24. （8分）新趋势 跨学科融合 在狭义相对论中，爱因斯坦用质能方程描述了物体能量$E$（单位：焦耳）与质量$m$（单位：千克）之间的关系：$E = mc^{2}$。其中$c$是真空中的光速，$c = 3×10^{8}$（单位：米/秒）。
（1）原子弹爆炸过程中产生的巨大能量就是由物体的质量转化而来的，若将$0.003$千克的质量全都转化为能量，则该能量有多少焦耳？（结果用科学记数法表示）
（2）已知$1$千克汽油完全燃烧会产生约$4.5×10^{7}$焦耳的能量，则（1）中转化出的能量等同于多少千克汽油完全燃烧产生的能量？（结果用科学记数法表示）
（3）已知$1$升汽油的质量约为$0.75$千克，则将（2）中等价得到的汽油装入一个正方体的容器，恰好装满，则该正方体容器的棱长为多少分米？
（1）原子弹爆炸过程中产生的巨大能量就是由物体的质量转化而来的，若将$0.003$千克的质量全都转化为能量，则该能量有多少焦耳？（结果用科学记数法表示）
（2）已知$1$千克汽油完全燃烧会产生约$4.5×10^{7}$焦耳的能量，则（1）中转化出的能量等同于多少千克汽油完全燃烧产生的能量？（结果用科学记数法表示）
（3）已知$1$升汽油的质量约为$0.75$千克，则将（2）中等价得到的汽油装入一个正方体的容器，恰好装满，则该正方体容器的棱长为多少分米？
答案：24. (1) $ E=m c^{2}=0.003 ×(3 × 10^{8})^{2}=2.7 × 10^{14} $（焦耳），所以该能量有 $ 2.7 × 10^{14} $ 焦耳.
(2) $ (2.7 × 10^{14}) ÷(4.5 × 10^{7})=6 × 10^{6} $（千克），所以等同于 $ 6 × 10^{6} $ 千克汽油完全燃烧产生的能量.
(3) $ (6 × 10^{6}) ÷ 0.75=8 × 10^{6} $（升），所以汽油的体积共有 $ 8 × 10^{6} $ 立方分米. 因为 $ 8 × 10^{6}=(2 × 10^{2})^{3}=200^{3} $，所以要使得恰好装满汽油，正方体容器的棱长为 200 分米.
(2) $ (2.7 × 10^{14}) ÷(4.5 × 10^{7})=6 × 10^{6} $（千克），所以等同于 $ 6 × 10^{6} $ 千克汽油完全燃烧产生的能量.
(3) $ (6 × 10^{6}) ÷ 0.75=8 × 10^{6} $（升），所以汽油的体积共有 $ 8 × 10^{6} $ 立方分米. 因为 $ 8 × 10^{6}=(2 × 10^{2})^{3}=200^{3} $，所以要使得恰好装满汽油，正方体容器的棱长为 200 分米.
25. (8分)(2025·漳州期中)规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作【$a$，$b$】：如果$a^{c}=b$，那么【$a$，$b$】$=c$。例如因为$2^{3}=8$，所以【$2$，$8$】$=3$。
(1)根据上述规定，填空：【$4$，$64$】$=$
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：【$3^{n}$，$4^{n}$】$=$【$3$，$4$】，小明给出了如下的证明：
设【$3^{n}$，$4^{n}$】$=x$，则$(3^{n})^{x}=4^{n}$，即$(3^{x})^{n}=4^{n}$，所以$3^{x}=4$。即【$3$，$4$】$=x$，所以【$3^{n}$，$4^{n}$】$=$【$3$，$4$】。
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：【$7$，$5$】$+$【$7$，$6$】$=$【$7$，$30$】；
②请根据前面的经验猜想：【$(x + 1)^{n}$，$(y - 1)^{n}$】$+$【$(x + 1)^{n}$，$(y - 2)^{n}$】$=$【
(1)根据上述规定，填空：【$4$，$64$】$=$
3
，【$5$，$1$】$=$0
，【$\pm 3$
，$9$】$=2$；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：【$3^{n}$，$4^{n}$】$=$【$3$，$4$】，小明给出了如下的证明：
设【$3^{n}$，$4^{n}$】$=x$，则$(3^{n})^{x}=4^{n}$，即$(3^{x})^{n}=4^{n}$，所以$3^{x}=4$。即【$3$，$4$】$=x$，所以【$3^{n}$，$4^{n}$】$=$【$3$，$4$】。
请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：【$7$，$5$】$+$【$7$，$6$】$=$【$7$，$30$】；
②请根据前面的经验猜想：【$(x + 1)^{n}$，$(y - 1)^{n}$】$+$【$(x + 1)^{n}$，$(y - 2)^{n}$】$=$【
$(x+1)$
，$(y-1)(y-2)$
】。答案：25. (1) 3 0 $ \pm 3 $ 解析：因为 $ 4^{3}=64 $，所以 $ [4,64]=3 $. 因为 $ 5^{0}=1 $，所以 $ [5,1]=0 $. 因为 $ (\pm 3)^{2}=9 $，所以 $ [\pm 3,9]=2 $.
(2) ①设 $ [7,5]=x $，$ [7,6]=y $，则 $ 7^{x}=5 $，$ 7^{y}=6 $，所以 $ 7^{x+y}=7^{x} · 7^{y}=5 × 6=30 $，所以 $ [7,30]=x+y $，所以 $ [7,5]+[7,6]=[7,30] $.
② $ (x+1) $ $ (y-1)(y-2) $ 解析：由 $ [3^{n}, 4^{n}]=[3,4] $ 的证明过程和结论可以猜想：$ [(x+1)^{n},(y-1)^{n}]=[(x+1),(y-1)] $，$ [(x+1)^{n},(y-2)^{n}]=[(x+1),(y-2)] $，所以 $ [(x+1)^{n},(y-1)^{n}]+[(x+1)^{n},(y-2)^{n}]=[(x+1),(y-1)]+[(x+1),(y-2)] $，由 $ [7,5]+[7,6]=[7,30] $ 的证明过程和结论可以猜想：$ [(x+1),(y-1)]+[(x+1),(y-2)]=[(x+1),(y-1)(y-2)] $，所以 $ [(x+1)^{n},(y-1)^{n}]+[(x+1)^{n},(y-2)^{n}]=[(x+1),(y-1)(y-2)] $.
(2) ①设 $ [7,5]=x $，$ [7,6]=y $，则 $ 7^{x}=5 $，$ 7^{y}=6 $，所以 $ 7^{x+y}=7^{x} · 7^{y}=5 × 6=30 $，所以 $ [7,30]=x+y $，所以 $ [7,5]+[7,6]=[7,30] $.
② $ (x+1) $ $ (y-1)(y-2) $ 解析：由 $ [3^{n}, 4^{n}]=[3,4] $ 的证明过程和结论可以猜想：$ [(x+1)^{n},(y-1)^{n}]=[(x+1),(y-1)] $，$ [(x+1)^{n},(y-2)^{n}]=[(x+1),(y-2)] $，所以 $ [(x+1)^{n},(y-1)^{n}]+[(x+1)^{n},(y-2)^{n}]=[(x+1),(y-1)]+[(x+1),(y-2)] $，由 $ [7,5]+[7,6]=[7,30] $ 的证明过程和结论可以猜想：$ [(x+1),(y-1)]+[(x+1),(y-2)]=[(x+1),(y-1)(y-2)] $，所以 $ [(x+1)^{n},(y-1)^{n}]+[(x+1)^{n},(y-2)^{n}]=[(x+1),(y-1)(y-2)] $.