13. 如图, 数轴上有 $A, B, C, D$ 四个点, 分别对应的数为 $a, b, c, d$, 且满足 $a, b$ 是方程 $|x+9|=1$ 的两解 $(a＜b),(c-16)^2$ 与 $|d-20|$ 互为相反数.
(1) 求 $a, c$ 的值.
(2) 若 $A, B$ 两点以每秒 6 个单位长度的速度向右匀速运动, 同时 $C, D$ 两点以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动, 并设运动时间为 $t$ 秒, 问 $t$ 在什么范围时, $A, B$ 两点都运动在线段 $C D$ 上 (不与 $C, D$ 两个端点重合)?
(3) 在 (2) 的条件下, $A, B, C, D$ 四个点继续运动, 当点 $A, B$ 分别位于点 $D$ 的左右两侧且 $B C＞4 A D$ 时, 求 $t$ 的取值范围.
(1) 求 $a, c$ 的值.
(2) 若 $A, B$ 两点以每秒 6 个单位长度的速度向右匀速运动, 同时 $C, D$ 两点以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动, 并设运动时间为 $t$ 秒, 问 $t$ 在什么范围时, $A, B$ 两点都运动在线段 $C D$ 上 (不与 $C, D$ 两个端点重合)?
(3) 在 (2) 的条件下, $A, B, C, D$ 四个点继续运动, 当点 $A, B$ 分别位于点 $D$ 的左右两侧且 $B C＞4 A D$ 时, 求 $t$ 的取值范围.
答案：13. (1)因为$a$，$b$是方程$|x + 9| = 1$的两根$(a ＜ b)$，所以$a = - 10$，$b = - 8$。因为$(c - 16)^{2}$与$|d - 20|$互为相反数，所以$(c - 16)^{2}+|d - 20| = 0$，所以$c - 16 = 0$，$d - 20 = 0$，所以$c = 16$，$d = 20$。
(2)经过时间$t$秒时，$A$点对应的数为$6t - 10$，$B$点对应的数为$6t - 8$，$C$点对应的数为$16 - 2t$，$D$点对应的数为$20 - 2t$，要使$A$，$B$两点都运动在线段$CD$上，则必须满足条件：$A$在$C$的右侧，$B$在$D$的左侧（不与$C$，$D$两个端点重合），则$\begin{cases}6t - 10 ＞ 16 - 2t,\\6t - 8 ＜ 20 - 2t,\end{cases}$解得$\dfrac{13}{4}＜t ＜ \dfrac{7}{2}$，故$t$的范围是$\dfrac{13}{4}＜t ＜ \dfrac{7}{2}$。
(3)因为点$A$，$B$分别位于点$D$的左右两侧，所以点$A$在点$D$的左侧，点$B$在点$D$的右侧，此时$\begin{cases}6t - 10 ＜ 20 - 2t,\\6t - 8 ＞ 20 - 2t,\end{cases}$解得$\dfrac{7}{2}＜t ＜ \dfrac{15}{4}$。
$AD = 20 - 2t-(6t - 10)=30 - 8t$，$BC = 6t - 8-(16 - 2t)=8t - 24$，由题意得$8t - 24 ＞ 4(30 - 8t)$，解得$t ＞ \dfrac{18}{5}$，因为$\dfrac{7}{2}＜t ＜ \dfrac{15}{4}$，所以$t$的取值范围是$\dfrac{18}{5}＜t ＜ \dfrac{15}{4}$。
