8. 新题型 新定义 (2025·西安期中) 定义: 若关于 $x$ 的不等式组的解集是 $a＜x＜b$, 且 $a, b$ 满足 $a+b=0$, 则称该不等式组的解集是一个“对称集”. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}x+2＜c, \\ \frac{x+7}{5}＞1\end{array} $ 的解集是一个“对称集”, 则 $c$ 的值为 ______ .
答案：8. 4 解析：$\begin{cases}x + 2 ＜ c, & ①\\\dfrac{x + 7}{5}＞1, & ②\end{cases}$由①得$x ＜ c - 2$，由②得$x ＞ - 2$，所以原不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ c - 2$。因为解集是一个对称集，所以$-2 + c - 2 = 0$，解得$c = 4$。
9. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}x+k ≤ 5-2 x, \\ 4(x-\frac{3}{4}) ≥ x-1\end{array} $ 的解集为 $\frac{2}{3} ≤ x ≤ 3$, 则 $k$ 的值为 ______ .
答案：9. - 4 解析：$\begin{cases}x + k≤ 5 - 2x, & ①\\4(x - \dfrac{3}{4})≥ x - 1, & ②\end{cases}$由①得$x≤\dfrac{5 - k}{3}$，由②得$x≥\dfrac{2}{3}$，因为不等式组的解集为$\dfrac{2}{3}≤ x≤ 3$，所以$\dfrac{5 - k}{3}=3$，解得$k = - 4$。
解析：
$\begin{cases}x + k ≤ 5 - 2x, &①\\4(x - \dfrac{3}{4}) ≥ x - 1, &②\end{cases}$
解①：$x + 2x ≤ 5 - k$，$3x ≤ 5 - k$，$x ≤ \dfrac{5 - k}{3}$
解②：$4x - 3 ≥ x - 1$，$4x - x ≥ -1 + 3$，$3x ≥ 2$，$x ≥ \dfrac{2}{3}$
因为不等式组的解集为$\dfrac{2}{3} ≤ x ≤ 3$，所以$\dfrac{5 - k}{3} = 3$，解得$k = -4$
$-4$
解①：$x + 2x ≤ 5 - k$，$3x ≤ 5 - k$，$x ≤ \dfrac{5 - k}{3}$
解②：$4x - 3 ≥ x - 1$，$4x - x ≥ -1 + 3$，$3x ≥ 2$，$x ≥ \dfrac{2}{3}$
因为不等式组的解集为$\dfrac{2}{3} ≤ x ≤ 3$，所以$\dfrac{5 - k}{3} = 3$，解得$k = -4$
$-4$
10. (1) (2024·鸡西中考) 关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}4-2 x ≥ 0, \\ \frac{1}{2} x-a＞0\end{array} $ 恰有 3 个整数解, 则 $a$ 的取值范围是 ______ .
(2) 已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}x-a＜0, \\ x＞-\frac{3}{2}\end{array} $ 的解集中至少有 4 个整数解, 则整数 $a$ 的最小值是 ______ .
(3) (宜宾中考) 若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}2 x+1＞x+a, \\ \frac{x}{2}+1 ≥ \frac{5}{2} x-9\end{array} $ 的所有整数解的和为 14, 则整数 $a$ 的值为 ______ .
(2) 已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}x-a＜0, \\ x＞-\frac{3}{2}\end{array} $ 的解集中至少有 4 个整数解, 则整数 $a$ 的最小值是 ______ .
(3) (宜宾中考) 若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}2 x+1＞x+a, \\ \frac{x}{2}+1 ≥ \frac{5}{2} x-9\end{array} $ 的所有整数解的和为 14, 则整数 $a$ 的值为 ______ .
答案：10. (1)$-\dfrac{1}{2}≤ a ＜ 0$ 解析：由$4 - 2x≥ 0$，得$x≤ 2$，由$\dfrac{1}{2}x - a ＞ 0$，得$x ＞ 2a$。因为不等式组$\begin{cases}4 - 2x≥ 0,\\\dfrac{1}{2}x - a ＞ 0\end{cases}$恰有3个整数解，所以这3个整数解是$0$，$1$，$2$，所以$-1≤ 2a ＜ 0$，解得$-\dfrac{1}{2}≤ a ＜ 0$。
(2)3 解析：$\begin{cases}x - a ＜ 0, & ①\\x ＞ -\dfrac{3}{2}, & ②\end{cases}$解不等式①，得$x ＜ a$，所以不等式组的解集是$-\dfrac{3}{2}＜x ＜ a$。因为关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a ＜ 0,\\x ＞ -\dfrac{3}{2}\end{cases}$的解集中至少有4个整数解，所以这4个整数解是$-1$，$0$，$1$，$2$，所以$a ＞ 2$，所以整数$a$的最小值是3。
(3)2或-1 解析：$\begin{cases}2x + 1 ＞ x + a, & ①\\\dfrac{x}{2}+1≥\dfrac{5}{2}x - 9, & ②\end{cases}$解不等式①得$x ＞ a - 1$，解不等式②得$x≤ 5$，所以$a - 1 ＜ x≤ 5$。因为所有整数解的和为14，所以不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，-1，所以$1≤ a - 1 ＜ 2$或$-2≤ a - 1 ＜ - 1$，所以$2≤ a ＜ 3$或$-1≤ a ＜ 0$。因为$a$为整数，所以$a = 2$或$a = - 1$。
(2)3 解析：$\begin{cases}x - a ＜ 0, & ①\\x ＞ -\dfrac{3}{2}, & ②\end{cases}$解不等式①，得$x ＜ a$，所以不等式组的解集是$-\dfrac{3}{2}＜x ＜ a$。因为关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a ＜ 0,\\x ＞ -\dfrac{3}{2}\end{cases}$的解集中至少有4个整数解，所以这4个整数解是$-1$，$0$，$1$，$2$，所以$a ＞ 2$，所以整数$a$的最小值是3。
(3)2或-1 解析：$\begin{cases}2x + 1 ＞ x + a, & ①\\\dfrac{x}{2}+1≥\dfrac{5}{2}x - 9, & ②\end{cases}$解不等式①得$x ＞ a - 1$，解不等式②得$x≤ 5$，所以$a - 1 ＜ x≤ 5$。因为所有整数解的和为14，所以不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，-1，所以$1≤ a - 1 ＜ 2$或$-2≤ a - 1 ＜ - 1$，所以$2≤ a ＜ 3$或$-1≤ a ＜ 0$。因为$a$为整数，所以$a = 2$或$a = - 1$。
11. (1) 已知整数 $x$ 满足不等式 $3 x-4 ≤ 6 x-2$ 和不等式 $\frac{2 x+1}{3}-1＜\frac{x-1}{2}$, 并且满足方程 $3(x+m)-5 m+2=0$, 求 $m$ 的值.
