9. 新趋势 开放性试题 请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题：
对顶角相等（答案不唯一）
。答案：9. 对顶角相等（答案不唯一） 解析：对顶角相等是真命题，它的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题。
解析：
对顶角相等（答案不唯一）
10. 用三个不等式$a＞b$、$ab＞0$、$\vert a\vert＞\vert b\vert$中的两个作为条件，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为
0
。答案：10. 0 解析：根据题意可知，一共有三种命题组合方式：①如果 $ a ＞ b $，$ a b ＞ 0 $，那么 $ | a | ＞ | b | $。当 $ a $，$ b $ 都是负数时，如果 $ a ＞ b $，$ a b ＞ 0 $，那么 $ | a | ＜ | b | $，所以 ① 不是真命题。② 如果 $ a ＞ b $，$ | a | ＞ | b | $，那么 $ a b ＞ 0 $。当 $ a ＞ 0 $，$ b ＜ 0 $ 时，如果 $ a ＞ b $，$ | a | ＞ | b | $，那么 $ a b ＜ 0 $，所以 ② 不是真命题。③ 如果 $ a b ＞ 0 $，$ | a | ＞ | b | $，那么 $ a ＞ b $。当 $ a $，$ b $ 都是负数时，如果 $ a b ＞ 0 $，$ | a | ＞ | b | $，那么 $ a ＜ b $，所以 ③ 不是真命题，所以组成真命题的个数为 0。
解析：
根据题意，可组成以下三种命题：
1. 条件：$a ＞ b$，$ab ＞ 0$；结论：$|a| ＞ |b|$。当$a$，$b$均为负数时，如$a=-1$，$b=-2$，满足$a ＞ b$，$ab ＞ 0$，但$|a|=1$，$|b|=2$，$|a| ＜ |b|$，故该命题为假命题。
2. 条件：$a ＞ b$，$|a| ＞ |b|$；结论：$ab ＞ 0$。当$a=2$，$b=-1$时，满足$a ＞ b$，$|a| ＞ |b|$，但$ab=-2 ＜ 0$，故该命题为假命题。
3. 条件：$ab ＞ 0$，$|a| ＞ |b|$；结论：$a ＞ b$。当$a=-3$，$b=-2$时，满足$ab ＞ 0$，$|a| ＞ |b|$，但$a ＜ b$，故该命题为假命题。
综上，组成真命题的个数为$0$。
$0$
1. 条件：$a ＞ b$，$ab ＞ 0$；结论：$|a| ＞ |b|$。当$a$，$b$均为负数时，如$a=-1$，$b=-2$，满足$a ＞ b$，$ab ＞ 0$，但$|a|=1$，$|b|=2$，$|a| ＜ |b|$，故该命题为假命题。
2. 条件：$a ＞ b$，$|a| ＞ |b|$；结论：$ab ＞ 0$。当$a=2$，$b=-1$时，满足$a ＞ b$，$|a| ＞ |b|$，但$ab=-2 ＜ 0$，故该命题为假命题。
3. 条件：$ab ＞ 0$，$|a| ＞ |b|$；结论：$a ＞ b$。当$a=-3$，$b=-2$时，满足$ab ＞ 0$，$|a| ＞ |b|$，但$a ＜ b$，故该命题为假命题。
综上，组成真命题的个数为$0$。
$0$
11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ 1=∠ 2$。
（1）请你添加一个与直线$AC$有关的条件，由此可得出$BE$是$△ ABC$的外角平分线。
（2）请你添加一个与$∠ 1$有关的条件，由此可得出$BE$是$△ ABC$的外角平分线。
（3）在（1）中，若添加的条件不变，将条件“$∠ 1=∠ 2$”与所得结论互换，所得的命题是否是真命题？请说明理由。
（1）请你添加一个与直线$AC$有关的条件，由此可得出$BE$是$△ ABC$的外角平分线。
（2）请你添加一个与$∠ 1$有关的条件，由此可得出$BE$是$△ ABC$的外角平分线。
（3）在（1）中，若添加的条件不变，将条件“$∠ 1=∠ 2$”与所得结论互换，所得的命题是否是真命题？请说明理由。
答案：11. (1) 当 $ A C // B E $ 时，$ B E $ 是 $ △ A B C $ 的外角平分线。理由如下：
当 $ A C // B E $ 时，$ ∠ 1 = ∠ A B E $，$ ∠ 2 = ∠ D B E $。因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，所以 $ ∠ A B E = ∠ D B E $，所以 $ B E $ 是 $ △ A B C $ 的外角平分线。
(2) $ ∠ 1 = ∠ A B E $（答案不唯一）。 理由如下：当 $ ∠ 1 = ∠ A B E $ 时，由内错角相等，两直线平行可得 $ A C // B E $，所以 $ ∠ 2 = ∠ D B E $。因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，所以 $ ∠ A B E = ∠ D B E $，所以 $ B E $ 是 $ △ A B C $ 的外角平分线。
(3) 是真命题，理由如下：
因为 $ B E $ 是 $ △ A B C $ 的外角平分线，所以 $ ∠ A B E = ∠ D B E $。因为 $ A C // B E $，所以 $ ∠ 1 = ∠ A B E $，$ ∠ 2 = ∠ D B E $，所以 $ ∠ 1 = ∠ 2 $。
当 $ A C // B E $ 时，$ ∠ 1 = ∠ A B E $，$ ∠ 2 = ∠ D B E $。因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，所以 $ ∠ A B E = ∠ D B E $，所以 $ B E $ 是 $ △ A B C $ 的外角平分线。
