3. 比较 $3^{65}$，$4^{52}$，$6^{39}$，$15^{26}$ 四个数的大小。
答案：因为幂的指数较大，直接计算比较困难，所以可通过幂的运算法则，将这些数转化为指数相同或底数相近的表达式，再进行比较。
根据幂的乘方法则$(a^m)^n = a^{mn}$，对这四个数进行转化：
$3^{65}=(3^5)^{13}=243^{13}$；
$4^{52}=(4^4)^{13}=256^{13}$；
$6^{39}=(6^3)^{13}=216^{13}$；
$15^{26}=(15^2)^{13}=225^{13}$。
因为指数均为$13$，且函数$y = x^{13}$在$x＞0$时单调递增，
比较底数大小：$216＜ 225＜ 243＜ 256$。
所以$6^{39}＜ 15^{26}＜ 3^{65}＜ 4^{52}$。
根据幂的乘方法则$(a^m)^n = a^{mn}$，对这四个数进行转化：
$3^{65}=(3^5)^{13}=243^{13}$；
$4^{52}=(4^4)^{13}=256^{13}$；
$6^{39}=(6^3)^{13}=216^{13}$；
$15^{26}=(15^2)^{13}=225^{13}$。
因为指数均为$13$，且函数$y = x^{13}$在$x＞0$时单调递增，
比较底数大小：$216＜ 225＜ 243＜ 256$。
所以$6^{39}＜ 15^{26}＜ 3^{65}＜ 4^{52}$。
4. (1)已知 $x = 5^{7}$，$y = 7^{5}$，试用含 $x$，$y$ 的代数式表示 $25^{7}-49^{35}+35^{35}$；
(2)已知 $a$，$b$ 满足 $2^{a}=2024$，$506^{b}=2024$，求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}$ 的值。
(2)已知 $a$，$b$ 满足 $2^{a}=2024$，$506^{b}=2024$，求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}$ 的值。
答案：(1)$x^2 - y^{14} + x^5y^7$；(2)$\frac{1}{2}$
解析：
(1)
$25^7=(5^2)^7=5^{14}=(5^7)^2=x^2$，
$49^{35}=(7^2)^{35}=7^{70}=(7^5)^{14}=y^{14}$，
$35^{35}=(5×7)^{35}=5^{35}×7^{35}=(5^7)^5×(7^5)^7=x^5y^7$，
原式$=x^2 - y^{14} + x^5y^7$。
(2)
由$2^a=2024$得$2=2024^{1/a}$，由$506^b=2024$得$506=2024^{1/b}$，
$\because 2024=2^2×506$，
$\therefore 2024=(2024^{1/a})^2×2024^{1/b}=2024^{2/a + 1/b}$，
$\therefore 1=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$，两边同除以2得$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{2}$。
$25^7=(5^2)^7=5^{14}=(5^7)^2=x^2$，
$49^{35}=(7^2)^{35}=7^{70}=(7^5)^{14}=y^{14}$，
$35^{35}=(5×7)^{35}=5^{35}×7^{35}=(5^7)^5×(7^5)^7=x^5y^7$，
原式$=x^2 - y^{14} + x^5y^7$。
(2)
由$2^a=2024$得$2=2024^{1/a}$，由$506^b=2024$得$506=2024^{1/b}$，
$\because 2024=2^2×506$，
$\therefore 2024=(2024^{1/a})^2×2024^{1/b}=2024^{2/a + 1/b}$，
$\therefore 1=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$，两边同除以2得$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{2}$。
5. 已知 $a^{2026}=3$，求 $(3a^{6078})^{2}-4(a^{2})^{8104}$ 的值。
答案：$-19683$
解析：
$\because a^{2026}=3$，
$\therefore (3a^{6078})^{2}-4(a^{2})^{8104}$
$=9a^{12156}-4a^{16208}$
$=9(a^{2026})^{6}-4(a^{2026})^{8}$
$=9×3^{6}-4×3^{8}$
$=9×729 - 4×6561$
$=6561 - 26244$
$=-19683$
$\therefore (3a^{6078})^{2}-4(a^{2})^{8104}$
$=9a^{12156}-4a^{16208}$
$=9(a^{2026})^{6}-4(a^{2026})^{8}$
$=9×3^{6}-4×3^{8}$
$=9×729 - 4×6561$
$=6561 - 26244$
$=-19683$
6. (1)求 $3^{100}-1$ 的末位数字；
(2)求 $3^{2010}×7^{2011}×13^{2012}$ 的个位数字。
(2)求 $3^{2010}×7^{2011}×13^{2012}$ 的个位数字。
答案：(1)0；(2)7。
解析：
(1) $3^1=3$，末位数字3；$3^2=9$，末位数字9；$3^3=27$，末位数字7；$3^4=81$，末位数字1；$3^5=243$，末位数字3，周期为4。$100÷4=25$，余数0，$3^{100}$末位数字为1，$1-1=0$，末位数字是0。
(2) $13^{2012}$个位数字与$3^{2012}$相同，原式个位数字即$3^{2010}×7^{2011}×3^{2012}=3^{4022}×7^{2011}$的个位数字。
$3^{4022}$：周期4，$4022÷4=1005······2$，末位数字9；
$7^1=7$，$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401$，周期4，$2011÷4=502······3$，$7^{2011}$末位数字3；
$9×3=27$，个位数字7。
(2) $13^{2012}$个位数字与$3^{2012}$相同，原式个位数字即$3^{2010}×7^{2011}×3^{2012}=3^{4022}×7^{2011}$的个位数字。
$3^{4022}$：周期4，$4022÷4=1005······2$，末位数字9；
$7^1=7$，$7^2=49$，$7^3=343$，$7^4=2401$，周期4，$2011÷4=502······3$，$7^{2011}$末位数字3；
$9×3=27$，个位数字7。