12. (凉山州中考)已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}4x + 2＞3(x + a),\\2x＞3(x - 2)+5\end{cases}$仅有三个整数解，求$a$的取值范围。
答案：12. 由$4x + 2 ＞ 3(x + a)$，解得$x ＞ 3a - 2$；由$2x ＞ 3(x - 2) + 5$，解得$x ＜ 1$。由关于$x$的不等式组$\begin{cases}4x + 2 ＞ 3(x + a), \\2x ＞ 3(x - 2) + 5\end{cases}$仅有三个整数解，则这三个整数解为$- 2$，$- 1$，0，得$- 3 ≤ 3a - 2 ＜ - 2$，解得$- \frac{1}{3} ≤ a ＜ 0$。
解析：
解：解不等式$4x + 2＞3(x + a)$，得$x＞3a - 2$；
解不等式$2x＞3(x - 2)+5$，得$x＜1$；
因为不等式组仅有三个整数解，所以这三个整数解为$-2$，$-1$，$0$，
则$-3≤3a - 2＜-2$，
解得$-\frac{1}{3}≤a＜0$。
解不等式$2x＞3(x - 2)+5$，得$x＜1$；
因为不等式组仅有三个整数解，所以这三个整数解为$-2$，$-1$，$0$，
则$-3≤3a - 2＜-2$，
解得$-\frac{1}{3}≤a＜0$。
13. 关于$y$的不等式组$\begin{cases}2y + 5≤ 3(y + t),\\\dfrac{y - t}{2}＜\dfrac{y}{3}-\dfrac{7}{6}\end{cases}$的整数解是$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，求参数$t$的取值范围。
答案：13. $\begin{cases}2y + 5 ≤ 3(y + t), &①\frac{y - t}{2} ＜ \frac{y}{3} - \frac{7}{6}, &②\end{cases}$由①得$y ≥ 5 - 3t$，由②得$y ＜ 3t - 7$。则不等式组的解集是$5 - 3t ≤ y ＜ 3t - 7$。因为不等式组的整数解是$- 3$，$- 2$，$- 1$，0，1，所以$- 4 ＜ 5 - 3t ≤ - 3$，$1 ＜ 3t - 7 ≤ 2$，所以$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$。因为$5 - 3t ＜ 3t - 7$，所以$t ＞ 2$。综上，$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$，故参数$t$的取值范围是$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$。
解析：
解：$\begin{cases}2y + 5 ≤ 3(y + t), &①\\frac{y - t}{2} ＜ \frac{y}{3} - \frac{7}{6}, &②\end{cases}$
解不等式①：$2y + 5 ≤ 3y + 3t$，移项得$y ≥ 5 - 3t$。
解不等式②：两边同乘6得$3(y - t) ＜ 2y - 7$，去括号得$3y - 3t ＜ 2y - 7$，移项得$y ＜ 3t - 7$。
所以不等式组的解集为$5 - 3t ≤ y ＜ 3t - 7$。
因为不等式组的整数解是$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，所以：
$\begin{cases}-4 ＜ 5 - 3t ≤ -3 \\1 ＜ 3t - 7 ≤ 2\end{cases}$
解$-4 ＜ 5 - 3t ≤ -3$：
$-4 - 5 ＜ -3t ≤ -3 - 5$，即$-9 ＜ -3t ≤ -8$，两边同除以$-3$（不等号变向）得$3 ＞ t ≥ \frac{8}{3}$，即$\frac{8}{3} ≤ t ＜ 3$。
解$1 ＜ 3t - 7 ≤ 2$：
$1 + 7 ＜ 3t ≤ 2 + 7$，即$8 ＜ 3t ≤ 9$，两边同除以$3$得$\frac{8}{3} ＜ t ≤ 3$。
综合两个不等式的解，取交集得$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$。
又因为解集$5 - 3t ≤ y ＜ 3t - 7$需有意义，所以$5 - 3t ＜ 3t - 7$，解得$t ＞ 2$，此条件已包含在$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$中。
故参数$t$的取值范围是$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$。
