1. 已知$(m + 2)x^{|m + 3|}-1＞2$是关于$x$的一元一次不等式，求这个不等式的解。
答案：1. 依题意得$|m + 3| = 1$，且$m + 2 ≠ 0$，所以$m = - 4$。则不等式为$- 2x - 1 ＞ 2$，解得$x ＜ - \frac{3}{2}$。
解析：
解：依题意得$|m + 3| = 1$，且$m + 2 ≠ 0$。
由$|m + 3| = 1$，得$m + 3 = 1$或$m + 3 = -1$，解得$m = -2$或$m = -4$。
又因为$m + 2 ≠ 0$，所以$m ≠ -2$，故$m = -4$。
则不等式为$(-4 + 2)x^{|-4 + 3|} - 1 ＞ 2$，即$-2x - 1 ＞ 2$。
移项得$-2x ＞ 3$，解得$x ＜ -\frac{3}{2}$。
由$|m + 3| = 1$，得$m + 3 = 1$或$m + 3 = -1$，解得$m = -2$或$m = -4$。
又因为$m + 2 ≠ 0$，所以$m ≠ -2$，故$m = -4$。
则不等式为$(-4 + 2)x^{|-4 + 3|} - 1 ＞ 2$，即$-2x - 1 ＞ 2$。
移项得$-2x ＞ 3$，解得$x ＜ -\frac{3}{2}$。
2. 解关于$x$的不等式$ax - 2a＜2(x - 2)$。
答案：2. 去括号，得$ax - 2a ＜ 2x - 4$，移项，得$ax - 2x ＜ 2a - 4$，合并同类项，得$(a - 2)x ＜ 2(a - 2)$，当$a ＜ 2$时，$x ＞ 2$；当$a = 2$时，不等式无解；当$a ＞ 2$时，$x ＜ 2$。
3. 若关于$x$的不等式$(a - 1)x＜3(a - 1)$的解集为$x＞a + 5$，则$a$的值为
-2
。答案：3. -2 解析：因为关于$x$的不等式$(a - 1)x ＜ 3(a - 1)$的解集为$x ＞ a + 5$，所以$a - 1 ＜ 0$，解得$x ＞ 3$，即$a + 5 = 3$，所以$a = - 2$。
解析：
因为不等式$(a - 1)x＜3(a - 1)$的解集为$x＞a + 5$，所以$a - 1＜0$，此时不等式两边同时除以$a - 1$，不等号方向改变，得$x＞3$。又因为解集为$x＞a + 5$，所以$a + 5 = 3$，解得$a = -2$。
-2
-2
4. 已知关于$x$的不等式$4x - a≥ - 5$的解集如图所示，则$a$的值是
-3
。答案：4. -3 解析：由数轴可知$x ≥ - 2$，解不等式$4x - a ≥ - 5$，得$x ≥ \frac{a - 5}{4}$，故$\frac{a - 5}{4} = - 2$，解得$a = - 3$。
解析：
解：由数轴可知不等式的解集为$x ≥ -2$。
解不等式$4x - a ≥ -5$：
$4x ≥ a - 5$
$x ≥ \frac{a - 5}{4}$
因为不等式的解集为$x ≥ -2$，所以$\frac{a - 5}{4} = -2$
解得$a - 5 = -8$
$a = -3$
-3
解不等式$4x - a ≥ -5$：
$4x ≥ a - 5$
$x ≥ \frac{a - 5}{4}$
因为不等式的解集为$x ≥ -2$，所以$\frac{a - 5}{4} = -2$
解得$a - 5 = -8$
$a = -3$
-3
5. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 3b≥ 2a,\\\dfrac{2}{3}a + x≤ 2b\end{cases}$的解集为$-5≤ x≤ 2$，则$a=$ ______ ，$b=$ ______ 。
答案：5. -2 $\frac{1}{3}$ 解析：将原不等式组整理得$\begin{cases}x ≥ 2a - 3b, \\x ≤ 2b - \frac{2}{3}a,\end{cases}$即不等式组的解集为$2a - 3b ≤ x ≤ 2b - \frac{2}{3}a$，所以$\begin{cases}2a - 3b = - 5, \\2b - \frac{2}{3}a = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 2, \\b = \frac{1}{3}.\end{cases}$
6. (1)(遂宁中考)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}4(x - 1)＞3x - 1,\\5x＞3x + 2a\end{cases}$的解集为$x＞3$，则$a$的取值范围是 ______ 。