(2) $ ∠ 1 = ∠ A B E $（答案不唯一）。 理由如下：当 $ ∠ 1 = ∠ A B E $ 时，由内错角相等，两直线平行可得 $ A C // B E $，所以 $ ∠ 2 = ∠ D B E $。因为 $ ∠ 1 = ∠ 2 $，所以 $ ∠ A B E = ∠ D B E $，所以 $ B E $ 是 $ △ A B C $ 的外角平分线。
(3) 是真命题，理由如下：
因为 $ B E $ 是 $ △ A B C $ 的外角平分线，所以 $ ∠ A B E = ∠ D B E $。因为 $ A C // B E $，所以 $ ∠ 1 = ∠ A B E $，$ ∠ 2 = ∠ D B E $，所以 $ ∠ 1 = ∠ 2 $。
12. 新趋势 过程性学习 已知$∠ ABC$，画$∠ DEF$，使$DE// AB$，$EF// BC$，且$DE$交$BC$于点$P$。探究$∠ ABC$与$∠ DEF$有怎样的数量关系。
(1)我们发现$∠ ABC$与$∠ DEF$存在某种数量关系，如图①所示，那么图①中$∠ ABC$与$∠ DEF$有什么数量关系？请说明理由。
(2)$∠ ABC$与$∠ DEF$是否还有其他数量关系？若有，请写出这个数量关系并在图②中画出一个满足这个数量关系的$∠ DEF$，若没有，请说明理由。
(3)总结上述探究过程，可得出一个真命题：
(4)应用(3)中的真命题解决问题：若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的$2$倍少$15^{\circ}$，请求出这两个角的度数。
(1)我们发现$∠ ABC$与$∠ DEF$存在某种数量关系，如图①所示，那么图①中$∠ ABC$与$∠ DEF$有什么数量关系？请说明理由。
(2)$∠ ABC$与$∠ DEF$是否还有其他数量关系？若有，请写出这个数量关系并在图②中画出一个满足这个数量关系的$∠ DEF$，若没有，请说明理由。
(3)总结上述探究过程，可得出一个真命题：
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
。(4)应用(3)中的真命题解决问题：若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的$2$倍少$15^{\circ}$，请求出这两个角的度数。
答案：
12. (1) $ ∠ A B C = ∠ D E F $，理由如下：如题图①，因为 $ E F // B C $，所以 $ ∠ D P C = ∠ D E F $。因为 $ D E // A B $，所以 $ ∠ A B C = ∠ D P C $，所以 $ ∠ A B C = ∠ D E F $。
(2) $ ∠ A B C + ∠ D E F = 180 ^ { \circ } $。如图，因为 $ E F // B C $，所以 $ ∠ D P B = ∠ D E F $。因为 $ D E // A B $，所以 $ ∠ A B C + ∠ D P B = 180 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ A B C + ∠ D E F = 180 ^ { \circ } $。
(3) 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
(4) 设两个角分别为 $ x $ 和 $ 2 x - 15 ^ { \circ } $，由题意得 $ x = 2 x - 15 ^ { \circ } $ 或 $ x + 2 x - 15 ^ { \circ } = 180 ^ { \circ } $，解得 $ x = 15 ^ { \circ } $ 或 $ x = 65 ^ { \circ } $，所以这两个角的度数为 $ 15 ^ { \circ } $，$ 15 ^ { \circ } $ 或 $ 65 ^ { \circ } $，$ 115 ^ { \circ } $。
12. (1) $ ∠ A B C = ∠ D E F $，理由如下：如题图①，因为 $ E F // B C $，所以 $ ∠ D P C = ∠ D E F $。因为 $ D E // A B $，所以 $ ∠ A B C = ∠ D P C $，所以 $ ∠ A B C = ∠ D E F $。
(2) $ ∠ A B C + ∠ D E F = 180 ^ { \circ } $。如图，因为 $ E F // B C $，所以 $ ∠ D P B = ∠ D E F $。因为 $ D E // A B $，所以 $ ∠ A B C + ∠ D P B = 180 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ A B C + ∠ D E F = 180 ^ { \circ } $。
(3) 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
(4) 设两个角分别为 $ x $ 和 $ 2 x - 15 ^ { \circ } $，由题意得 $ x = 2 x - 15 ^ { \circ } $ 或 $ x + 2 x - 15 ^ { \circ } = 180 ^ { \circ } $，解得 $ x = 15 ^ { \circ } $ 或 $ x = 65 ^ { \circ } $，所以这两个角的度数为 $ 15 ^ { \circ } $，$ 15 ^ { \circ } $ 或 $ 65 ^ { \circ } $，$ 115 ^ { \circ } $。