7. 小明和小亮在研究一道数学题,如图,EF⊥AB,CD⊥AB,垂足分别为点E,D,G在AC上.小明说:“如果∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB”;小亮说:“连接FG,如果FG//AB,则能得到∠GFC=∠ADG”.则下列判断正确的是(
A.小明的说法正确,小亮的说法错误
B.小明的说法正确,小亮的说法正确
C.小明的说法错误,小亮的说法正确
D.小明的说法错误,小亮的说法错误
A
)A.小明的说法正确,小亮的说法错误
B.小明的说法正确,小亮的说法正确
C.小明的说法错误,小亮的说法正确
D.小明的说法错误,小亮的说法错误
答案：7. A 解析:
∵ EF ⊥ AB, CD ⊥ AB,
∴ CD // EF,
∴ ∠BCD = ∠BFE.若 ∠CDG = ∠BFE,
∵ ∠BCD = ∠BFE,
∴ ∠BCD = ∠CDG,
∴ DG // BC,
∴ ∠AGD = ∠ACB.故小明的说法正确;
∵ FG // AB,
∴ ∠B = ∠GFC,得不到 ∠GFC = ∠ADG,
∴ 小亮的说法错误.故选 A.
∵ EF ⊥ AB, CD ⊥ AB,
∴ CD // EF,
∴ ∠BCD = ∠BFE.若 ∠CDG = ∠BFE,
∵ ∠BCD = ∠BFE,
∴ ∠BCD = ∠CDG,
∴ DG // BC,
∴ ∠AGD = ∠ACB.故小明的说法正确;
∵ FG // AB,
∴ ∠B = ∠GFC,得不到 ∠GFC = ∠ADG,
∴ 小亮的说法错误.故选 A.
8. (2025·苏州校级月考)将一副直角三角板按如图所示摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°,AB//CD,则下列结论不正确的是(
A.GE//MP
B.∠BEF=75°
C.∠EFN=145°
D.∠AEG=∠PMN
C
)A.GE//MP
B.∠BEF=75°
C.∠EFN=145°
D.∠AEG=∠PMN
答案：
8. C 解析:
∵ ∠G = ∠MPN = ∠MPG = 90°,
∴ GE // MP,故 A 选项不符合题意;
∵ ∠EFG = 30°,
∴ ∠EFN = 180° - 30° = 150°,故 C 选项符合题意;过点 F 作 FH // AB,如图,
∵ AB // CD,
∴ FH // CD,
∴ ∠HFN = ∠MNP = 45°,
∴ ∠EFH = 150° - 45° = 105°.
∵ FH // AB,
∴ ∠BEF = 180° - 105° = 75°,故 B 选项不符合题意;
∵ ∠GEF = 60°, ∠BEF = 75°,
∴ ∠AEG = 180° - 60° - 75° = 45°,
∴ ∠AEG = ∠PMN = 45°,故 D 选项不符合题意.故选 C.
8. C 解析:
∵ ∠G = ∠MPN = ∠MPG = 90°,
∴ GE // MP,故 A 选项不符合题意;
∵ ∠EFG = 30°,
∴ ∠EFN = 180° - 30° = 150°,故 C 选项符合题意;过点 F 作 FH // AB,如图,
∵ AB // CD,
∴ FH // CD,
∴ ∠HFN = ∠MNP = 45°,
∴ ∠EFH = 150° - 45° = 105°.
∵ FH // AB,
∴ ∠BEF = 180° - 105° = 75°,故 B 选项不符合题意;
∵ ∠GEF = 60°, ∠BEF = 75°,
∴ ∠AEG = 180° - 60° - 75° = 45°,
∴ ∠AEG = ∠PMN = 45°,故 D 选项不符合题意.故选 C.
9. (大庆中考)如图,从①∠1=∠2;②∠C=∠D;③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件,另一个作为结论组成命题,正确的命题有
]
3
个.]答案：
9. 3 解析:如图所示,当 ∠1 = ∠2 时,
∵ ∠1 = ∠3,
∴ ∠3 = ∠2,
∴ DB // EC,
∴ ∠D = ∠4,当 ∠C = ∠D 时,∠4 = ∠C,
∴ DF // AC,
∴ ∠A = ∠F,即 $\begin{cases} ①, \\ ② \end{cases} ⇒ ③$;当 ∠1 = ∠2 时,
∵ ∠1 = ∠3,
∴ ∠3 = ∠2,
∴ DB // EC,
∴ ∠D = ∠4,当 ∠A = ∠F 时,DF // AC,
∴ ∠4 = ∠C,
∴ ∠C = ∠D,即 $\begin{cases} ①, \\ ③ \end{cases} ⇒ ②$;当 ∠A = ∠F 时,DF // AC,
∴ ∠4 = ∠C,当 ∠C = ∠D 时,∠4 = ∠D,
∴ DB // EC,
∴ ∠2 = ∠3,
∴ ∠1 = ∠2,即 $\begin{cases} ②, \\ ③ \end{cases} ⇒ ①$,故正确的命题有 3 个.
9. 3 解析:如图所示,当 ∠1 = ∠2 时,
∵ ∠1 = ∠3,
∴ ∠3 = ∠2,
∴ DB // EC,
∴ ∠D = ∠4,当 ∠C = ∠D 时,∠4 = ∠C,
∴ DF // AC,
∴ ∠A = ∠F,即 $\begin{cases} ①, \\ ② \end{cases} ⇒ ③$;当 ∠1 = ∠2 时,
∵ ∠1 = ∠3,
∴ ∠3 = ∠2,
∴ DB // EC,
∴ ∠D = ∠4,当 ∠A = ∠F 时,DF // AC,
∴ ∠4 = ∠C,
∴ ∠C = ∠D,即 $\begin{cases} ①, \\ ③ \end{cases} ⇒ ②$;当 ∠A = ∠F 时,DF // AC,
∴ ∠4 = ∠C,当 ∠C = ∠D 时,∠4 = ∠D,
∴ DB // EC,
∴ ∠2 = ∠3,
∴ ∠1 = ∠2,即 $\begin{cases} ②, \\ ③ \end{cases} ⇒ ①$,故正确的命题有 3 个.
