5. (2025·扬州期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,请用无刻度直尺和圆规作图.(标注字母,保留作图痕迹,不要求写作法)
(1)如图①,在边AC上找一点D,使得∠BDC=60°;
(2)如图②,E是AB上一点,在边AC上作点F,使∠EFC=2∠A.
(1)如图①,在边AC上找一点D,使得∠BDC=60°;
(2)如图②,E是AB上一点,在边AC上作点F,使∠EFC=2∠A.
答案：
5. (1)如图①,点$D$即为所求.(作图方法合理即可)
(2)如图②,点$F$即为所求,连接$EF$.(作图方法合理即可)
5. (1)如图①,点$D$即为所求.(作图方法合理即可)
(2)如图②,点$F$即为所求,连接$EF$.(作图方法合理即可)
6. (2025·扬州期末)数学实验:通过纸片的折叠,可以发现许多有趣的现象,这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释,所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图,点P在长方形纸片ABCD边AD上.
(1)将长方形纸片ABCD沿着过点P的一条直线折叠,使AP落在PD上.请你利用无刻度的直尺和圆规,在图①中画出折痕PM,其中,点M在边BC上(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若点Q在边CD上,连接PQ,将长方形纸片ABCD沿着一条直线折叠,使点P与点Q重合.请你利用无刻度的直尺和圆规,在图②中作出折痕EF,其中点E,F分别在边AD,BC上(不写作法,保留作图痕迹);
(3)折叠长方形纸片ABCD,使得AB,CD分别落在边BC,AD上,请你利用无刻度的直尺和圆规,在图③中作出折痕BG,DH,其中点G,H分别在边AD,BC上(不写作法,保留作图痕迹).BG和DH的位置关系为
(4)折叠长方形纸片ABCD,使得BC落在直线PQ上.请你利用无刻度直尺和圆规,在图④中作出折痕MN(不写作法,保留作图痕迹),其中点M,N分别在边AB,CD上.
(1)将长方形纸片ABCD沿着过点P的一条直线折叠,使AP落在PD上.请你利用无刻度的直尺和圆规,在图①中画出折痕PM,其中,点M在边BC上(不写作法,保留作图痕迹);
(2)若点Q在边CD上,连接PQ,将长方形纸片ABCD沿着一条直线折叠,使点P与点Q重合.请你利用无刻度的直尺和圆规,在图②中作出折痕EF,其中点E,F分别在边AD,BC上(不写作法,保留作图痕迹);
(3)折叠长方形纸片ABCD,使得AB,CD分别落在边BC,AD上,请你利用无刻度的直尺和圆规,在图③中作出折痕BG,DH,其中点G,H分别在边AD,BC上(不写作法,保留作图痕迹).BG和DH的位置关系为
$BG// DH$
;(4)折叠长方形纸片ABCD,使得BC落在直线PQ上.请你利用无刻度直尺和圆规,在图④中作出折痕MN(不写作法,保留作图痕迹),其中点M,N分别在边AB,CD上.
答案：
6. (1)如图①,直线$PM$即为所求.
(2)如图②,直线$EF$即为所求.
(3)如图③中,直线$BG$,$DH$即为所求.
$BG// DH$ 解析:$\because$四边形$ABCD$是长方形,$\therefore ∠ ABC = ∠ C = ∠ ADC = 90^{\circ}$,$\because BG$,$DH$分别平分$∠ ABC$,$∠ ADC$,$\therefore ∠ CBG = ∠ CDH = 45^{\circ}$,$\therefore ∠ CHD = ∠ CBG = 45^{\circ}$,$\therefore BG// DH$.
(4)如图④,直线$MN$即为所求.
6. (1)如图①,直线$PM$即为所求.
(2)如图②,直线$EF$即为所求.
(3)如图③中,直线$BG$,$DH$即为所求.
$BG// DH$ 解析:$\because$四边形$ABCD$是长方形,$\therefore ∠ ABC = ∠ C = ∠ ADC = 90^{\circ}$,$\because BG$,$DH$分别平分$∠ ABC$,$∠ ADC$,$\therefore ∠ CBG = ∠ CDH = 45^{\circ}$,$\therefore ∠ CHD = ∠ CBG = 45^{\circ}$,$\therefore BG// DH$.
(4)如图④,直线$MN$即为所求.
7. (2025·南京期中)在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°,点P在边BC上.
