10. (1) 如果 $ a ＞ b $，那么 $ a(a - b) $
(2) 若 $ a ＜ b ＜ 0 $，则 $ 1 $，$ 1 - a $，$ 1 - b $三个数之间的大小关系为
＞
$ b(a - b) $；(填“＞”或“＜”)(2) 若 $ a ＜ b ＜ 0 $，则 $ 1 $，$ 1 - a $，$ 1 - b $三个数之间的大小关系为
$ 1 ＜ 1 - b ＜ 1 - a $
。(用“＜”连接)答案：10. (1) $ ＞ $ 解析：若 $ a ＞ b $，则 $ a - b ＞ 0 $，则 $ a ( a - b ) ＞ b ( a - b ) $.
(2) $ 1 ＜ 1 - b ＜ 1 - a $ 解析：因为 $ a ＜ b $，所以 $ 1 - b ＜ 1 - a $. 因为 $ b ＜ 0 $，所以 $ 1 ＜ 1 - b $，故有 $ 1 ＜ 1 - b ＜ 1 - a $.
(2) $ 1 ＜ 1 - b ＜ 1 - a $ 解析：因为 $ a ＜ b $，所以 $ 1 - b ＜ 1 - a $. 因为 $ b ＜ 0 $，所以 $ 1 ＜ 1 - b $，故有 $ 1 ＜ 1 - b ＜ 1 - a $.
11. 一题多变 (1) 由 $ a ＜ b $，得 $ m^{2}a ＜ m^{2}b $，则 $ m $的取值范围是
(2) 由 $ a ＞ - 2 $，得 $ a^{2} ≤ - 2a $，则 $ a $的取值范围是
$ m ≠ 0 $
；(2) 由 $ a ＞ - 2 $，得 $ a^{2} ≤ - 2a $，则 $ a $的取值范围是
$ - 2 ＜ a ≤ 0 $
。答案：11. (1) $ m ≠ 0 $ 解析：当 $ m ^ { 2 } ＞ 0 $ 时，$ m ^ { 2 } a ＜ m ^ { 2 } b $ 成立. 因为 $ m ^ { 2 } ≥ 0 $，所以应满足 $ m ^ { 2 } ≠ 0 $，即 $ m ≠ 0 $.
(2) $ - 2 ＜ a ≤ 0 $ 解析：当 $ a ≤ 0 $ 时，$ a ^ { 2 } ≤ - 2 a $ 成立，则 $ - 2 ＜ a ≤ 0 $.
(2) $ - 2 ＜ a ≤ 0 $ 解析：当 $ a ≤ 0 $ 时，$ a ^ { 2 } ≤ - 2 a $ 成立，则 $ - 2 ＜ a ≤ 0 $.
12. 如图，直线 $ l $上有三点 $ A $，$ B $，$ C $，$ AB = 5 $，$ BC = 10 $，点 $ P $，$ Q $分别从点 $ A $，$ B $同时出发，向点 $ C $移动，点 $ P $的速度是 $ m $个单位长度/秒，点 $ Q $的速度是 $ n $个单位长度/秒，$ 2m ＜ 3n $，则在点 $ P $与点 $ Q $之中，点
$ Q $
先到达点 $ C $。答案：12. $ Q $ 解析：由题意得点 $ P $ 运动至点 $ C $ 所需的时间为 $ \frac { A B + B C } { m } = \frac { 15 } { m } $，点 $ Q $ 运动至点 $ C $ 所需的时间为 $ \frac { B C } { n } = \frac { 10 } { n } $. 因为 $ 2 m ＜ 3 n $，所以 $ \frac { 2 } { n } ＜ \frac { 3 } { m } $，所以 $ \frac { 10 } { n } ＜ \frac { 15 } { m } $，即点 $ Q $ 运动至点 $ C $ 所需的时间短，所以点 $ Q $ 先到.
