1. 已知 $ a = 8^{14} $，$ b = 256^{5} $，$ c = 64^{7} $，试比较 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小。
答案：1. 因为 $ a = 8^{14} = (2^{3})^{14} = 2^{42} $，$ b = 256^{5} = (2^{8})^{5} = 2^{40} $，$ c = 64^{7} = (2^{6})^{7} = 2^{42} $，且 $ 2^{42} = 2^{42} ＞ 2^{40} $，所以 $ a = c ＞ b $。
技法点拨 比较幂的大小，可以从底数和指数两方面入手。若指数 $ n $ 相同，当底数 $ a ＞ b ＞ 0 $ 时，$ a^{n} ＞ b^{n} $。若底数相同，当底数 $ a ＞ 1 $ 时，指数 $ n $ 越大，$ a^{n} $ 就越大；当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，指数 $ n $ 越大，$ a^{n} $ 就越小。
技法点拨 比较幂的大小，可以从底数和指数两方面入手。若指数 $ n $ 相同，当底数 $ a ＞ b ＞ 0 $ 时，$ a^{n} ＞ b^{n} $。若底数相同，当底数 $ a ＞ 1 $ 时，指数 $ n $ 越大，$ a^{n} $ 就越大；当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，指数 $ n $ 越大，$ a^{n} $ 就越小。
2. 阅读下列材料：
若 $ p^{2} = 3 $，$ q^{3} = 5 $，且 $ p $，$ q $ 均为非负数，比较 $ p $，$ q $ 的大小。
因为 $ p^{6} = (p^{2})^{3} = 3^{3} = 27 $，$ q^{6} = (q^{3})^{2} = 5^{2} = 25 $，$ 27 ＞ 25 $，所以 $ p^{6} ＞ q^{6} $，所以 $ p ＞ q $。
依照上述方法解答问题：
(1) 上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质？
A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
(2) 已知 $ m^{5} = 2 $，$ n^{7} = 3 $，试比较 $ m $ 与 $ n $ 的大小。
若 $ p^{2} = 3 $，$ q^{3} = 5 $，且 $ p $，$ q $ 均为非负数，比较 $ p $，$ q $ 的大小。
因为 $ p^{6} = (p^{2})^{3} = 3^{3} = 27 $，$ q^{6} = (q^{3})^{2} = 5^{2} = 25 $，$ 27 ＞ 25 $，所以 $ p^{6} ＞ q^{6} $，所以 $ p ＞ q $。
依照上述方法解答问题：
(1) 上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质？
C
。A. 同底数幂的乘法
B. 同底数幂的除法
C. 幂的乘方
D. 积的乘方
(2) 已知 $ m^{5} = 2 $，$ n^{7} = 3 $，试比较 $ m $ 与 $ n $ 的大小。
答案：2. (1) C 解析：上述求解过程中，逆用了幂的乘方运算性质，即 $ a^{mn} = (a^{m})^{n} $。故选 C。
(2) 因为 $ m^{35} = (m^{5})^{7} = 2^{7} = 128 $，$ n^{35} = (n^{7})^{5} = 3^{5} = 243 $，而 $ 128 ＜ 243 $，所以 $ m^{35} ＜ n^{35} $，所以 $ m ＜ n $。
(2) 因为 $ m^{35} = (m^{5})^{7} = 2^{7} = 128 $，$ n^{35} = (n^{7})^{5} = 3^{5} = 243 $，而 $ 128 ＜ 243 $，所以 $ m^{35} ＜ n^{35} $，所以 $ m ＜ n $。
3. (1) 比较 $ 3^{555} $，$ 4^{444} $，$ 5^{333} $ 的大小；
(2) 比较 $ 3^{2026}×5^{2024} $ 与 $ 3^{2024}×5^{2026} $ 的大小。
(2) 比较 $ 3^{2026}×5^{2024} $ 与 $ 3^{2024}×5^{2026} $ 的大小。
答案：3. (1) 因为 $ 3^{555} = 3^{5×111} = (3^{5})^{111} = 243^{111} $，$ 4^{444} = 4^{4×111} = (4^{4})^{111} = 256^{111} $，$ 5^{333} = 5^{3×111} = (5^{3})^{111} = 125^{111} $，且 $ 256 ＞ 243 ＞ 125 $，所以 $ 256^{111} ＞ 243^{111} ＞ 125^{111} $，即 $ 4^{444} ＞ 3^{555} ＞ 5^{333} $。
(2) $ 3^{2026}×5^{2024} = 3^{2}×3^{2024}×5^{2024} = (3×5)^{2024}×3^{2} $，$ 3^{2024}×5^{2026} = 5^{2}×3^{2024}×5^{2024} = (3×5)^{2024}×5^{2} $。又因为 $ 3^{2} ＜ 5^{2} $，所以 $ 3^{2026}×5^{2024} ＜ 3^{2024}×5^{2026} $。
(2) $ 3^{2026}×5^{2024} = 3^{2}×3^{2024}×5^{2024} = (3×5)^{2024}×3^{2} $，$ 3^{2024}×5^{2026} = 5^{2}×3^{2024}×5^{2024} = (3×5)^{2024}×5^{2} $。又因为 $ 3^{2} ＜ 5^{2} $，所以 $ 3^{2026}×5^{2024} ＜ 3^{2024}×5^{2026} $。
4. 已知 $ x^{a} = 3 $，$ x^{b} = 9 $，$ x^{c} = 27 $，判断 $ a + c $ 和 $ 2b $ 的大小。
答案：4. 因为 $ x^{a} = 3 $，$ x^{c} = 27 $，所以 $ x^{a}·x^{c} = x^{a + c} = 3×27 = 81 $。又因为 $ x^{b} = 9 $，所以 $ (x^{b})^{2} = x^{2b} = 81 $，所以 $ x^{a + c} = x^{2b} $，即 $ a + c = 2b $。
5. 已知 $ P = \frac{99^{9}}{9^{99}} $，$ Q = \frac{11^{9}}{9^{90}} $，比较 $ P $，$ Q $ 的大小。
答案：5. 因为 $ \frac{P}{Q} = \frac{99^{9}}{9^{99}}×\frac{9^{90}}{11^{9}} = \frac{(9×11)^{9}×(9^{9})^{10}}{(9^{9})^{11}×11^{9}} = 1 $，所以 $ P = Q $。
解析：
解：因为$\frac{P}{Q}=\frac{99^{9}}{9^{99}}×\frac{9^{90}}{11^{9}}=\frac{(9×11)^{9}×9^{90}}{9^{99}×11^{9}}=\frac{9^{9}×11^{9}×9^{90}}{9^{99}×11^{9}}=\frac{9^{9+90}}{9^{99}}=\frac{9^{99}}{9^{99}} = 1$，所以$P = Q$。