解不等式①：$2y + 5 ≤ 3y + 3t$，移项得$y ≥ 5 - 3t$。
解不等式②：两边同乘6得$3(y - t) ＜ 2y - 7$，去括号得$3y - 3t ＜ 2y - 7$，移项得$y ＜ 3t - 7$。
所以不等式组的解集为$5 - 3t ≤ y ＜ 3t - 7$。
因为不等式组的整数解是$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，所以：
$\begin{cases}-4 ＜ 5 - 3t ≤ -3 \\1 ＜ 3t - 7 ≤ 2\end{cases}$
解$-4 ＜ 5 - 3t ≤ -3$：
$-4 - 5 ＜ -3t ≤ -3 - 5$，即$-9 ＜ -3t ≤ -8$，两边同除以$-3$（不等号变向）得$3 ＞ t ≥ \frac{8}{3}$，即$\frac{8}{3} ≤ t ＜ 3$。
解$1 ＜ 3t - 7 ≤ 2$：
$1 + 7 ＜ 3t ≤ 2 + 7$，即$8 ＜ 3t ≤ 9$，两边同除以$3$得$\frac{8}{3} ＜ t ≤ 3$。
综合两个不等式的解，取交集得$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$。
又因为解集$5 - 3t ≤ y ＜ 3t - 7$需有意义，所以$5 - 3t ＜ 3t - 7$，解得$t ＞ 2$，此条件已包含在$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$中。
故参数$t$的取值范围是$\frac{8}{3} ＜ t ＜ 3$。
14. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{2x + 1}{2}+3＞-1,\\x＜m\end{cases}$的所有整数解的和是$-9$，求$m$的取值范围。
答案：14. $\begin{cases}\frac{2x + 1}{2} + 3 ＞ - 1, &①\\x ＜ m, &②\end{cases}$由①得$x ＞ - \frac{9}{2}$，由②得$x ＜ m$，故原不等式组的解集为$- \frac{9}{2} ＜ x ＜ m$。又因为不等式组的所有整数解的和是$- 9$，所以当$m ＜ 0$时，整数解一定是$- 4$，$- 3$，$- 2$，由此可以得到$- 2 ＜ m ≤ - 1$；当$m ＞ 0$时，整数解一定是$- 4$，$- 3$，$- 2$，$- 1$，0，1，则$1 ＜ m ≤ 2$。故$m$的取值范围是$- 2 ＜ m ≤ - 1$或$1 ＜ m ≤ 2$。
解析：
解：$\begin{cases}\dfrac{2x + 1}{2}+3＞-1, &①\\x＜m, &②\end{cases}$
解不等式①：
$\dfrac{2x + 1}{2} + 3＞-1$
$\dfrac{2x + 1}{2}＞-4$
$2x + 1＞-8$
$2x＞-9$
$x＞-\dfrac{9}{2}$
由②得$x＜m$，所以不等式组的解集为$-\dfrac{9}{2}＜x＜m$。
因为不等式组的所有整数解的和是$-9$，$-\dfrac{9}{2}=-4.5$，所以整数解可能为$-4,-3,-2,-1,0,1,···$。
情况一：当整数解为$-4,-3,-2$时，和为$-4 + (-3) + (-2) = -9$，此时$m$的取值范围是$-2＜m≤-1$。
情况二：当整数解为$-4,-3,-2,-1,0,1$时，和为$-4 + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9$，此时$m$的取值范围是$1＜m≤2$。
综上，$m$的取值范围是$-2＜m≤-1$或$1＜m≤2$。
解不等式①：
$\dfrac{2x + 1}{2} + 3＞-1$
$\dfrac{2x + 1}{2}＞-4$
$2x + 1＞-8$
$2x＞-9$
$x＞-\dfrac{9}{2}$
由②得$x＜m$，所以不等式组的解集为$-\dfrac{9}{2}＜x＜m$。
因为不等式组的所有整数解的和是$-9$，$-\dfrac{9}{2}=-4.5$，所以整数解可能为$-4,-3,-2,-1,0,1,···$。
情况一：当整数解为$-4,-3,-2$时，和为$-4 + (-3) + (-2) = -9$，此时$m$的取值范围是$-2＜m≤-1$。
情况二：当整数解为$-4,-3,-2,-1,0,1$时，和为$-4 + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9$，此时$m$的取值范围是$1＜m≤2$。
综上，$m$的取值范围是$-2＜m≤-1$或$1＜m≤2$。
15. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 1＞m,\\x - 1≤ n\end{cases}$有解。
(1)若不等式组的解集与$\begin{cases}2 - 3x＜8,\\\dfrac{x - 2}{3}≤ - 1\end{cases}$的解集相同，求$m - n$的值。
(2)若不等式组恰好只有$4$个整数解。
①若$m = - 1$，求$n$的取值范围；
②若$n = 2m$，求$m$的取值范围。
(1)若不等式组的解集与$\begin{cases}2 - 3x＜8,\\\dfrac{x - 2}{3}≤ - 1\end{cases}$的解集相同，求$m - n$的值。
(2)若不等式组恰好只有$4$个整数解。
①若$m = - 1$，求$n$的取值范围；
②若$n = 2m$，求$m$的取值范围。
答案：
15. (1)解不等式组$\begin{cases}2 - 3x ＜ 8, \frac{x - 2}{3} ≤ - 1\end{cases}$得$- 2 ＜ x ≤ - 1$。解不等式$x + 1 ＞ m$，得$x ＞ m - 1$，解不等式$x - 1 ≤ n$，得$x ≤ n + 1$。由题意得$m - 1 = - 2$，$n + 1 = - 1$，解得$m = - 1$，$n = - 2$，所以$m - n = - 1 - (- 2) = 1$。
(2)①当$m = - 1$时，关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ m, \\x - 1 ≤ n\end{cases}$的解集为$- 2 ＜ x ≤ n + 1$，因为不等式组恰好有4个整数解，所以4个整数解是$- 1$，0，1，2，所以$2 ≤ n + 1 ＜ 3$，即$1 ≤ n ＜ 2$。
②当$n = 2m$时，关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ m, \\x - 1 ≤ n\end{cases}$的解集为$m - 1 ＜ x ≤ 2m + 1$，$2m + 1 - (m - 1) = m + 2$。因为不等式组恰好有4个整数解，所以$3 ＜ m + 2 ＜ 5$，解得$1 ＜ m ＜ 3$，所以$0 ＜ m - 1 ＜ 2$，$3 ＜ 2m + 1 ＜ 7$。
当$0 ＜ m - 1 ＜ 1$，即$1 ＜ m ＜ 2$时，如图①，
必须满足$4 ≤ 2m + 1 ＜ 5$，所以$\frac{3}{2} ≤ m ＜ 2$。
当$1 ≤ m - 1 ＜ 2$，即$2 ≤ m ＜ 3$时，如图②，
必须满足$5 ≤ 2m + 1 ＜ 6$，所以$2 ≤ m ＜ \frac{5}{2}$。综上，$\frac{3}{2} ≤ m ＜ \frac{5}{2}$。
15. (1)解不等式组$\begin{cases}2 - 3x ＜ 8, \frac{x - 2}{3} ≤ - 1\end{cases}$得$- 2 ＜ x ≤ - 1$。解不等式$x + 1 ＞ m$，得$x ＞ m - 1$，解不等式$x - 1 ≤ n$，得$x ≤ n + 1$。由题意得$m - 1 = - 2$，$n + 1 = - 1$，解得$m = - 1$，$n = - 2$，所以$m - n = - 1 - (- 2) = 1$。
(2)①当$m = - 1$时，关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ m, \\x - 1 ≤ n\end{cases}$的解集为$- 2 ＜ x ≤ n + 1$，因为不等式组恰好有4个整数解，所以4个整数解是$- 1$，0，1，2，所以$2 ≤ n + 1 ＜ 3$，即$1 ≤ n ＜ 2$。
②当$n = 2m$时，关于$x$的不等式组$\begin{cases}x + 1 ＞ m, \\x - 1 ≤ n\end{cases}$的解集为$m - 1 ＜ x ≤ 2m + 1$，$2m + 1 - (m - 1) = m + 2$。因为不等式组恰好有4个整数解，所以$3 ＜ m + 2 ＜ 5$，解得$1 ＜ m ＜ 3$，所以$0 ＜ m - 1 ＜ 2$，$3 ＜ 2m + 1 ＜ 7$。
当$0 ＜ m - 1 ＜ 1$，即$1 ＜ m ＜ 2$时，如图①，
必须满足$4 ≤ 2m + 1 ＜ 5$，所以$\frac{3}{2} ≤ m ＜ 2$。
当$1 ≤ m - 1 ＜ 2$，即$2 ≤ m ＜ 3$时，如图②，
必须满足$5 ≤ 2m + 1 ＜ 6$，所以$2 ≤ m ＜ \frac{5}{2}$。综上，$\frac{3}{2} ≤ m ＜ \frac{5}{2}$。