①②
C.①④
D.①②④
答案：1. A 解析:由二元一次方程的定义可得①和⑤是二元一次方程.故选 A.
2. (2025·泰安期中)关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}y = x + 3,\\2x - y = 5,\end{cases}$用代入法消去$y$后所得到的方程，正确的是( )
A.$2x - x + 3 = 5$
B.$2x + x - 3 = 5$
C.$2x + x + 3 = 5$
D.$2x - x - 3 = 5$
A.$2x - x + 3 = 5$
B.$2x + x - 3 = 5$
C.$2x + x + 3 = 5$
D.$2x - x - 3 = 5$
答案：2. D 解析:把 $ y = x + 3 $ 代入 $ 2x - y = 5 $，所以 $ 2x - (x + 3) = 5 $，得 $ 2x - x - 3 = 5 $.故选 D.
3. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - ay - 3 = b,\\3x + by + 1 = a\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$则$a$，$b$的值是( )
A.$\begin{cases}a = 1,\\b = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = - 5,\\b = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = 1,\\b = - 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = 1,\\b = - 5\end{cases}$
A.$\begin{cases}a = 1,\\b = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = - 5,\\b = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = 1,\\b = - 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = 1,\\b = - 5\end{cases}$
答案：3. C 解析:把 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases} $ 代入方程组可得 $ \begin{cases} 4 - 3a - 3 = b, \\ 6 + 3b + 1 = a, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 1, \\ b = - 2. \end{cases} $ 故选 C.
4. 若$4x^{a + b} - 3y^{3a + 2b - 4} = 2$是关于$x$，$y$的二元一次方程，则$2a + b$的值为(
A.$0$
B.$- 3$
C.$3$
D.$4$
D
)A.$0$
B.$- 3$
C.$3$
D.$4$
答案：4. D 解析:由题意，得 $ \begin{cases} a + b = 1, \\ 3a + 2b - 4 = 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 3, \\ b = - 2, \end{cases} $ 所以 $ 2a + b = 2 × 3 - 2 = 4 $.故选 D.
5. (2025·眉山中考)我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果$x$个，苦果$y$个，根据题意可列方程组为(
A.$\begin{cases}x + y = 1000,\\9x + 7y = 999\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 999,\\11x + 4y = 1000\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 1000,\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 1000,\frac{9}{11}x + \frac{7}{4}y = 999\end{cases}$
C
)A.$\begin{cases}x + y = 1000,\\9x + 7y = 999\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 999,\\11x + 4y = 1000\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 1000,\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 1000,\frac{9}{11}x + \frac{7}{4}y = 999\end{cases}$
答案：5. C 解析:因为用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为 $ x + y = 1000 $，因为甜果 9 个 11 文，苦果 7 个 4 文，所以甜果每个为 $ \frac{11}{9} $ 文，苦果每个为 $ \frac{4}{7} $ 文.因为总费用为 999 文，故可列方程为 $ \frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999 $.故可列方程组 $ \begin{cases} x + y = 1000, \\ \frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999. \end{cases} $ 故选 C.
6. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - 4y = k,\\x + 8y = 2k + 3\end{cases}$的解与方程$x + y = 6$的解相同，则$k$的值是( )
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案：6. C 解析: $ \begin{cases} 3x - 4y = k, & ① \\ x + 8y = 2k + 3, & ② \end{cases} $ ① $ × 2 + $ ②得 $ 7x = 4k + 3 $，解得 $ x = \frac{4k + 3}{7} $，把 $ x = \frac{4k + 3}{7} $ 代入②得 $ \frac{4k + 3}{7} + 8y = 2k + 3 $，解得 $ y = \frac{5k + 9}{28} $，代入 $ x + y = 6 $ 得 $ \frac{4k + 3}{7} + \frac{5k + 9}{28} = 6 $，解得 $ k = 7 $.故选 C.
7. 定义关于有序数对$(m,n)$的“$f$运算”：$f(m,n) = (am + bn,am - bn)$，其中$a$，$b$为常数，$f$运算的结果是一个有序数对.如：当$a = 1$，$b = 1$时，$f(- 2,3) = (1,- 5)$.若$f(3,- 2) = (7,- 1)$，则$ab^{2}$的值是(
A.$2$
B.$- 1$
C.$4$
D.$- 3$
C
)A.$2$
B.$- 1$
C.$4$
D.$- 3$
答案：7. C 解析:因为 $ f(m,n) = (am + bn,am - bn) $，$ f(3,-2) = (7,-1) $，所以 $ \begin{cases} 3a - 2b = 7, \\ 3a + 2b = - 1, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 1, \\ b = - 2, \end{cases} $ 所以 $ ab^{2} = 1 × (-2)^{2} = 1 × 4 = 4 $.故选 C.
