15. (2025·淮安校级月考)阅读理解：
定义：若一个方程(组)的解也是一个不等式的解，我们称这个方程(组)的解是这个不等式的“友好解”。例如：方程$2x - 1 = 1$的解是$x = 1$，同时$x = 1$也是不等式$x + 1 ＞ 0$的解，则称方程$2x - 1 = 1$的解$x = 1$是不等式$x + 1 ＞ 0$的“友好解”。
(1)试判断方程$\frac{3}{2}x - 2 = \frac{1}{2}x + 1$的解
(2)若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x + 3y = 5k + 2 \\ 5x - y = 4k + 5\end{cases}$的解是不等式$\frac{3}{2}x - 2y ＞ 7$的“友好解”，求$k$的取值范围；
(3)当$k ＜ 3$时，方程$3(x - 1) = k$的解是不等式$4x - 1 ＜ x + 2m$的“友好解”，求$m$的最小整数值。
定义：若一个方程(组)的解也是一个不等式的解，我们称这个方程(组)的解是这个不等式的“友好解”。例如：方程$2x - 1 = 1$的解是$x = 1$，同时$x = 1$也是不等式$x + 1 ＞ 0$的解，则称方程$2x - 1 = 1$的解$x = 1$是不等式$x + 1 ＞ 0$的“友好解”。
(1)试判断方程$\frac{3}{2}x - 2 = \frac{1}{2}x + 1$的解
不是
(填“是”或“不是”)不等式$\frac{x - 3}{2} ＞ 0$的“友好解”；(2)若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x + 3y = 5k + 2 \\ 5x - y = 4k + 5\end{cases}$的解是不等式$\frac{3}{2}x - 2y ＞ 7$的“友好解”，求$k$的取值范围；
(3)当$k ＜ 3$时，方程$3(x - 1) = k$的解是不等式$4x - 1 ＜ x + 2m$的“友好解”，求$m$的最小整数值。
答案：15. (1)不是 解析:解$\frac{3}{2}x - 2 = \frac{1}{2}x + 1$,得$x = 3$,解$\frac{x - 3}{2} ＞ 0$,得$x ＞ 3$,所以方程的解不是不等式的解.
(2)$\begin{cases}2x + 3y = 5k + 2, & ①\\5x - y = 4k + 5, & ②\end{cases}$② - ①,得$3x - 4y = 3 - k$.因为$\frac{3}{2}x - 2y ＞ 7$,所以$3x - 4y ＞ 14$,即$3 - k ＞ 14$,所以$k ＜ -11$.
(3)解$3(x - 1) = k$,得$x = \frac{k}{3} + 1$.因为$k ＜ 3$,所以$\frac{k}{3} ＜ 1$,所以$\frac{k}{3} + 1 ＜ 2$,即$x ＜ 2$,解$4x - 1 ＜ x + 2m$,得$x ＜ \frac{2m + 1}{3}$.因为方程$3(x - 1) = k$的解是不等式$4x - 1 ＜ x + 2m$的“友好解”,所以$\frac{2m + 1}{3} ≥ 2$,解得$m ≥ \frac{5}{2}$,所以$m$的最小整数值为$m = 3$.
(2)$\begin{cases}2x + 3y = 5k + 2, & ①\\5x - y = 4k + 5, & ②\end{cases}$② - ①,得$3x - 4y = 3 - k$.因为$\frac{3}{2}x - 2y ＞ 7$,所以$3x - 4y ＞ 14$,即$3 - k ＞ 14$,所以$k ＜ -11$.
(3)解$3(x - 1) = k$,得$x = \frac{k}{3} + 1$.因为$k ＜ 3$,所以$\frac{k}{3} ＜ 1$,所以$\frac{k}{3} + 1 ＜ 2$,即$x ＜ 2$,解$4x - 1 ＜ x + 2m$,得$x ＜ \frac{2m + 1}{3}$.因为方程$3(x - 1) = k$的解是不等式$4x - 1 ＜ x + 2m$的“友好解”,所以$\frac{2m + 1}{3} ≥ 2$,解得$m ≥ \frac{5}{2}$,所以$m$的最小整数值为$m = 3$.
