1. (2025·济南中考)已知 $ a ＞ b $，则下列不等式一定成立的是 (
A.$ a - 1 ＜ b - 1 $
B.$ \frac{a}{2} ＜ \frac{b}{2} $
C.$ - a ＞ - b $
D.$ 2a ＞ a + b $
D
)A.$ a - 1 ＜ b - 1 $
B.$ \frac{a}{2} ＜ \frac{b}{2} $
C.$ - a ＞ - b $
D.$ 2a ＞ a + b $
答案：1. D 解析：A. $ a ＞ b $，则 $ a - 1 ＞ b - 1 $，该选项错误，不符合题意；B. $ a ＞ b $，则 $ \frac{a}{2} ＞ \frac{b}{2} $，该选项错误，不符合题意；C. $ a ＞ b $，则 $ - a ＜ - b $，该选项错误，不符合题意；D. $ a ＞ b $，则 $ a + a ＞ a + b $即 $ 2 a ＞ a + b $，该选项正确，符合题意. 故选 D.
2. (2024·苏州中考改编)若 $ a ＞ b - 1 $，则下列结论一定正确的是 (
A.$ a + 1 ＜ b $
B.$ a - 1 ＜ b $
C.$ a ＞ b $
D.$ a + 2 ＞ b $
D
)A.$ a + 1 ＜ b $
B.$ a - 1 ＜ b $
C.$ a ＞ b $
D.$ a + 2 ＞ b $
答案：2. D 解析：A. 由 $ a ＞ b - 1 $，可得 $ a + 1 ＞ b $，故错误；B. 无法判断大小，故错误；C. 无法判断大小，故错误；D. 因为 $ a + 1 ＞ b $，$ a + 2 ＞ a + 1 $，所以 $ a + 2 ＞ b $，故正确. 故选 D.
3. 用不等号填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：
(1) 若 $ x + 1 ＞ 4 $，则 $ x $
(2) 若 $ - \frac{1}{2}x ＜ - 1 $，则 $ x $
(3) 若 $ 3x ＜ - x $，则 $ x $
(1) 若 $ x + 1 ＞ 4 $，则 $ x $
＞
$ 3 $，根据不等式的基本性质1
；(2) 若 $ - \frac{1}{2}x ＜ - 1 $，则 $ x $
＞
$ 2 $，根据不等式的基本性质2
；(3) 若 $ 3x ＜ - x $，则 $ x $
＜
$ 0 $，根据不等式的基本性质1，2
。答案：3. (1) $ ＞ $ 1 (2) $ ＞ $ 2 (3) $ ＜ $ 1，2
4. 教材变式 若 $ a ＜ b $，且 $ c ≠ 0 $，用“＞”或“＜”连接下列各式：
(1) $ a - 5 $
(3) $ 7a $
(5) $ \frac{a}{c^{2}} $
(7) $ - \frac{1}{5}a + c $
(8) $ 2c - a $
(1) $ a - 5 $
＜
$ b - 5 $；(2) $ a + 3 $＜
$ b + 3 $；(3) $ 7a $
＜
$ 7b $；(4) $ - 3a $＞
$ - 3b $；(5) $ \frac{a}{c^{2}} $
＜
$ \frac{b}{c^{2}} $；(6) $ \frac{a + 1}{2} $＜
$ \frac{b + 1}{2} $；(7) $ - \frac{1}{5}a + c $
＞
$ - \frac{1}{5}b + c $；(8) $ 2c - a $
＞
$ - b + 2c $。答案：4. (1) $ ＜ $ (2) $ ＜ $ (3) $ ＜ $ (4) $ ＞ $ (5) $ ＜ $ (6) $ ＜ $ (7) $ ＞ $ (8) $ ＞ $
解析：
(1) $ ＜ $
(2) $ ＜ $
(3) $ ＜ $
(4) $ ＞ $
(5) $ ＜ $
(6) $ ＜ $
(7) $ ＞ $
(8) $ ＞ $
(2) $ ＜ $
(3) $ ＜ $
(4) $ ＞ $
(5) $ ＜ $
(6) $ ＜ $
(7) $ ＞ $
(8) $ ＞ $
5. 新趋势 开放性试题 (1) 由 $ 2025 ＜ 2026 $，得 $ 2025x ＞ 2026x $，则 $ x $的值可以为
(2) 已知关于 $ x $的不等式 $ (1 - a)x ＜ 1 $可化为 $ x ＞ \frac{1}{1 - a} $，则 $ a $的取值范围是
- 1
。(写出一个即可)(2) 已知关于 $ x $的不等式 $ (1 - a)x ＜ 1 $可化为 $ x ＞ \frac{1}{1 - a} $，则 $ a $的取值范围是
$ a ＞ 1 $
。答案：5. (1) $ - 1 $（答案不唯一）解析：不等式两边同时乘 $ x $ 时不等号的方向改变，所以 $ x $ 为负数.