8. 一套数学题集共有$100$道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人都解对了其中的$60$道.如果将其中只有$1$人解对的题称作难题，$2$人解对的题称作中档题，$3$人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是(
A.容易题和中档题共$60$道
B.难题比容易题多$20$道
C.难题比中档题多$10$道
D.中档题比容易题多$15$道
B
)A.容易题和中档题共$60$道
B.难题比容易题多$20$道
C.难题比中档题多$10$道
D.中档题比容易题多$15$道
答案：8. B 解析:设容易题有 $ a $ 道，中档题有 $ b $ 道，难题有 $ c $ 道，依题意，得 $ \begin{cases} a + b + c = 100, & ① \\ 3a + 2b + c = 3 × 60, & ② \end{cases} $ ① $ × 2 - $ ②，得 $ c - a = 20 $，所以难题比容易题多 20 道.故选 B.
二、填空题(每小题3分，共30分)
9. 已知方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$写出一个满足条件的方程组： ______ .
9. 已知方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$写出一个满足条件的方程组： ______ .
答案：9. $ \begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = - 1 \end{cases} $ (答案不唯一) 解析:以 $ x = 2 $ 和 $ y = 3 $ 列出两个算式，确定出所求方程组即可.如根据 $ \begin{cases} 2 + 3 = 5, \\ 2 - 3 = - 1, \end{cases} $ 可得方程组 $ \begin{cases} x + y = 5, \\ x - y = - 1. \end{cases} $
解析：
$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -1 \end{cases}$
10. (2025·南京期中)若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x - 2y = m,\\3y - 2x = 5\end{cases}$的解互为相反数，则$m$的值为 ______ .
答案：10. -5 解析:因为关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} 3x - 2y = m, \\ 3y - 2x = 5 \end{cases} $ 的解互为相反数，所以 $ x = - y $，把 $ x = - y $ 代入 $ 3y - 2x = 5 $ 得 $ 3y + 2y = 5 $，解得 $ y = 1 $，所以 $ x = - 1 $.把 $ x = - 1,y = 1 $ 代入 $ 3x - 2y = m $ 得 $ m = 3 × (-1) - 2 × 1 = - 3 - 2 = - 5 $.
解析：
因为关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x - 2y = m\\3y - 2x = 5\end{cases}$的解互为相反数，所以$x=-y$。
把$x=-y$代入$3y - 2x = 5$，得$3y - 2(-y)=5$，即$3y + 2y = 5$，$5y=5$，解得$y=1$。
则$x=-y=-1$。
把$x=-1$，$y=1$代入$3x - 2y = m$，得$m=3×(-1)-2×1=-3 - 2=-5$。
$-5$
把$x=-y$代入$3y - 2x = 5$，得$3y - 2(-y)=5$，即$3y + 2y = 5$，$5y=5$，解得$y=1$。
则$x=-y=-1$。
把$x=-1$，$y=1$代入$3x - 2y = m$，得$m=3×(-1)-2×1=-3 - 2=-5$。
$-5$
11. 下表中的每一对$x$，$y$的值都是二元一次方程$ax + by = 6$的一个解，则表中“？”表示的数为
-48
.答案：11. -48 解析:将 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = 2, \end{cases} \begin{cases} x = 1, \\ y = 4 \end{cases} $ 代入原方程，得 $ \begin{cases} 2a + 2b = 6, \\ a + 4b = 6, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 2, \\ b = 1, \end{cases} $ 所以原方程为 $ 2x + y = 6 $.当 $ y = 102 $ 时，$ 2x + 102 = 6 $，解得 $ x = - 48 $，所以题表中“?”表示的数为 -48.
解析：
将$\begin{cases} x = 2, \\ y = 2 \end{cases}$和$\begin{cases} x = 1, \\ y = 4 \end{cases}$代入$ax + by = 6$，得$\begin{cases} 2a + 2b = 6, \\ a + 4b = 6 \end{cases}$。
解方程组：
由$2a + 2b = 6$得$a + b = 3$，即$a = 3 - b$。
将$a = 3 - b$代入$a + 4b = 6$，得$3 - b + 4b = 6$，$3b = 3$，$b = 1$。
则$a = 3 - 1 = 2$。
所以原方程为$2x + y = 6$。
当$y = 102$时，$2x + 102 = 6$，$2x = -96$，$x = -48$。
-48
解方程组：
由$2a + 2b = 6$得$a + b = 3$，即$a = 3 - b$。
将$a = 3 - b$代入$a + 4b = 6$，得$3 - b + 4b = 6$，$3b = 3$，$b = 1$。
则$a = 3 - 1 = 2$。
所以原方程为$2x + y = 6$。
当$y = 102$时，$2x + 102 = 6$，$2x = -96$，$x = -48$。
-48