10. 如图,将长方形纸片ABCD沿EF折叠(折线EF交AD于点E,交BC于点F,点C,D的落点分别是点C',D',ED'交BC于点G),再将四边形C'D'GF沿FG折叠,点C',D'的落点分别是点C'',D'',GD''交EF于点H,下列四个结论:
①∠GEF=∠GFE;
②EF//C''D'';
③∠AEG-∠FEG=∠EFC'';
④∠EHG=3∠EFB.
其中正确的结论是
]
①∠GEF=∠GFE;
②EF//C''D'';
③∠AEG-∠FEG=∠EFC'';
④∠EHG=3∠EFB.
其中正确的结论是
①③④
(填序号).]答案：10. ①③④ 解析:设 ∠GEF = x,则 ∠GEF = ∠DEF = x.
∵ AD // BC,
∴ ∠DEF = ∠EFB = x,
∴ ∠GEF = ∠GFE.故 ① 正确;
∵ AD // BC,
∴ ∠AEF = ∠EFC = 180° - x,
∴ ∠EFC = ∠EFC' = 180° - x,
∴ ∠GFC' = 180° - 2x,
∴ ∠GFC' = ∠GFC'' = 180° - 2x,
∴ ∠EFC'' = 180° - 3x,
∴ ∠EFC'' + ∠C'' = 270° - 3x,不一定等于 180°,则 EF 与 C''D''不一定平行,故 ② 错误;
∵ ∠AEG - ∠FEG = 180° - 2x - x = 180° - 3x,
∴ ∠AEG - ∠FEG = ∠EFC'',故 ③ 正确;
∵ FC' // ED',
∴ ∠FGD' = 180° - (180° - 2x) = 2x,
∴ ∠D''GF = ∠FGD' = 2x,
∴ ∠EHG = 180° - ∠GHF = ∠D''GF + ∠EFB = 3x,
∴ ∠EHG = 3∠EFB.故 ④ 正确.即其中正确的结论是 ①③④.
∵ AD // BC,
∴ ∠DEF = ∠EFB = x,
∴ ∠GEF = ∠GFE.故 ① 正确;
∵ AD // BC,
∴ ∠AEF = ∠EFC = 180° - x,
∴ ∠EFC = ∠EFC' = 180° - x,
∴ ∠GFC' = 180° - 2x,
∴ ∠GFC' = ∠GFC'' = 180° - 2x,
∴ ∠EFC'' = 180° - 3x,
∴ ∠EFC'' + ∠C'' = 270° - 3x,不一定等于 180°,则 EF 与 C''D''不一定平行,故 ② 错误;
∵ ∠AEG - ∠FEG = 180° - 2x - x = 180° - 3x,
∴ ∠AEG - ∠FEG = ∠EFC'',故 ③ 正确;
∵ FC' // ED',
∴ ∠FGD' = 180° - (180° - 2x) = 2x,
∴ ∠D''GF = ∠FGD' = 2x,
∴ ∠EHG = 180° - ∠GHF = ∠D''GF + ∠EFB = 3x,
∴ ∠EHG = 3∠EFB.故 ④ 正确.即其中正确的结论是 ①③④.
11. 如图①,在五边形ABCDE中,AE//BC,∠A=∠C.
(1)猜想AB与CD之间的位置关系,并说明理由;
(2)延长DE至点F,连接BE,如图②,若∠1=∠3,∠AEF=2∠2,求证:∠AED=∠C.
]
(1)猜想AB与CD之间的位置关系,并说明理由;
(2)延长DE至点F,连接BE,如图②,若∠1=∠3,∠AEF=2∠2,求证:∠AED=∠C.
]答案：11. (1)猜想:AB // CD.理由如下:
∵ AE // BC,
∴ ∠A + ∠B = 180°.
∵ ∠A = ∠C,
∴ ∠C + ∠B = 180°,
∴ AB // CD.
(2)
∵ AE // BC,
∴ ∠2 = ∠3, ∠A + ∠ABC = 180°.
∵ ∠1 = ∠3,
∴ ∠1 = ∠2 = ∠3, ∠ABC = 2∠2.
∵ ∠AEF = 2∠2,
∴ ∠A + ∠ABC = ∠A + 2∠2 = ∠A + ∠AEF = 180°.
∵ ∠AEF + ∠AED = 180°,
∴ ∠A = ∠AED.
∵ ∠A = ∠C,
∴ ∠AED = ∠C.
∵ AE // BC,
∴ ∠A + ∠B = 180°.
∵ ∠A = ∠C,
∴ ∠C + ∠B = 180°,
∴ AB // CD.
(2)
∵ AE // BC,
∴ ∠2 = ∠3, ∠A + ∠ABC = 180°.
∵ ∠1 = ∠3,
∴ ∠1 = ∠2 = ∠3, ∠ABC = 2∠2.
∵ ∠AEF = 2∠2,
∴ ∠A + ∠ABC = ∠A + 2∠2 = ∠A + ∠AEF = 180°.
∵ ∠AEF + ∠AED = 180°,
∴ ∠A = ∠AED.
∵ ∠A = ∠C,
∴ ∠AED = ∠C.