(1)如图①,当点P是BC的中点时,用直尺和圆规作出△ABC关于点P的对称的三角形(不写作法,保留作图痕迹);
(2)如图②,用直尺和圆规分别作出点P关于AB,AC的对称点P₁,P₂(不写作法,保留作图痕迹).连接AP,若AP=3,则点P₁与点P₂之间的距离为
(3)如图③,已知∠QPH=40°,将△ABC绕着点P按每秒20°的速度逆时针旋转一周.同时,射线PQ绕着点P按每秒10°的速度顺时针旋转(随△ABC旋转停止而停止),旋转过程中射线PH的位置不变.设旋转时间为t秒,当t为
(1)如图①,当点P是BC的中点时,用直尺和圆规作出△ABC关于点P的对称的三角形(不写作法,保留作图痕迹);
(2)如图②,用直尺和圆规分别作出点P关于AB,AC的对称点P₁,P₂(不写作法,保留作图痕迹).连接AP,若AP=3,则点P₁与点P₂之间的距离为
6
;(3)如图③,已知∠QPH=40°,将△ABC绕着点P按每秒20°的速度逆时针旋转一周.同时,射线PQ绕着点P按每秒10°的速度顺时针旋转(随△ABC旋转停止而停止),旋转过程中射线PH的位置不变.设旋转时间为t秒,当t为
$\frac{4}{5}$或$2$或$11$或$\frac{76}{5}$
秒时,射线PQ,PB与PH中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线.答案：
7. (1)如图①,$△ A'CB$即为所求.
(2)如图②,点$P_{1}$,$P_{2}$即为所求的点.
6 解析:如图③,$\because P_{1}$,$P_{2}$是点$P$关于$AB$,$AC$的对称点,$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$,$∠ 3 = ∠ 4$,$PA = P_{1}A = 3$,$PA = P_{2}A = 3$.$\because ∠ BAC = 90^{\circ}$,即$∠ 2 + ∠ 3 = 90^{\circ}$,$\therefore ∠ 1 + ∠ 4 = 90^{\circ}$,$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 180^{\circ}$,即$∠ P_{1}AP_{2} = 180^{\circ}$,$\therefore$点$P_{1}$,$P_{2}$与点$A$在同一条直线上,$\therefore P_{1}P_{2} = P_{1}A + P_{2}A = 3 + 3 = 6$.
(3)$\frac{4}{5}$或$2$或$11$或$\frac{76}{5}$ 解析:如图④,若$PB$平分$∠ QPH$,则$20t = \frac{1}{2}(40 - 10t)$,解得$t = \frac{4}{5}$;
如图⑤,若$PQ$平分$∠ BPH$,则$20t = 2(40 - 10t)$,解得$t = 2$;
如图⑥,若$PQ$平分$∠ BPH$,则$360 - 20t = 2(10t - 40)$,解得$t = 11$;
如图⑦,若$PB$平分$∠ QPH$,则$360 - 20t = \frac{1}{2}(10t - 40)$,解得$t = \frac{76}{5}$;
故$t$的值为$\frac{4}{5}$或$2$或$11$或$\frac{76}{5}$.
7. (1)如图①,$△ A'CB$即为所求.
(2)如图②,点$P_{1}$,$P_{2}$即为所求的点.
6 解析:如图③,$\because P_{1}$,$P_{2}$是点$P$关于$AB$,$AC$的对称点,$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$,$∠ 3 = ∠ 4$,$PA = P_{1}A = 3$,$PA = P_{2}A = 3$.$\because ∠ BAC = 90^{\circ}$,即$∠ 2 + ∠ 3 = 90^{\circ}$,$\therefore ∠ 1 + ∠ 4 = 90^{\circ}$,$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 180^{\circ}$,即$∠ P_{1}AP_{2} = 180^{\circ}$,$\therefore$点$P_{1}$,$P_{2}$与点$A$在同一条直线上,$\therefore P_{1}P_{2} = P_{1}A + P_{2}A = 3 + 3 = 6$.
(3)$\frac{4}{5}$或$2$或$11$或$\frac{76}{5}$ 解析:如图④,若$PB$平分$∠ QPH$,则$20t = \frac{1}{2}(40 - 10t)$,解得$t = \frac{4}{5}$;
如图⑤,若$PQ$平分$∠ BPH$,则$20t = 2(40 - 10t)$,解得$t = 2$;
如图⑥,若$PQ$平分$∠ BPH$,则$360 - 20t = 2(10t - 40)$,解得$t = 11$;
如图⑦,若$PB$平分$∠ QPH$,则$360 - 20t = \frac{1}{2}(10t - 40)$,解得$t = \frac{76}{5}$;
故$t$的值为$\frac{4}{5}$或$2$或$11$或$\frac{76}{5}$.