解析：
点 $ P $ 运动至点 $ C $ 所需时间为 $ \frac{AB + BC}{m} = \frac{5 + 10}{m} = \frac{15}{m} $，点 $ Q $ 运动至点 $ C $ 所需时间为 $ \frac{BC}{n} = \frac{10}{n} $。
因为 $ 2m ＜ 3n $，所以 $ \frac{2}{n} ＜ \frac{3}{m} $，两边同乘 5 得 $ \frac{10}{n} ＜ \frac{15}{m} $。
故点 $ Q $ 先到达点 $ C $。
$ Q $
因为 $ 2m ＜ 3n $，所以 $ \frac{2}{n} ＜ \frac{3}{m} $，两边同乘 5 得 $ \frac{10}{n} ＜ \frac{15}{m} $。
故点 $ Q $ 先到达点 $ C $。
$ Q $
13. 改编题 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若 $ a - b ＞ 0 $，则 $ a $
若 $ a - b = 0 $，则 $ a $
若 $ a - b ＜ 0 $，则 $ a $
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”。
请运用这种方法尝试比较下列各组代数式的大小：
(1) $ 2x^{2} - 2x $与 $ x^{2} - 2x $；
(2) 代数式 $ P $与 $ Q $，其中 $ P = \frac{1}{2}x(2x + 4) - 4y(y - 3) $，$ Q = 3(x + y)(x - y) + 2(x + 6y + 2) $。
若 $ a - b ＞ 0 $，则 $ a $
＞
$ b $；若 $ a - b = 0 $，则 $ a $
=
$ b $；若 $ a - b ＜ 0 $，则 $ a $
＜
$ b $。这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”。
请运用这种方法尝试比较下列各组代数式的大小：
(1) $ 2x^{2} - 2x $与 $ x^{2} - 2x $；
(2) 代数式 $ P $与 $ Q $，其中 $ P = \frac{1}{2}x(2x + 4) - 4y(y - 3) $，$ Q = 3(x + y)(x - y) + 2(x + 6y + 2) $。
答案：13. $ ＞ $ $ = $ $ ＜ $
(1) 因为 $ ( 2 x ^ { 2 } - 2 x ) - ( x ^ { 2 } - 2 x ) = 2 x ^ { 2 } - 2 x - x ^ { 2 } + 2 x = x ^ { 2 } ≥ 0 $，所以 $ 2 x ^ { 2 } - 2 x ≥ x ^ { 2 } - 2 x $.
(2) 因为 $ P - Q = x ^ { 2 } + 2 x - 4 y ^ { 2 } + 12 y - ( 3 x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } + 2 x + 12 y + 4 ) = - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - 4 $. 因为 $ - 2 x ^ { 2 } ≤ 0 $，$ - y ^ { 2 } ≤ 0 $，$ - 4 ＜ 0 $，所以 $ - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - 4 ＜ 0 $，则 $ P ＜ Q $.
(1) 因为 $ ( 2 x ^ { 2 } - 2 x ) - ( x ^ { 2 } - 2 x ) = 2 x ^ { 2 } - 2 x - x ^ { 2 } + 2 x = x ^ { 2 } ≥ 0 $，所以 $ 2 x ^ { 2 } - 2 x ≥ x ^ { 2 } - 2 x $.
(2) 因为 $ P - Q = x ^ { 2 } + 2 x - 4 y ^ { 2 } + 12 y - ( 3 x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } + 2 x + 12 y + 4 ) = - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - 4 $. 因为 $ - 2 x ^ { 2 } ≤ 0 $，$ - y ^ { 2 } ≤ 0 $，$ - 4 ＜ 0 $，所以 $ - 2 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - 4 ＜ 0 $，则 $ P ＜ Q $.
14. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重 (单位：$ kg $) 分别为 $ P $，$ Q $，$ R $，$ S $，如图所示，则他们的体重从大到小是
]
$ S ＞ P ＞ R ＞ Q $
。(用“＞”连接)]答案：14. $ S ＞ P ＞ R ＞ Q $ 解析：由题图①②，得 $ S ＞ P ＞ R $，所以 $ S - P ＞ 0 $，由题图③得 $ P + R ＞ Q + S $，所以 $ S - P ＜ R - Q $，所以 $ R - Q ＞ 0 $，所以 $ R ＞ Q $. 综上，$ S ＞ P ＞ R ＞ Q $.
