18. 已知$3^{a}=2$，$3^{b}=6$，$3^{c}=18$，则$b^{2}-ac$的值为
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。答案：18. 1 解析：因为 $ 3^{a}=2 $，$ 3^{b}=6 $，$ 3^{c}=18 $，所以 $ 3^{c} ÷ 3^{b}=3^{c-b}=18 ÷ 6=3 $，所以 $ c-b=1 $，则 $ b-c=-1 $. 因为 $ 3^{b^{2}-a c}=3^{b^{2}} ÷ 3^{a c}=(3^{b})^{b} ÷(3^{a})^{c}=6^{b} ÷ 2^{c}=(2 × 3)^{b} ÷ 2^{c}=2^{b} × 3^{b} ÷ 2^{c}=2^{b-c} × 6=2^{-1} × 6=3 $，所以 $ 3^{b^{2}-a c}=3^{1} $，所以 $ b^{2}-a c=1 $.
解析：
因为$3^{a}=2$，$3^{b}=6$，$3^{c}=18$，所以$3^{c}÷3^{b}=3^{c - b}=18÷6 = 3$，则$c - b=1$，即$b - c=-1$。
$3^{b^{2}-ac}=3^{b^{2}}÷3^{ac}=(3^{b})^{b}÷(3^{a})^{c}=6^{b}÷2^{c}=(2×3)^{b}÷2^{c}=2^{b}×3^{b}÷2^{c}=2^{b - c}×3^{b}$。
将$b - c=-1$，$3^{b}=6$代入上式，得$2^{-1}×6=\frac{1}{2}×6 = 3$，即$3^{b^{2}-ac}=3^{1}$，所以$b^{2}-ac = 1$。
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$3^{b^{2}-ac}=3^{b^{2}}÷3^{ac}=(3^{b})^{b}÷(3^{a})^{c}=6^{b}÷2^{c}=(2×3)^{b}÷2^{c}=2^{b}×3^{b}÷2^{c}=2^{b - c}×3^{b}$。
将$b - c=-1$，$3^{b}=6$代入上式，得$2^{-1}×6=\frac{1}{2}×6 = 3$，即$3^{b^{2}-ac}=3^{1}$，所以$b^{2}-ac = 1$。
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三、解答题（共46分）
19. （8分）计算：
（1）$(-x^{2})^{4}·(-x)^{3}$；
（2）$(m^{2})^{n}·(mn)^{3}÷ m^{n - 2}$；
（3）$(-0.125)^{2025}×2^{2026}×4^{2024}$；
（4）$(-\frac{1}{2})^{2}÷(-2)^{3}÷(-2)^{-2}+(π - 999)^{0}$。
19. （8分）计算：
（1）$(-x^{2})^{4}·(-x)^{3}$；
（2）$(m^{2})^{n}·(mn)^{3}÷ m^{n - 2}$；
（3）$(-0.125)^{2025}×2^{2026}×4^{2024}$；
（4）$(-\frac{1}{2})^{2}÷(-2)^{3}÷(-2)^{-2}+(π - 999)^{0}$。
答案：19. (1) 原式 $ =x^{8} ·(-x^{3})=-x^{11} $.
(2) 原式 $ =m^{2 n} · m^{3} n^{3} ÷ m^{n-2}=m^{n+5} n^{3} $.
(3) 原式 $ =(-\frac{1}{8})^{2025} ×(2 × 4)^{2024} × 2^{2}=(-\frac{1}{8}) ×(-\frac{1}{8})^{2024} × 8^{2024} × 2^{2}=(-\frac{1}{8}) × 1 × 2^{2}=-\frac{1}{2} $.
(4) 原式 $ =\frac{1}{4} ÷(-8) ÷ \frac{1}{4}+1=\frac{1}{4} ×(-\frac{1}{8}) × 4+1=\frac{7}{8} $.
(2) 原式 $ =m^{2 n} · m^{3} n^{3} ÷ m^{n-2}=m^{n+5} n^{3} $.
(3) 原式 $ =(-\frac{1}{8})^{2025} ×(2 × 4)^{2024} × 2^{2}=(-\frac{1}{8}) ×(-\frac{1}{8})^{2024} × 8^{2024} × 2^{2}=(-\frac{1}{8}) × 1 × 2^{2}=-\frac{1}{2} $.
(4) 原式 $ =\frac{1}{4} ÷(-8) ÷ \frac{1}{4}+1=\frac{1}{4} ×(-\frac{1}{8}) × 4+1=\frac{7}{8} $.