(2) 已知关于 $x, y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l}x-2 y=m, \\ 2 x+3 y=2 m+4\end{array} $ 的解满足不等式组 $\{\begin{array}{l}3 x+y ≤ 0, \\ x+5 y＞0,\end{array} $ 求满足条件的 $m$ 的整数值.
(2) 已知关于 $x, y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l}x-2 y=m, \\ 2 x+3 y=2 m+4\end{array} $ 的解满足不等式组 $\{\begin{array}{l}3 x+y ≤ 0, \\ x+5 y＞0,\end{array} $ 求满足条件的 $m$ 的整数值.
答案：11. (1)两个不等式组成不等式组$\begin{cases}3x - 4≤ 6x - 2, & ①\\\dfrac{2x + 1}{3}-1 ＜ \dfrac{x - 1}{2}, & ②\end{cases}$解不等式①，得$x≥ -\dfrac{2}{3}$，解不等式②，得$x ＜ 1$，所以不等式组的解集为$-\dfrac{2}{3}≤ x ＜ 1$。因为$x$是整数，所以$x = 0$，所以$3(0 + m)-5m + 2 = 0$，解得$m = 1$。
(2)$\begin{cases}x - 2y = m, & ①\\2x + 3y = 2m + 4, & ②\end{cases}$由①+②，得$3x + y = 3m + 4$，由②-①，得$x + 5y = m + 4$，根据题意，得$\begin{cases}3m + 4≤ 0,\\m + 4 ＞ 0,\end{cases}$解得$-4 ＜ m≤ -\dfrac{4}{3}$，所以满足条件的$m$的整数值为-3或-2。
(2)$\begin{cases}x - 2y = m, & ①\\2x + 3y = 2m + 4, & ②\end{cases}$由①+②，得$3x + y = 3m + 4$，由②-①，得$x + 5y = m + 4$，根据题意，得$\begin{cases}3m + 4≤ 0,\\m + 4 ＞ 0,\end{cases}$解得$-4 ＜ m≤ -\dfrac{4}{3}$，所以满足条件的$m$的整数值为-3或-2。
12. (2025·苏州期末) 一个进行数值转换的运行程序如图所示, 从“输人有理数 $x$ ”到“结果是否大于 0 ”称为“一次操作”, 当 $x$ 为 $1,-1$ 时, “一次操作”后结果分别为 3 和 9.
(1) 求 $a$ 和 $b$ 的值.
(2) 若“一次操作”后输出结果, 求满足条件的最大整数 $x$.
(3) 是否存在正整数 $x$, 使程序进行了“两次操作”, 并且输出结果小于 24? 若存在, 请求出所有符合条件的 $x$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
(1) 求 $a$ 和 $b$ 的值.
(2) 若“一次操作”后输出结果, 求满足条件的最大整数 $x$.
(3) 是否存在正整数 $x$, 使程序进行了“两次操作”, 并且输出结果小于 24? 若存在, 请求出所有符合条件的 $x$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
答案：12. (1)根据题意得$\begin{cases}a + b = 3,\\-a + b = 9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 3,\\b = 6.\end{cases}$
(2)根据题意得$-3x + 6 ＞ 0$，解得$x ＜ 2$，则满足条件的最大整数为1。
(3)存在。根据题意得$\begin{cases}-3x + 6≤ 0,\\-3(-3x + 6)+6 ＞ 0,\\-3(-3x + 6)+6 ＜ 24,\end{cases}$解得$\begin{cases}x≥ 2,\\x ＞ \dfrac{4}{3},\\x ＜ 4,\end{cases}$所以$2≤ x ＜ 4$，所以符合条件的正整数为2和3。
(2)根据题意得$-3x + 6 ＞ 0$，解得$x ＜ 2$，则满足条件的最大整数为1。
(3)存在。根据题意得$\begin{cases}-3x + 6≤ 0,\\-3(-3x + 6)+6 ＞ 0,\\-3(-3x + 6)+6 ＜ 24,\end{cases}$解得$\begin{cases}x≥ 2,\\x ＞ \dfrac{4}{3},\\x ＜ 4,\end{cases}$所以$2≤ x ＜ 4$，所以符合条件的正整数为2和3。