(2)若不等式组$\begin{cases}x＜3a + 2,\\x＜a - 4\end{cases}$的解集是$x＜a - 4$，则$a$的取值范围是 ______ 。
(2)若不等式组$\begin{cases}x＜3a + 2,\\x＜a - 4\end{cases}$的解集是$x＜a - 4$，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案：6. (1)$a ≤ 3$ 解析：$\begin{cases}4(x - 1) ＞ 3x - 1, &①\\5x ＞ 3x + 2a, &②\end{cases}$解不等式①得$x ＞ 3$，解不等式②得$x ＞ a$，因为不等式组的解集是$x ＞ 3$，所以$a ≤ 3$。
(2)$a ≥ - 3$ 解析：解这个不等式组得$x ＜ a - 4$，则$3a + 2 ≥ a - 4$，解这个不等式得$a ≥ - 3$。
(2)$a ≥ - 3$ 解析：解这个不等式组得$x ＜ a - 4$，则$3a + 2 ≥ a - 4$，解这个不等式得$a ≥ - 3$。
7. 若不等式组$\begin{cases}x＞2m + 1,\\x＞m + 2\end{cases}$的解集为$x＞-1$，则$m$的值为 ______ 。
答案：7. -3 解析：若$2m + 1 = - 1$，则$m = - 1$；若$m + 2 = - 1$，则$m = - 3$。当$m = - 1$时，原不等式组就是$\begin{cases}x ＞ - 1, \\x ＞ 1,\end{cases}$解集为$x ＞ 1$，不符合题意；当$m = - 3$时，原不等式组就是$\begin{cases}x ＞ - 5, \\x ＞ - 1,\end{cases}$解集为$x ＞ - 1$，符合题意，所以$m = - 3$。
8. 已知关于$x$的不等式$2(a - b)x + a - 5b＞0$的解集为$x＜1$，求关于$x$的不等式$ax＞b$的解集。
答案：8. 不等式移项，得$2(a - b)x ＞ 5b - a$，由不等式的解集为$x ＜ 1$，得到$a - b ＜ 0$，且$\frac{5b - a}{2(a - b)} = 1$，整理得$a ＜ b$，且$3a = 7b$，即$b = \frac{3}{7}a$，所以由$a - b ＜ 0$，得$\frac{4}{7}a ＜ 0$，所以$a ＜ 0$，则不等式$ax ＞ b$变形得$x ＜ \frac{b}{a} = \frac{3}{7}$，即$x ＜ \frac{3}{7}$。
解析：
解：不等式$2(a - b)x + a - 5b＞0$移项，得$2(a - b)x＞5b - a$。
因为不等式的解集为$x＜1$，所以$a - b＜0$，且$\frac{5b - a}{2(a - b)} = 1$。
由$\frac{5b - a}{2(a - b)} = 1$，得$5b - a = 2(a - b)$，整理得$5b - a = 2a - 2b$，即$7b = 3a$，所以$b = \frac{3}{7}a$。
因为$a - b＜0$，所以$a - \frac{3}{7}a＜0$，即$\frac{4}{7}a＜0$，故$a＜0$。
不等式$ax＞b$，因为$a＜0$，所以$x＜\frac{b}{a} = \frac{\frac{3}{7}a}{a} = \frac{3}{7}$。
综上，不等式$ax＞b$的解集为$x＜\frac{3}{7}$。
因为不等式的解集为$x＜1$，所以$a - b＜0$，且$\frac{5b - a}{2(a - b)} = 1$。
由$\frac{5b - a}{2(a - b)} = 1$，得$5b - a = 2(a - b)$，整理得$5b - a = 2a - 2b$，即$7b = 3a$，所以$b = \frac{3}{7}a$。
因为$a - b＜0$，所以$a - \frac{3}{7}a＜0$，即$\frac{4}{7}a＜0$，故$a＜0$。
不等式$ax＞b$，因为$a＜0$，所以$x＜\frac{b}{a} = \frac{\frac{3}{7}a}{a} = \frac{3}{7}$。
综上，不等式$ax＞b$的解集为$x＜\frac{3}{7}$。
9. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}a - 1＜x＜a + 2,\\3＜x＜5\end{cases}$的解集为$3＜x＜a + 2$，求$a$的取值范围。