16. 已知$m$，$n$是整数，关于$x$的不等式$2x + 3m ＞ 5m - 4n$的最小整数解为$x = 8$，关于$y$的不等式$y + 3m + 3n + 10 ＜ 5m - 9$的最大整数解为$y = -8$。
（1）求$m$，$n$的值；
（2）若$\vert x - n\vert = x - n$，$\vert x - m\vert = m - x$，求符合题意的$x$的最小整数解和最大整数解。
（1）求$m$，$n$的值；
（2）若$\vert x - n\vert = x - n$，$\vert x - m\vert = m - x$，求符合题意的$x$的最小整数解和最大整数解。
答案：16. (1)关于$x$的不等式$2x + 3m ＞ 5m - 4n$的解集为$x ＞ m - 2n$;关于$y$的不等式$y + 3m + 3n + 10 ＜ 5m - 9$的解集为$y ＜ 2m - 3n - 19$.因为$m$,$n$是整数,所以$m - 2n$,$2m - 3n - 19$也是整数.因为关于$x$的不等式$2x + 3m ＞ 5m - 4n$的最小整数解为$x = 8$,关于$y$的不等式$y + 3m + 3n + 10 ＜ 5m - 9$的最大整数解为$y = -8$,所以$m - 2n = 7$,$2m - 3n - 19 = -7$,解得$m = 3$,$n = -2$.
(2)因为$|x - n| = x - n$,$|x - m| = m - x$,所以$x - n ≥ 0$,$m - x ≥ 0$.因为$m = 3$,$n = -2$,所以$x - (-2) ≥ 0$,$3 - x ≥ 0$,所以$-2 ≤ x ≤ 3$,所以$x$的最小整数解为$x = -2$,最大整数解为$x = 3$.
(2)因为$|x - n| = x - n$,$|x - m| = m - x$,所以$x - n ≥ 0$,$m - x ≥ 0$.因为$m = 3$,$n = -2$,所以$x - (-2) ≥ 0$,$3 - x ≥ 0$,所以$-2 ≤ x ≤ 3$,所以$x$的最小整数解为$x = -2$,最大整数解为$x = 3$.
17. 若不等式$2\vert x - 1\vert + 3\vert x - 3\vert ≤ a$有解，求$a$的最小值。
答案：17. ①当$x ＜ 1$时,$x - 1 ＜ 0$,$x - 3 ＜ 0$,所以$2|x - 1| + 3|x - 3| = -2(x - 1) - 3(x - 3) = -5x + 11 ≤ a$,解得$x ≥ \frac{11 - a}{5}$,当不等式$2|x - 1| + 3|x - 3| ≤ a$在这个范围内有解时,$\frac{11 - a}{5} ＜ 1$,解得$a ＞ 6$;
②当$1 ≤ x ≤ 3$时,$x - 1 ≥ 0$,$x - 3 ≤ 0$,所以$2|x - 1| + 3|x - 3| = 2(x - 1) - 3(x - 3) = -x + 7 ≤ a$,解得$x ≥ 7 - a$,当不等式$2|x - 1| + 3|x - 3| ≤ a$在这个范围内有解时,$7 - a ≤ 3$,解得$a ≥ 4$;
③当$x ＞ 3$时,$x - 1 ＞ 0$,$x - 3 ＞ 0$,所以$2|x - 1| + 3|x - 3| = 2(x - 1) + 3(x - 3) = 5x - 11 ≤ a$,解得$x ≤ \frac{11 + a}{5}$,当不等式$2|x - 1| + 3|x - 3| ≤ a$在这个范围内有解时,$\frac{11 + a}{5} ＞ 3$,解得$a ＞ 4$.综上所述,若不等式$2|x - 1| + 3|x - 3| ≤ a$有解,则$a ≥ 4$,即$a$的最小值是4.
②当$1 ≤ x ≤ 3$时,$x - 1 ≥ 0$,$x - 3 ≤ 0$,所以$2|x - 1| + 3|x - 3| = 2(x - 1) - 3(x - 3) = -x + 7 ≤ a$,解得$x ≥ 7 - a$,当不等式$2|x - 1| + 3|x - 3| ≤ a$在这个范围内有解时,$7 - a ≤ 3$,解得$a ≥ 4$;
③当$x ＞ 3$时,$x - 1 ＞ 0$,$x - 3 ＞ 0$,所以$2|x - 1| + 3|x - 3| = 2(x - 1) + 3(x - 3) = 5x - 11 ≤ a$,解得$x ≤ \frac{11 + a}{5}$,当不等式$2|x - 1| + 3|x - 3| ≤ a$在这个范围内有解时,$\frac{11 + a}{5} ＞ 3$,解得$a ＞ 4$.综上所述,若不等式$2|x - 1| + 3|x - 3| ≤ a$有解,则$a ≥ 4$,即$a$的最小值是4.