解析：
由题图①得 $ S ＞ P $，由题图②得 $ P ＞ R $，故 $ S ＞ P ＞ R $。
由题图③得 $ P + R ＞ Q + S $，移项可得 $ R - Q ＞ S - P $。
因为 $ S ＞ P $，所以 $ S - P ＞ 0 $，则 $ R - Q ＞ 0 $，即 $ R ＞ Q $。
综上，$ S ＞ P ＞ R ＞ Q $。
$ S ＞ P ＞ R ＞ Q $
由题图③得 $ P + R ＞ Q + S $，移项可得 $ R - Q ＞ S - P $。
因为 $ S ＞ P $，所以 $ S - P ＞ 0 $，则 $ R - Q ＞ 0 $，即 $ R ＞ Q $。
综上，$ S ＞ P ＞ R ＞ Q $。
$ S ＞ P ＞ R ＞ Q $
15. 改编题 阅读下列材料：
数学问题：已知 $ x $，$ y $均为非负数，且满足 $ x + y = 8 $，求 $ 2x + 3y $的取值范围。
问题解法：因为 $ x + y = 8 $，所以 $ x = 8 - y $。因为 $ x $，$ y $均为非负数，所以 $ x ≥ 0 $，即 $ 8 - y ≥ 0 $，所以 $ 0 ≤ y ≤ 8 $。
因为 $ 2x + 3y = 2(8 - y) + 3y = 16 + y $，所以 $ 16 ≤ 16 + y ≤ 24 $，所以 $ 16 ≤ 2x + 3y ≤ 24 $。
完成任务：
(1) 直接写出数学问题中 $ x + 2y $的取值范围：
(2) 已知 $ x + y = 3 $，且 $ x ＞ 2 $，$ y ＞ 0 $，则 $ x - y $的取值范围是
(3) 已知 $ y ＞ 1 $，$ x ＜ - 1 $，若 $ x - y = a(a ＜ - 2) $成立，则 $ x + y $的取值范围是
(4) 已知 $ 2x - y - 4 = 0 $，且 $ - 2 ＜ x + y ＜ 3 $，$ 1 ＜ x - y ＜ 4 $，试确定 $ 5x + 2y $的取值范围。
数学问题：已知 $ x $，$ y $均为非负数，且满足 $ x + y = 8 $，求 $ 2x + 3y $的取值范围。
问题解法：因为 $ x + y = 8 $，所以 $ x = 8 - y $。因为 $ x $，$ y $均为非负数，所以 $ x ≥ 0 $，即 $ 8 - y ≥ 0 $，所以 $ 0 ≤ y ≤ 8 $。
因为 $ 2x + 3y = 2(8 - y) + 3y = 16 + y $，所以 $ 16 ≤ 16 + y ≤ 24 $，所以 $ 16 ≤ 2x + 3y ≤ 24 $。
完成任务：
(1) 直接写出数学问题中 $ x + 2y $的取值范围：
$ 8 ≤ x + 2 y ≤ 16 $
；(2) 已知 $ x + y = 3 $，且 $ x ＞ 2 $，$ y ＞ 0 $，则 $ x - y $的取值范围是
$ 1 ＜ x - y ＜ 3 $
；(3) 已知 $ y ＞ 1 $，$ x ＜ - 1 $，若 $ x - y = a(a ＜ - 2) $成立，则 $ x + y $的取值范围是
$ 2 + a ＜ x + y ＜ - a - 2 $
；(结果用含 $ a $的式子表示)(4) 已知 $ 2x - y - 4 = 0 $，且 $ - 2 ＜ x + y ＜ 3 $，$ 1 ＜ x - y ＜ 4 $，试确定 $ 5x + 2y $的取值范围。
答案：15. (1) $ 8 ≤ x + 2 y ≤ 16 $ 解析：$ x + 2 y = ( 8 - y ) + 2 y = 8 + y $. 因为 $ 0 ≤ y ≤ 8 $，所以 $ 8 ≤ 8 + y ≤ 16 $，所以 $ 8 ≤ x + 2 y ≤ 16 $.
(2) $ 1 ＜ x - y ＜ 3 $ 解析：因为 $ x + y = 3 $，所以 $ x = 3 - y $. 因为 $ x ＞ 2 $，所以 $ 3 - y ＞ 2 $，所以 $ y ＜ 1 $. 又因为 $ y ＞ 0 $，所以 $ 0 ＜ y ＜ 1 $，可得 $ x - y = 3 - y - y = 3 - 2 y $. 因为 $ 0 ＜ y ＜ 1 $，所以 $ - 2 ＜ - 2 y ＜ 0 $，所以 $ 1 ＜ 3 - 2 y ＜ 3 $，即 $ x - y $ 的取值范围是 $ 1 ＜ x - y ＜ 3 $.