答案：9. 因为原不等式组的解集为$3 ＜ x ＜ a + 2$，所以$\begin{cases}a - 1 ≤ 3, \\a + 2 ≤ 5,\end{cases}$即$\begin{cases}a ≤ 4, \\a ≤ 3,\end{cases}$得$a ≤ 3$。又有$3 ＜ a + 2$，得$a ＞ 1$，所以$1 ＜ a ≤ 3$。
解析：
因为原不等式组的解集为$3 ＜ x ＜ a + 2$，所以$\begin{cases}a - 1 ≤ 3 \\ a + 2 ≤ 5\end{cases}$，即$\begin{cases}a ≤ 4 \\ a ≤ 3\end{cases}$，得$a ≤ 3$。又有$3 ＜ a + 2$，得$a ＞ 1$，所以$1 ＜ a ≤ 3$。
10. (1)(2025·苏州期末)已知关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}2x - 1＞5,\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{2}{3}＜m\end{cases}$有解，则常数$m$的取值范围是 ______ 。
(2)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - 3a＜3(x + 1)+a,\\4x＜2(a - x)\end{cases}$无解，则常数$a$的取值范围为 ______ 。
(2)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - 3a＜3(x + 1)+a,\\4x＜2(a - x)\end{cases}$无解，则常数$a$的取值范围为 ______ 。
答案：10. (1)$m ＞ \frac{5}{3}$ 解析：$\begin{cases}2x - 1 ＞ 5, &①\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} ＜ m, &②\end{cases}$解不等式①得$x ＞ 3$，解不等式②得$x ＜ 3m - 2$，因为关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ 5, \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} ＜ m\end{cases}$有解，所以$3m - 2 ＞ 3$，解得$m ＞ \frac{5}{3}$。
(2)$a ≤ - \frac{9}{13}$ 解析：$\begin{cases}2x - 3a ＜ 3(x + 1) + a, &①\\4x ＜ 2(a - x), &②\end{cases}$解不等式①，得$x ＞ - 4a - 3$，解不等式②，得$x ＜ \frac{a}{3}$，因为原不等式组无解，所以$\frac{a}{3} ≤ - 4a - 3$，解得$a ≤ - \frac{9}{13}$。
(2)$a ≤ - \frac{9}{13}$ 解析：$\begin{cases}2x - 3a ＜ 3(x + 1) + a, &①\\4x ＜ 2(a - x), &②\end{cases}$解不等式①，得$x ＞ - 4a - 3$，解不等式②，得$x ＜ \frac{a}{3}$，因为原不等式组无解，所以$\frac{a}{3} ≤ - 4a - 3$，解得$a ≤ - \frac{9}{13}$。
11. (1)已知关于$x$的不等式$x + 5＜2x + a$只有$3$个负整数解，求$a$的取值范围。
(2)已知关于$x$的不等式$\dfrac{3}{2}(2x - 4)-m≤ 2$的正整数解是$1$，$2$，$3$，求$m$的取值范围。
(2)已知关于$x$的不等式$\dfrac{3}{2}(2x - 4)-m≤ 2$的正整数解是$1$，$2$，$3$，求$m$的取值范围。
答案：11. (1)由$x + 5 ＜ 2x + a$，解得$x ＞ 5 - a$，因为不等式只有3个负整数解，所以它们一定是$- 1$，$- 2$，$- 3$。则$- 4 ≤ 5 - a ＜ - 3$，解得$8 ＜ a ≤ 9$。
(2)解不等式$\frac{3}{2}(2x - 4) - m ≤ 2$，得$x ≤ \frac{m + 8}{3}$，因为不等式的正整数解是1，2，3，所以$3 ≤ \frac{m + 8}{3} ＜ 4$，解得$1 ≤ m ＜ 4$。
(2)解不等式$\frac{3}{2}(2x - 4) - m ≤ 2$，得$x ≤ \frac{m + 8}{3}$，因为不等式的正整数解是1，2，3，所以$3 ≤ \frac{m + 8}{3} ＜ 4$，解得$1 ≤ m ＜ 4$。