(2) $ a ＞ 1 $ 解析：因为不等式 $ (1 - a) x ＜ 1 $ 的解集为 $ x ＞ \frac{1}{1 - a} $，所以不等式两边同时除以 $ (1 - a) $ 时不等号的方向改变，所以 $ 1 - a ＜ 0 $，所以 $ a ＞ 1 $.
(2) $ a ＞ 1 $ 解析：因为不等式 $ (1 - a) x ＜ 1 $ 的解集为 $ x ＞ \frac{1}{1 - a} $，所以不等式两边同时除以 $ (1 - a) $ 时不等号的方向改变，所以 $ 1 - a ＜ 0 $，所以 $ a ＞ 1 $.
6. 教材变式 把下列不等式化成“$ x ＞ a $”或“$ x ＜ a $”的形式 ($ a $为常数)。
(1) $ x - 5 ＞ - 4 $；
(2) $ 2x ＞ x - 1 $；
(3) $ (π - 4)x ≥ 1 $；
(4) $ - 3x + 2 ＜ 2x + 7 $。
(1) $ x - 5 ＞ - 4 $；
(2) $ 2x ＞ x - 1 $；
(3) $ (π - 4)x ≥ 1 $；
(4) $ - 3x + 2 ＜ 2x + 7 $。
答案：6. (1) $ x ＞ 1 $. (2) $ x ＞ - 1 $. (3) $ x ≤ \frac{1}{π - 4} $. (4) $ x ＞ - 1 $.
解析：
(1) $ x - 5 ＞ - 4 $
$ x ＞ - 4 + 5 $
$ x ＞ 1 $
(2) $ 2x ＞ x - 1 $
$ 2x - x ＞ - 1 $
$ x ＞ - 1 $
(3) $ (π - 4)x ≥ 1 $
因为$ π - 4 ＜ 0 $，所以
$ x ≤ \frac{1}{π - 4} $
(4) $ - 3x + 2 ＜ 2x + 7 $
$ - 3x - 2x ＜ 7 - 2 $
$ - 5x ＜ 5 $
$ x ＞ - 1 $
$ x ＞ - 4 + 5 $
$ x ＞ 1 $
(2) $ 2x ＞ x - 1 $
$ 2x - x ＞ - 1 $
$ x ＞ - 1 $
(3) $ (π - 4)x ≥ 1 $
因为$ π - 4 ＜ 0 $，所以
$ x ≤ \frac{1}{π - 4} $
(4) $ - 3x + 2 ＜ 2x + 7 $
$ - 3x - 2x ＜ 7 - 2 $
$ - 5x ＜ 5 $
$ x ＞ - 1 $
7. (1) 若 $ a ＜ 0 $，则 $ a $
(2) 若 $ a ＜ c ＜ b ＜ 0 $，则 $ abc $
(3) 若 $ a ＜ c ＜ 0 ＜ b $，化简 $ 4(c - a) - 2(2c - b) $，并判断化简结果的正负。
＞
$ 2a $；(填“＞”“＜”或“=”)(2) 若 $ a ＜ c ＜ b ＜ 0 $，则 $ abc $
＜
$ 0 $；(填“＞”“＜”或“=”)(3) 若 $ a ＜ c ＜ 0 ＜ b $，化简 $ 4(c - a) - 2(2c - b) $，并判断化简结果的正负。
答案：7. (1) $ ＞ $ 解析：不等式两边同时加 $ a $，不等号的方向不变，所以 $ 2 a ＜ a $，即 $ a ＞ 2 a $.
