11. 已知不等式 $6x + 1 ＞ 5x - 2$ 的最小整数解是方程 $2x - kx = 4 - 2k$ 的解，则 $k =$
2
.答案：11. 2 解析：解不等式 $ 6x + 1 ＞ 5x - 2 $，得 $ x ＞ -3 $，所以不等式 $ 6x + 1 ＞ 5x - 2 $ 的最小整数解为 $ x = -2 $。把 $ x = -2 $ 代入方程 $ 2x - kx = 4 - 2k $，得 $ 2 × (-2) - (-2) × k = 4 - 2k $，解得 $ k = 2 $。
解析：
解不等式$6x + 1 ＞ 5x - 2$，得$x ＞ -3$，其最小整数解为$x = -2$。
将$x = -2$代入方程$2x - kx = 4 - 2k$，得$2×(-2)-k×(-2)=4 - 2k$，即$-4 + 2k = 4 - 2k$，解得$k = 2$。
$2$
将$x = -2$代入方程$2x - kx = 4 - 2k$，得$2×(-2)-k×(-2)=4 - 2k$，即$-4 + 2k = 4 - 2k$，解得$k = 2$。
$2$
12. (巴彦淖尔中考改编)若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + y = 4,\\x + 2y = - 3m + 2\end{cases}$ 的解满足 $x - y ＞ - \frac{3}{2}$，则 $m$ 的最小整数解为 ______ .
答案：12. $ m = -1 $ 解析：$ \begin{cases} 2x + y = 4, & ① \\ x + 2y = -3m + 2, & ② \end{cases} $ ① - ②，得 $ x - y = 3m + 2 $，根据题意，得 $ 3m + 2 ＞ -\frac{3}{2} $，解得 $ m ＞ -\frac{7}{6} $，所以 $ m $ 的最小整数解为 $ m = -1 $。故答案为 $ m = -1 $。
13. (1)若关于 $x$ 的方程 $3x + 7 = 2a$ 的解大于关于 $x$ 的方程 $2a(6x + 2) = 3x(4a - 1)$ 的解，求 $a$ 的取值范围；
(2)已知 $a$，$b$ 为常数，若 $ax + b ＞ 0$ 的解集是 $x ＜ \frac{1}{3}$，求 $bx - a ＜ 0$ 的解集.
(2)已知 $a$，$b$ 为常数，若 $ax + b ＞ 0$ 的解集是 $x ＜ \frac{1}{3}$，求 $bx - a ＜ 0$ 的解集.
答案：13. (1) 解方程 $ 3x + 7 = 2a $ 得 $ x = \frac{2a - 7}{3} $，解方程 $ 2a(6x + 2) = 3x(4a - 1) $ 得 $ x = -\frac{4}{3}a $，由题意得 $ \frac{2a - 7}{3} ＞ -\frac{4}{3}a $，解得 $ a ＞ \frac{7}{6} $。
(2) 因为 $ ax + b ＞ 0 $ 的解集是 $ x ＜ \frac{1}{3} $，由于不等号的方向发生了变化，所以 $ a ＜ 0 $，$ -\frac{b}{a} = \frac{1}{3} $，所以 $ a = -3b $，所以 $ b ＞ 0 $。解不等式 $ bx - a ＜ 0 $，即 $ bx + 3b ＜ 0 $，得 $ x ＜ -3 $。
(2) 因为 $ ax + b ＞ 0 $ 的解集是 $ x ＜ \frac{1}{3} $，由于不等号的方向发生了变化，所以 $ a ＜ 0 $，$ -\frac{b}{a} = \frac{1}{3} $，所以 $ a = -3b $，所以 $ b ＞ 0 $。解不等式 $ bx - a ＜ 0 $，即 $ bx + 3b ＜ 0 $，得 $ x ＜ -3 $。
14. 新题型 新定义 定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式. 例如：不等式 $x ＜ - 3$ 的解都是不等式 $x ＜ - 1$ 的解，则 $x ＜ - 3$ 是 $x ＜ - 1$ 的蕴含不等式.
(1)在不等式 $x ＞ 1$，$x ＞ 3$，$x ＜ 4$ 中，是 $x ＞ 2$ 的蕴含不等式的是
(2)若不等式 $2x ＜ 4$ 是不等式 $5 - x ＞ a$ 的蕴含不等式，求 $a$ 的取值范围；
(3)若 $x ＜ - 2n + 4$ 是 $x ＜ 2$ 的蕴含不等式，试判断 $x ＜ - n + 3$ 是不是 $x ＜ 2$ 的蕴含不等式，并说明理由.
(1)在不等式 $x ＞ 1$，$x ＞ 3$，$x ＜ 4$ 中，是 $x ＞ 2$ 的蕴含不等式的是
$ x ＞ 3 $
；(2)若不等式 $2x ＜ 4$ 是不等式 $5 - x ＞ a$ 的蕴含不等式，求 $a$ 的取值范围；
(3)若 $x ＜ - 2n + 4$ 是 $x ＜ 2$ 的蕴含不等式，试判断 $x ＜ - n + 3$ 是不是 $x ＜ 2$ 的蕴含不等式，并说明理由.