(2)经过时间$t$秒时，$A$点对应的数为$6t - 10$，$B$点对应的数为$6t - 8$，$C$点对应的数为$16 - 2t$，$D$点对应的数为$20 - 2t$，要使$A$，$B$两点都运动在线段$CD$上，则必须满足条件：$A$在$C$的右侧，$B$在$D$的左侧（不与$C$，$D$两个端点重合），则$\begin{cases}6t - 10 ＞ 16 - 2t,\\6t - 8 ＜ 20 - 2t,\end{cases}$解得$\dfrac{13}{4}＜t ＜ \dfrac{7}{2}$，故$t$的范围是$\dfrac{13}{4}＜t ＜ \dfrac{7}{2}$。
(3)因为点$A$，$B$分别位于点$D$的左右两侧，所以点$A$在点$D$的左侧，点$B$在点$D$的右侧，此时$\begin{cases}6t - 10 ＜ 20 - 2t,\\6t - 8 ＞ 20 - 2t,\end{cases}$解得$\dfrac{7}{2}＜t ＜ \dfrac{15}{4}$。
$AD = 20 - 2t-(6t - 10)=30 - 8t$，$BC = 6t - 8-(16 - 2t)=8t - 24$，由题意得$8t - 24 ＞ 4(30 - 8t)$，解得$t ＞ \dfrac{18}{5}$，因为$\dfrac{7}{2}＜t ＜ \dfrac{15}{4}$，所以$t$的取值范围是$\dfrac{18}{5}＜t ＜ \dfrac{15}{4}$。
14. 新题型 新定义 我们约定: 不等式组 $m＜x＜n, m＜x ≤ n, m ≤ x＜n, m ≤ x ≤ n$ 的“长度”均为 $d=n-m(m＜n)$, 不等式组的整数解称为不等式组的“整点”. 例如: $-2＜x ≤ 2$ 的“长度” $d=2-(-2)=4$, “整点”为 $x=-1,0,1,2$. 根据该约定, 解答下列问题:
(1) 不等式组 $\{\begin{array}{l}5 x+3＞3 x, \\ 2 x-1 ≤ 0\end{array} $ 的“长度” $d=$ ______ , “整点”为 ______ .
(2) 若不等式组 $\{\begin{array}{l}1 ≤ x ≤ 3, \\ a x-3＜\frac{1}{2} x+2\end{array} $ 的“长度” $d=2$, 求 $a$ 的取值范围.
(3) 若不等式组 $\{\begin{array}{l}1 ≤ x ≤ 3, \\ a ≤ x ≤ \frac{1}{2} a+2\end{array} $ 的“长度” $d=\frac{3}{2}$, 此时是否存在 $m$ 使得关于 $y$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}y+1＞m, \\ a y-1 ≤ 2 m\end{array} $ 恰有 4 个“整点”? 若存在, 求出 $m$ 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
(1) 不等式组 $\{\begin{array}{l}5 x+3＞3 x, \\ 2 x-1 ≤ 0\end{array} $ 的“长度” $d=$ ______ , “整点”为 ______ .
(2) 若不等式组 $\{\begin{array}{l}1 ≤ x ≤ 3, \\ a x-3＜\frac{1}{2} x+2\end{array} $ 的“长度” $d=2$, 求 $a$ 的取值范围.