(2) $ ＜ $ 解析：因为 $ a ＜ c ＜ b ＜ 0 $，所以 $ a c ＞ 0 $，所以 $ a b c ＜ 0 $.
(3) $ 4 ( c - a ) - 2 ( 2 c - b ) = 4 c - 4 a - 4 c + 2 b = - 4 a + 2 b $. 因为 $ a ＜ c ＜ 0 ＜ b $，所以 $ - 4 a ＞ 0 $，$ 2 b ＞ 0 $，所以 $ - 4 a + 2 b ＞ 0 $，故结果为正.
(2) $ ＜ $ 解析：因为 $ a ＜ c ＜ b ＜ 0 $，所以 $ a c ＞ 0 $，所以 $ a b c ＜ 0 $.
(3) $ 4 ( c - a ) - 2 ( 2 c - b ) = 4 c - 4 a - 4 c + 2 b = - 4 a + 2 b $. 因为 $ a ＜ c ＜ 0 ＜ b $，所以 $ - 4 a ＞ 0 $，$ 2 b ＞ 0 $，所以 $ - 4 a + 2 b ＞ 0 $，故结果为正.
8. 下列式子一定成立的是 (
A.若 $ ac ＞ bc $，则 $ a ＞ b $
B.若 $ a ＞ b $，则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $
C.若 $ a ＞ b $，则 $ 3 - 3a ＞ 3 - 3b $
D.若 $ a ＜ b $，则 $ a(c^{2} + 1) ＜ b(c^{2} + 1) $
D
)A.若 $ ac ＞ bc $，则 $ a ＞ b $
B.若 $ a ＞ b $，则 $ ac^{2} ＞ bc^{2} $
C.若 $ a ＞ b $，则 $ 3 - 3a ＞ 3 - 3b $
D.若 $ a ＜ b $，则 $ a(c^{2} + 1) ＜ b(c^{2} + 1) $
答案：8. D 解析：A. 若 $ a c ＞ b c $，当 $ c ＜ 0 $ 时，$ a ＞ b $ 不成立，故该选项错误；B. 若 $ a ＞ b $，当 $ c = 0 $ 时，$ a c ^ { 2 } ＞ b c ^ { 2 } $ 不成立，故该选项错误；C. 若 $ a ＞ b $，则 $ 3 - 3 a ＜ 3 - 3 b $，故该选项错误；D. 若 $ a ＜ b $，则 $ a ( c ^ { 2 } + 1 ) ＜ b ( c ^ { 2 } + 1 ) $ 恒成立，故该选项正确. 故选 D.
9. (北京中考)已知 $ a - 1 ＞ 0 $，则下列结论正确的是 (
A.$ - 1 ＜ - a ＜ a ＜ 1 $
B.$ - a ＜ - 1 ＜ 1 ＜ a $
C.$ - a ＜ - 1 ＜ a ＜ 1 $
D.$ - 1 ＜ - a ＜ 1 ＜ a $
B
)A.$ - 1 ＜ - a ＜ a ＜ 1 $
B.$ - a ＜ - 1 ＜ 1 ＜ a $
C.$ - a ＜ - 1 ＜ a ＜ 1 $
D.$ - 1 ＜ - a ＜ 1 ＜ a $
答案：9. B 解析：因为 $ a - 1 ＞ 0 $，所以 $ a ＞ 1 $，所以 $ - a ＜ - 1 $，所以 $ - a ＜ - 1 ＜ 1 ＜ a $. 故选 B.