1. (2025·无锡校级月考)苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的质量比香梨质量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克.(销售量取整数)
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克?
(2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍.问:这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克?
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克?
(2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍.问:这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克?
答案：1. (1) 设李老板购进香梨 $ x $ 千克, 苹果 $ (3x + 20) $ 千克, 根据题意得 $ 1.5(3x + 20) + 2x = 420 $, 解得 $ x = 60 $, 则 $ 3x + 20 = 3×60 + 20 = 200 $ (千克).
答: 李老板购进香梨 60 千克, 苹果 200 千克.
(2) 设这 4 天平均每天卖出苹果 $ m $ 千克, 则平均每天卖出香梨 $ (50 - m) $ 千克, 因为每天利润大于 268 元, 所以 $ (7 - 1.5)m + (7 - 2)(50 - m) ＞ 268 $, 解得 $ m ＞ 36 $. 因为苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的 3 倍, 所以 $ m ＜ 3(50 - m) $, 解得 $ m ＜ 37.5 $. 综上, $ 36 ＜ m ＜ 37.5 $, 且销售量取整数, 所以 $ m = 37 $, 则 $ 50 - 37 = 13 $ (千克).
答: 这 4 天平均每天卖出苹果 37 千克, 平均每天卖出香梨 13 千克.
答: 李老板购进香梨 60 千克, 苹果 200 千克.
(2) 设这 4 天平均每天卖出苹果 $ m $ 千克, 则平均每天卖出香梨 $ (50 - m) $ 千克, 因为每天利润大于 268 元, 所以 $ (7 - 1.5)m + (7 - 2)(50 - m) ＞ 268 $, 解得 $ m ＞ 36 $. 因为苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的 3 倍, 所以 $ m ＜ 3(50 - m) $, 解得 $ m ＜ 37.5 $. 综上, $ 36 ＜ m ＜ 37.5 $, 且销售量取整数, 所以 $ m = 37 $, 则 $ 50 - 37 = 13 $ (千克).
答: 这 4 天平均每天卖出苹果 37 千克, 平均每天卖出香梨 13 千克.
2. 小李计划从网上批发一些饰品摆摊售卖，经过多方调查，仔细甄别，他选定了A，B两款网红饰品，其进价分别为每个x元、y元.已知购进A款饰品8个和B款饰品6个所需花费相同；购进A款饰品10个和B款饰品4个共需230元.
(1)请求出A，B两款饰品的进价分别是多少.
(2)小李计划购进两款饰品共计100个(其中A款饰品最多62个)，要使所需费用不多于1700元，则他有哪几种购进方案?
(3)小李最后准备将A，B两款饰品单价分别定为21元，28元，他计划按照(2)中能够获得最大利润的方案购进，而且为吸引顾客，他准备在售卖过程中，给予顾客不同金额的现金红包，若要保证最后的利润率不低于35%，那么他给出的红包总额不能超过多少元?
(1)请求出A，B两款饰品的进价分别是多少.
(2)小李计划购进两款饰品共计100个(其中A款饰品最多62个)，要使所需费用不多于1700元，则他有哪几种购进方案?
(3)小李最后准备将A，B两款饰品单价分别定为21元，28元，他计划按照(2)中能够获得最大利润的方案购进，而且为吸引顾客，他准备在售卖过程中，给予顾客不同金额的现金红包，若要保证最后的利润率不低于35%，那么他给出的红包总额不能超过多少元?
答案：2. (1) 根据题意, 得 $ \begin{cases} 8x = 6y, \\ 10x + 4y = 230, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 15, \\ y = 20. \end{cases} $
答: $ A $ 款饰品的进价为 15 元/个, $ B $ 款饰品的进价为 20 元/个.
(2) 设购进 $ A $ 款饰品 $ a $ 个, 则购进 $ B $ 款饰品 $ (100 - a) $ 个, 根据题意, 得 $ 15a + 20(100 - a) ≤ 1700 $, 解得 $ a ≥ 60 $, 又因为 $ A $ 款饰品最多 62 个, 所以 $ 60 ≤ a ≤ 62 $. 因为 $ a $ 为整数, 所以 $ a = 60, 61, 62 $, 所以共有三种购进方案.
方案一: 购进 $ A $ 款饰品 60 个, 购进 $ B $ 款饰品 40 个;
方案二: 购进 $ A $ 款饰品 61 个, 购进 $ B $ 款饰品 39 个;
方案三: 购进 $ A $ 款饰品 62 个, 购进 $ B $ 款饰品 38 个.
(3) 利润为 $ (21 - 15)a + (28 - 20)(100 - a) = -2a + 800 $, 因为 $ 60 ≤ a ≤ 62 $ 且 $ a $ 为整数, 所以当 $ a = 60 $ 时, 利润取得最大值, 为 680 元. 设小李给出的红包总额为 $ m $ 元, 根据题意, 得 $ 680 - m ≥ [15×60 + 20×(100 - 60)]×35\% $, 解得 $ m ≤ 85 $.
答: 小李给出的红包总额不能超过 85 元.
答: $ A $ 款饰品的进价为 15 元/个, $ B $ 款饰品的进价为 20 元/个.
(2) 设购进 $ A $ 款饰品 $ a $ 个, 则购进 $ B $ 款饰品 $ (100 - a) $ 个, 根据题意, 得 $ 15a + 20(100 - a) ≤ 1700 $, 解得 $ a ≥ 60 $, 又因为 $ A $ 款饰品最多 62 个, 所以 $ 60 ≤ a ≤ 62 $. 因为 $ a $ 为整数, 所以 $ a = 60, 61, 62 $, 所以共有三种购进方案.
方案一: 购进 $ A $ 款饰品 60 个, 购进 $ B $ 款饰品 40 个;
方案二: 购进 $ A $ 款饰品 61 个, 购进 $ B $ 款饰品 39 个;
方案三: 购进 $ A $ 款饰品 62 个, 购进 $ B $ 款饰品 38 个.
(3) 利润为 $ (21 - 15)a + (28 - 20)(100 - a) = -2a + 800 $, 因为 $ 60 ≤ a ≤ 62 $ 且 $ a $ 为整数, 所以当 $ a = 60 $ 时, 利润取得最大值, 为 680 元. 设小李给出的红包总额为 $ m $ 元, 根据题意, 得 $ 680 - m ≥ [15×60 + 20×(100 - 60)]×35\% $, 解得 $ m ≤ 85 $.
答: 小李给出的红包总额不能超过 85 元.
3. 学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每间宿舍住5人，则剩下5人没处住；若每间宿舍住8人，则空一间宿舍，并且还有一间宿舍也不满.分配了多少间宿舍?有多少名女生?
答案：3. 设分配了 $ x $ 间宿舍, 则有 $ (5x + 5) $ 名女生. 依题意, 得 $ \begin{cases} 5x + 5 ＜ 35, \\ 0 ＜ (5x + 5) - 8(x - 2) ＜ 8, \end{cases} $ 解得 $ \frac{13}{3} ＜ x ＜ 6 $. 因为宿舍数应该为整数, 所以有 5 间宿舍. 当 $ x = 5 $ 时, 女生人数为 $ 5x + 5 = 5×5 + 5 = 30 $.
答: 分配了 5 间宿舍, 有 30 名女生.
答: 分配了 5 间宿舍, 有 30 名女生.