答案：14. (1) $ x ＞ 3 $ 解析：因为不等式 $ x ＞ 3 $ 的解都是不等式 $ x ＞ 2 $ 的解，所以 $ x ＞ 3 $ 是 $ x ＞ 2 $ 的蕴含不等式。
(2) 不等式 $ 2x ＜ 4 $ 的解集为 $ x ＜ 2 $，不等式 $ 5 - x ＞ a $ 的解集为 $ x ＜ 5 - a $。因为不等式 $ 2x ＜ 4 $ 是不等式 $ 5 - x ＞ a $ 的蕴含不等式，借助数轴分析，可得 $ 5 - a ≥ 2 $，解得 $ a ≤ 3 $。
(3) 是，理由：根据题意得 $ -2n + 4 ≤ 2 $，解得 $ n ≥ 1 $，所以 $ -n + 3 ≤ 2 $，故 $ x ＜ -n + 3 $ 是 $ x ＜ 2 $ 的蕴含不等式。
(2) 不等式 $ 2x ＜ 4 $ 的解集为 $ x ＜ 2 $，不等式 $ 5 - x ＞ a $ 的解集为 $ x ＜ 5 - a $。因为不等式 $ 2x ＜ 4 $ 是不等式 $ 5 - x ＞ a $ 的蕴含不等式，借助数轴分析，可得 $ 5 - a ≥ 2 $，解得 $ a ≤ 3 $。
(3) 是，理由：根据题意得 $ -2n + 4 ≤ 2 $，解得 $ n ≥ 1 $，所以 $ -n + 3 ≤ 2 $，故 $ x ＜ -n + 3 $ 是 $ x ＜ 2 $ 的蕴含不等式。
15. (2025·三明期末)对于不等式：$a^x ＞ a^y$（$a ＞ 0$ 且 $a ≠ 1$），当 $a ＞ 1$ 时，$x ＞ y$；当 $0 ＜ a ＜ 1$ 时，$x ＜ y$，请根据以上信息，解答以下问题：
(1)解关于 $x$ 的不等式：$2^{x - 1} ＞ 2^{3x - 1}$；
(2)若关于 $x$ 的不等式：$(\frac{1}{2})^{kx - 1} ＜ (\frac{1}{2})^{5x - 2}$，其解集中无正整数解，求 $k$ 的取值范围；
(3)若关于 $x$ 的不等式：$a^{x - k} ＞ a^{5x - 2}$，当 $0 ＜ a ＜ 1$ 时，在 $- 2 ≤ x ≤ - 1$ 上总存在 $x$ 的值使得其成立，求 $k$ 的取值范围.
(1)解关于 $x$ 的不等式：$2^{x - 1} ＞ 2^{3x - 1}$；
(2)若关于 $x$ 的不等式：$(\frac{1}{2})^{kx - 1} ＜ (\frac{1}{2})^{5x - 2}$，其解集中无正整数解，求 $k$ 的取值范围；
(3)若关于 $x$ 的不等式：$a^{x - k} ＞ a^{5x - 2}$，当 $0 ＜ a ＜ 1$ 时，在 $- 2 ≤ x ≤ - 1$ 上总存在 $x$ 的值使得其成立，求 $k$ 的取值范围.
答案：15. (1) 因为 $ 2^{5x - 1} ＞ 2^{3x - 1} $ 且 $ 2 ＞ 1 $，所以 $ 5x - 1 ＞ 3x - 1 $，解得 $ x ＞ 0 $。
(2) 因为 $ ( \frac{1}{2} )^{kx - 1} ＜ ( \frac{1}{2} )^{5x - 2} $，$ 0 ＜ \frac{1}{2} ＜ 1 $，所以 $ kx - 1 ＞ 5x - 2 $，$ (k - 5)x ＞ -1 $。因为解集中无正整数解，所以 $ k - 5 ＜ 0 $，即 $ k ＜ 5 $，所以 $ x ＜ \frac{-1}{k - 5} $，所以 $ \frac{-1}{k - 5} ≤ 1 $，$ -1 ≥ k - 5 $，解得 $ k ≤ 4 $，所以 $ k $ 的取值范围为 $ k ≤ 4 $。
(3) 因为 $ 0 ＜ a ＜ 1 $，$ a^{x - k} ＞ a^{5x - 2} $，所以 $ x - k ＜ 5x - 2 $，解得 $ x ＞ \frac{2 - k}{4} $。因为在 $ -2 ≤ x ≤ -1 $ 上总存在 $ x $ 的值使得其成立，所以 $ \frac{2 - k}{4} ＜ -1 $，解得 $ k ＞ 6 $，所以 $ k $ 的取值范围为 $ k ＞ 6 $。
(2) 因为 $ ( \frac{1}{2} )^{kx - 1} ＜ ( \frac{1}{2} )^{5x - 2} $，$ 0 ＜ \frac{1}{2} ＜ 1 $，所以 $ kx - 1 ＞ 5x - 2 $，$ (k - 5)x ＞ -1 $。因为解集中无正整数解，所以 $ k - 5 ＜ 0 $，即 $ k ＜ 5 $，所以 $ x ＜ \frac{-1}{k - 5} $，所以 $ \frac{-1}{k - 5} ≤ 1 $，$ -1 ≥ k - 5 $，解得 $ k ≤ 4 $，所以 $ k $ 的取值范围为 $ k ≤ 4 $。
(3) 因为 $ 0 ＜ a ＜ 1 $，$ a^{x - k} ＞ a^{5x - 2} $，所以 $ x - k ＜ 5x - 2 $，解得 $ x ＞ \frac{2 - k}{4} $。因为在 $ -2 ≤ x ≤ -1 $ 上总存在 $ x $ 的值使得其成立，所以 $ \frac{2 - k}{4} ＜ -1 $，解得 $ k ＞ 6 $，所以 $ k $ 的取值范围为 $ k ＞ 6 $。