(3) $ 2 + a ＜ x + y ＜ - a - 2 $ 解析：因为 $ x - y = a $，所以 $ x = y + a $. 因为 $ x ＜ - 1 $，所以 $ y + a ＜ - 1 $，所以 $ y ＜ - a - 1 $. 又因为 $ y ＞ 1 $，所以 $ 1 ＜ y ＜ - a - 1 $，可得 $ x + y = y + a + y = 2 y + a $. 因为 $ 1 ＜ y ＜ - a - 1 $，所以 $ 2 ＜ 2 y ＜ - 2 a - 2 $，所以 $ 2 + a ＜ 2 y + a ＜ - a - 2 $，所以 $ x + y $ 的取值范围是 $ 2 + a ＜ x + y ＜ - a - 2 $.
(4) 因为 $ 2 x - y - 4 = 0 $，所以 $ y = 2 x - 4 $，所以 $ 5 x + 2 y = 9 x - 8 $. 因为 $ - 2 ＜ x + y ＜ 3 $，所以 $ - 2 ＜ x + 2 x - 4 ＜ 3 $，所以 $ 2 ＜ 3 x ＜ 7 $，所以 $ 6 ＜ 9 x ＜ 21 $；因为 $ 1 ＜ x - y ＜ 4 $，所以 $ 1 ＜ x - 2 x + 4 ＜ 4 $，所以 $ - 3 ＜ - x ＜ 0 $，所以 $ 0 ＜ x ＜ 3 $，所以 $ 0 ＜ 9 x ＜ 27 $，综上可得 $ 6 ＜ 9 x ＜ 21 $，所以 $ - 2 ＜ 9 x - 8 ＜ 13 $，所以 $ 5 x + 2 y $ 的取值范围是 $ - 2 ＜ 5 x + 2 y ＜ 13 $.
(2) $ 1 ＜ x - y ＜ 3 $ 解析：因为 $ x + y = 3 $，所以 $ x = 3 - y $. 因为 $ x ＞ 2 $，所以 $ 3 - y ＞ 2 $，所以 $ y ＜ 1 $. 又因为 $ y ＞ 0 $，所以 $ 0 ＜ y ＜ 1 $，可得 $ x - y = 3 - y - y = 3 - 2 y $. 因为 $ 0 ＜ y ＜ 1 $，所以 $ - 2 ＜ - 2 y ＜ 0 $，所以 $ 1 ＜ 3 - 2 y ＜ 3 $，即 $ x - y $ 的取值范围是 $ 1 ＜ x - y ＜ 3 $.
(3) $ 2 + a ＜ x + y ＜ - a - 2 $ 解析：因为 $ x - y = a $，所以 $ x = y + a $. 因为 $ x ＜ - 1 $，所以 $ y + a ＜ - 1 $，所以 $ y ＜ - a - 1 $. 又因为 $ y ＞ 1 $，所以 $ 1 ＜ y ＜ - a - 1 $，可得 $ x + y = y + a + y = 2 y + a $. 因为 $ 1 ＜ y ＜ - a - 1 $，所以 $ 2 ＜ 2 y ＜ - 2 a - 2 $，所以 $ 2 + a ＜ 2 y + a ＜ - a - 2 $，所以 $ x + y $ 的取值范围是 $ 2 + a ＜ x + y ＜ - a - 2 $.
(4) 因为 $ 2 x - y - 4 = 0 $，所以 $ y = 2 x - 4 $，所以 $ 5 x + 2 y = 9 x - 8 $. 因为 $ - 2 ＜ x + y ＜ 3 $，所以 $ - 2 ＜ x + 2 x - 4 ＜ 3 $，所以 $ 2 ＜ 3 x ＜ 7 $，所以 $ 6 ＜ 9 x ＜ 21 $；因为 $ 1 ＜ x - y ＜ 4 $，所以 $ 1 ＜ x - 2 x + 4 ＜ 4 $，所以 $ - 3 ＜ - x ＜ 0 $，所以 $ 0 ＜ x ＜ 3 $，所以 $ 0 ＜ 9 x ＜ 27 $，综上可得 $ 6 ＜ 9 x ＜ 21 $，所以 $ - 2 ＜ 9 x - 8 ＜ 13 $，所以 $ 5 x + 2 y $ 的取值范围是 $ - 2 ＜ 5 x + 2 y ＜ 13 $.