(3) 若不等式组 $\{\begin{array}{l}1 ≤ x ≤ 3, \\ a ≤ x ≤ \frac{1}{2} a+2\end{array} $ 的“长度” $d=\frac{3}{2}$, 此时是否存在 $m$ 使得关于 $y$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}y+1＞m, \\ a y-1 ≤ 2 m\end{array} $ 恰有 4 个“整点”? 若存在, 求出 $m$ 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
答案：14. (1)2 $x = - 1$，0 解析：$\begin{cases}5x + 3 ＞ 3x, & ①\\2x - 1≤ 0, & ②\end{cases}$解不等式①得$x ＞ -\dfrac{3}{2}$，解不等式②得$x≤\dfrac{1}{2}$，所以不等式组的解集为$-\dfrac{3}{2}＜x≤\dfrac{1}{2}$，所以$d=\dfrac{1}{2}-(-\dfrac{3}{2})=2$，“整点”为$x = - 1$，0。
(2)$\begin{cases}1≤ x≤ 3,\\ax - 3 ＜ \dfrac{1}{2}x + 2,\end{cases}$解不等式$ax - 3 ＜ \dfrac{1}{2}x + 2$，得$(2a - 1)x ＜ 10$，当$2a - 1 ＞ 0$，即$a ＞ \dfrac{1}{2}$时，$x ＜ \dfrac{10}{2a - 1}$。因为$d = 2$，$1≤ x≤ 3$，$3 - 1 = 2$，所以$\dfrac{10}{2a - 1}≥ 3$，解得$a≤\dfrac{13}{6}$，所以$\dfrac{1}{2}＜a≤\dfrac{13}{6}$；当$2a - 1 ＜ 0$，即$a ＜ \dfrac{1}{2}$时，$x ＞ \dfrac{10}{2a - 1}$。因为$d = 2$，$1≤ x≤ 3$，$3 - 1 = 2$，所以$\dfrac{10}{2a - 1}≤ 1$，解得$a≤\dfrac{11}{2}$，所以$a ＜ \dfrac{1}{2}$；当$a = \dfrac{1}{2}$时，不等式组的解集为$1≤ x≤ 3$，满足题意。综上所述，$a$的取值范围是$a≤\dfrac{13}{6}$。
(3)存在。$\begin{cases}1≤ x≤ 3,\\a≤ x≤\dfrac{1}{2}a + 2,\end{cases}$当$a≤ 1 ＜ 3≤\dfrac{1}{2}a + 2$时，这种情况不存在；当$a≤ 1 ＜ \dfrac{1}{2}a + 2≤ 3$时，不等式组的解集为$1≤ x≤\dfrac{1}{2}a + 2$。因为$d=\dfrac{3}{2}$，所以$\dfrac{1}{2}a + 2 - 1=\dfrac{3}{2}$，解得$a = 1$；当$1≤ a ＜ \dfrac{1}{2}a + 2≤ 3$时，不等式组的解集为$a≤ x≤\dfrac{1}{2}a + 2$，所以$\dfrac{1}{2}a + 2 - a=\dfrac{3}{2}$，解得$a = 1$；当$1≤ a ＜ 3≤\dfrac{1}{2}a + 2$，不等式组的解集为$a≤ x≤ 3$，所以$3 - a=\dfrac{3}{2}$，解得$a=\dfrac{3}{2}$，此时$\dfrac{1}{2}a + 2=\dfrac{11}{4}＜3$，不符合$1≤ a ＜ 3≤\dfrac{1}{2}a + 2$；当$\dfrac{1}{2}a + 2 ＜ 1$或$a ＞ 3$时，不等式组无解。综上所述，$a = 1$，所以$\begin{cases}y + 1 ＞ m,\\ay - 1≤ 2m\end{cases}$为$\begin{cases}y + 1 ＞ m,\\y - 1≤ 2m,\end{cases}$解不等式组$\begin{cases}y + 1 ＞ m,\\y - 1≤ 2m,\end{cases}$得$m - 1 ＜ y≤ 2m + 1$，$2m + 1-(m - 1)=m + 2$，则当$3 ＜ m + 2 ＜ 5$时，该不等式组可能恰好有4个“整点”，此时$1 ＜ m ＜ 3$，则$0 ＜ m - 1 ＜ 2$。①当$1 ＜ m ＜ 2$时，即$0 ＜ m - 1 ＜ 1$，要使得该不等式组恰好有4个“整点”，则$4≤ 2m + 1 ＜ 5$，解得$\dfrac{3}{2}≤ m ＜ 2$；②当$2≤ m ＜ 3$时，即$1≤ m - 1 ＜ 2$，要使得该不等式组恰好有4个“整点”，则$5≤ 2m + 1 ＜ 6$，解得$2≤ m ＜ \dfrac{5}{2}$。综合①②可得$\dfrac{3}{2}≤ m ＜ \dfrac{5}{2}$。