20. （4分）设$A = 2^{-3333}$，$B = 3^{-2222}$，$C = 5^{-1111}$，比较$A$，$B$，$C$的大小。
答案：20. 因为 $ A=2^{-3333}=8^{-1111} $，$ B=3^{-2222}=9^{-1111} $，$ C=5^{-1111} $，且 $ 9^{1111}＞8^{1111}＞5^{1111} $，所以 $ 5^{-1111}＞2^{-3333}＞3^{-2222} $，即 $ C＞A＞B $.
21. （6分）（1）若$x^{2n}=2$，求$(-3x^{3n})^{2}-4(-x^{2})^{2n}$的值；
（2）设$x$为正整数，且满足$3^{x + 1}×2^{x}-3^{x}×2^{x + 1}=216$，求$(x^{x - 1})^{2}$的值。
（2）设$x$为正整数，且满足$3^{x + 1}×2^{x}-3^{x}×2^{x + 1}=216$，求$(x^{x - 1})^{2}$的值。
答案：21. (1) $ (-3 x^{3 n})^{2}-4(-x^{2})^{2 n}=9 x^{6 n}-4 x^{4 n}=9(x^{2 n})^{3}-4(x^{2 n})^{2} $，当 $ x^{2 n}=2 $ 时，原式 $ =9 × 2^{3}-4 × 2^{2}=72-16=56 $.
(2) 因为 $ 3^{x+1} × 2^{x}-3^{x} × 2^{x+1}=216 $，所以 $ 3 × 6^{x}-2 × 6^{x}=216 $，所以 $ 6^{x}=216=6^{3} $，解得 $ x=3 $，所以 $ (x^{-1})^{2}=(3^{-1})^{2}=9^{2}=81 $.
(2) 因为 $ 3^{x+1} × 2^{x}-3^{x} × 2^{x+1}=216 $，所以 $ 3 × 6^{x}-2 × 6^{x}=216 $，所以 $ 6^{x}=216=6^{3} $，解得 $ x=3 $，所以 $ (x^{-1})^{2}=(3^{-1})^{2}=9^{2}=81 $.
22. （6分）（1）已知$n$是正整数，$9^{n + 1}-3^{2n}=72$，求$n$的值；
（2）已知$2^{a}×3^{b}×37^{c}=3996$，其中$a$，$b$，$c$为正整数，求$(a - b - c)^{10}$的值。
（2）已知$2^{a}×3^{b}×37^{c}=3996$，其中$a$，$b$，$c$为正整数，求$(a - b - c)^{10}$的值。
答案：22. (1) 因为 $ 9^{n+1}-3^{2 n}=72 $，所以 $ (3^{2})^{n+1}-3^{2 n}=72 $，所以 $ 3^{2 n+2}-3^{2 n}=72 $，所以 $ 3^{2 n}(3^{2}-1)=72 $，所以 $ 3^{2 n}(9-1)=72 $，所以 $ 3^{2 n}=9 $，所以 $ 3^{2 n}=3^{2} $，所以 $ 2 n=2 $，所以 $ n=1 $.
(2) 因为 $ 2^{a} × 3^{b} × 37^{c}=3996 $，$ 3996=2^{2} × 3^{3} × 37 $，所以 $ a=2 $，$ b=3 $，$ c=1 $，所以 $ (a-b-c)^{10}=(2-3-1)^{10}=(-2)^{10}=1024 $.
(2) 因为 $ 2^{a} × 3^{b} × 37^{c}=3996 $，$ 3996=2^{2} × 3^{3} × 37 $，所以 $ a=2 $，$ b=3 $，$ c=1 $，所以 $ (a-b-c)^{10}=(2-3-1)^{10}=(-2)^{10}=1024 $.
23. （6分）在求$1 + 6 + 6^{2}+6^{3}+6^{4}+6^{5}+6^{6}+6^{7}+6^{8}$的值时，小林发现：从第二个加数起，每一个加数都是前一个加数的$6$倍，于是他设：$S = 1 + 6 + 6^{2}+6^{3}+6^{4}+6^{5}+6^{6}+6^{7}+6^{8}$ ①，然后在①式的两边都乘$6$，得$6S = 6 + 6^{2}+6^{3}+6^{4}+6^{5}+6^{6}+6^{7}+6^{8}+6^{9}$ ②，② - ①得$6S - S = 6^{9}-1$，即$5S = 6^{9}-1$，所以$S=\frac{6^{9}-1}{5}$。
请根据以上想法求$1 + 3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-1000}$的值。
请根据以上想法求$1 + 3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-1000}$的值。
答案：23. 设 $ S=1+3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-1000} $，所以 $ 3 S=3 ×(1+3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-1000})=3+1+3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-999} $，所以 $ 2 S=(3+1+3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-999})-(1+3^{-1}+3^{-2}+···+3^{-1000})=3-3^{-1000} $，所以 $ S=\frac{3-3^{-1000}}{2} $.