(2)$\begin{cases}1≤ x≤ 3,\\ax - 3 ＜ \dfrac{1}{2}x + 2,\end{cases}$解不等式$ax - 3 ＜ \dfrac{1}{2}x + 2$，得$(2a - 1)x ＜ 10$，当$2a - 1 ＞ 0$，即$a ＞ \dfrac{1}{2}$时，$x ＜ \dfrac{10}{2a - 1}$。因为$d = 2$，$1≤ x≤ 3$，$3 - 1 = 2$，所以$\dfrac{10}{2a - 1}≥ 3$，解得$a≤\dfrac{13}{6}$，所以$\dfrac{1}{2}＜a≤\dfrac{13}{6}$；当$2a - 1 ＜ 0$，即$a ＜ \dfrac{1}{2}$时，$x ＞ \dfrac{10}{2a - 1}$。因为$d = 2$，$1≤ x≤ 3$，$3 - 1 = 2$，所以$\dfrac{10}{2a - 1}≤ 1$，解得$a≤\dfrac{11}{2}$，所以$a ＜ \dfrac{1}{2}$；当$a = \dfrac{1}{2}$时，不等式组的解集为$1≤ x≤ 3$，满足题意。综上所述，$a$的取值范围是$a≤\dfrac{13}{6}$。
(3)存在。$\begin{cases}1≤ x≤ 3,\\a≤ x≤\dfrac{1}{2}a + 2,\end{cases}$当$a≤ 1 ＜ 3≤\dfrac{1}{2}a + 2$时，这种情况不存在；当$a≤ 1 ＜ \dfrac{1}{2}a + 2≤ 3$时，不等式组的解集为$1≤ x≤\dfrac{1}{2}a + 2$。因为$d=\dfrac{3}{2}$，所以$\dfrac{1}{2}a + 2 - 1=\dfrac{3}{2}$，解得$a = 1$；当$1≤ a ＜ \dfrac{1}{2}a + 2≤ 3$时，不等式组的解集为$a≤ x≤\dfrac{1}{2}a + 2$，所以$\dfrac{1}{2}a + 2 - a=\dfrac{3}{2}$，解得$a = 1$；当$1≤ a ＜ 3≤\dfrac{1}{2}a + 2$，不等式组的解集为$a≤ x≤ 3$，所以$3 - a=\dfrac{3}{2}$，解得$a=\dfrac{3}{2}$，此时$\dfrac{1}{2}a + 2=\dfrac{11}{4}＜3$，不符合$1≤ a ＜ 3≤\dfrac{1}{2}a + 2$；当$\dfrac{1}{2}a + 2 ＜ 1$或$a ＞ 3$时，不等式组无解。综上所述，$a = 1$，所以$\begin{cases}y + 1 ＞ m,\\ay - 1≤ 2m\end{cases}$为$\begin{cases}y + 1 ＞ m,\\y - 1≤ 2m,\end{cases}$解不等式组$\begin{cases}y + 1 ＞ m,\\y - 1≤ 2m,\end{cases}$得$m - 1 ＜ y≤ 2m + 1$，$2m + 1-(m - 1)=m + 2$，则当$3 ＜ m + 2 ＜ 5$时，该不等式组可能恰好有4个“整点”，此时$1 ＜ m ＜ 3$，则$0 ＜ m - 1 ＜ 2$。①当$1 ＜ m ＜ 2$时，即$0 ＜ m - 1 ＜ 1$，要使得该不等式组恰好有4个“整点”，则$4≤ 2m + 1 ＜ 5$，解得$\dfrac{3}{2}≤ m ＜ 2$；②当$2≤ m ＜ 3$时，即$1≤ m - 1 ＜ 2$，要使得该不等式组恰好有4个“整点”，则$5≤ 2m + 1 ＜ 6$，解得$2≤ m ＜ \dfrac{5}{2}$。综合①②可得$\dfrac{3}{2}≤ m ＜ \dfrac{5}{2}$。