1. (2024·徐州期末)已知 $ x,y $ 满足 $ 2x + 3y = 1 $.
(1)用含有 $ x $ 的代数式表示 $ y $;
(2)若 $ y $ 满足 $ y ＞ 1 $,求 $ x $ 的取值范围;
(3)若 $ x,y $ 满足 $ x ＞ -1,y ≥ -\frac{1}{2} $,且 $ 2x - 3y = k $,求 $ k $ 的取值范围.
(1)用含有 $ x $ 的代数式表示 $ y $;
(2)若 $ y $ 满足 $ y ＞ 1 $,求 $ x $ 的取值范围;
(3)若 $ x,y $ 满足 $ x ＞ -1,y ≥ -\frac{1}{2} $,且 $ 2x - 3y = k $,求 $ k $ 的取值范围.
答案：1. (1)$y=\frac {1-2x}{3}.$
(2)$y=\frac {1-2x}{3}＞1$,解得$x＜-1$,即若 y 满足$y＞1$,则 x 的取值范围是$x＜-1.$
(3)联立$2x+3y=1$和$2x-3y=k$,得$\{\begin{array}{l} 2x+3y=1,\\ 2x-3y=k,\end{array} $解方程组得$\{\begin{array}{l} x=\frac {1+k}{4},\\ y=\frac {1-k}{6},\end{array} $由题意得$\{\begin{array}{l} \frac {1+k}{4}＞-1,\\ \frac {1-k}{6}≥-\frac {1}{2},\end{array} $解得$-5＜k≤4.$
(2)$y=\frac {1-2x}{3}＞1$,解得$x＜-1$,即若 y 满足$y＞1$,则 x 的取值范围是$x＜-1.$
(3)联立$2x+3y=1$和$2x-3y=k$,得$\{\begin{array}{l} 2x+3y=1,\\ 2x-3y=k,\end{array} $解方程组得$\{\begin{array}{l} x=\frac {1+k}{4},\\ y=\frac {1-k}{6},\end{array} $由题意得$\{\begin{array}{l} \frac {1+k}{4}＞-1,\\ \frac {1-k}{6}≥-\frac {1}{2},\end{array} $解得$-5＜k≤4.$
2. (2025·苏州期末)已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}x + y = -7 - m,\\x - y = 3m + 1.\end{cases} $
(1)求方程组的解(用含 $ m $ 的代数式表示).
(2)若方程组的解满足 $ x $ 为非正数,$ y $ 为负数,求 $ m $ 的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当 $ m $ 为何整数时,不等式 $ 2mx + x ＜ 2m + 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $?
(1)求方程组的解(用含 $ m $ 的代数式表示).
(2)若方程组的解满足 $ x $ 为非正数,$ y $ 为负数,求 $ m $ 的取值范围.
(3)在(2)的条件下,当 $ m $ 为何整数时,不等式 $ 2mx + x ＜ 2m + 1 $ 的解集为 $ x ＞ 1 $?
答案：2. (1)$\{\begin{array}{l} x+y=-7-m,①\\ x-y=3m+1,②\end{array} ①+②$,得$2x=2m-6,\therefore x=m-3,①-$②,得$2y=-4m-8,\therefore y=-2m-4$,故方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=m-3,\\ y=-2m-4.\end{array} $
(2)$\because x≤0,y＜0,\therefore \{\begin{array}{l} m-3≤0,\\ -2m-4＜0,\end{array} $解得$-2＜m≤3.$
(3)不等式$2mx+x＜2m+1$可化为$(2m+1)x＜2m+1$,
∵ 原不等式的解集是$x＞1,\therefore 2m+1＜0,\therefore m＜-\frac {1}{2}$.又$\because -2＜m≤3,$$\therefore -2＜m＜-\frac {1}{2}$.
∵ m 为整数,$\therefore m=-1.$
(2)$\because x≤0,y＜0,\therefore \{\begin{array}{l} m-3≤0,\\ -2m-4＜0,\end{array} $解得$-2＜m≤3.$
(3)不等式$2mx+x＜2m+1$可化为$(2m+1)x＜2m+1$,
∵ 原不等式的解集是$x＞1,\therefore 2m+1＜0,\therefore m＜-\frac {1}{2}$.又$\because -2＜m≤3,$$\therefore -2＜m＜-\frac {1}{2}$.
∵ m 为整数,$\therefore m=-1.$
3. (2025·淮安期末)小慧设计了一个如图所示的运算程序,程序每执行一次运算后按条件进行判断,然后输出结果或继续执行下一次运算.
(1)当 $ a = 2,k = 3,m = 15 $ 时.
①若输入 $ x = 3 $,则运算执行
②若输入 $ x $ 执行 $ 2 $ 次运算后输出的结果等于 $ 6x - 1 $,求 $ x $ 的值.
(2)当 $ a = -3 $ 时,若输入的 $ x $ 值能使程序进入无限循环,且每次执行运算的结果都相同,请求出输入的 $ x $ 值及 $ m $ 的取值范围.(用含 $ k $ 的代数式表示)
(1)当 $ a = 2,k = 3,m = 15 $ 时.
①若输入 $ x = 3 $,则运算执行
2
次后输出,输出结果为21
;②若输入 $ x $ 执行 $ 2 $ 次运算后输出的结果等于 $ 6x - 1 $,求 $ x $ 的值.
(2)当 $ a = -3 $ 时,若输入的 $ x $ 值能使程序进入无限循环,且每次执行运算的结果都相同,请求出输入的 $ x $ 值及 $ m $ 的取值范围.(用含 $ k $ 的代数式表示)
答案：3. (1)①2 21 解析:当$a=2,k=3,m=15$时,第1次:$3×2+$$3=9＜15$,第2次:$9×2+3=21＞15$,
∴ 若输入$x=3$,则运算执行2次后输出,输出结果为21.
②第1次:$2x+3$,第2次:$2(2x+3)+3=4x+9$,由题意得$4x+$$9=6x-1,\therefore x=5.$
(2)第1次:$-3x+k$,第2次:$-3(-3x+k)+k=9x-2k$,由题意得$-3x+k=9x-2k,-3x+k≤m$,解得$x=\frac {k}{4},m≥\frac {k}{4}.$
∴ 若输入$x=3$,则运算执行2次后输出,输出结果为21.
②第1次:$2x+3$,第2次:$2(2x+3)+3=4x+9$,由题意得$4x+$$9=6x-1,\therefore x=5.$
(2)第1次:$-3x+k$,第2次:$-3(-3x+k)+k=9x-2k$,由题意得$-3x+k=9x-2k,-3x+k≤m$,解得$x=\frac {k}{4},m≥\frac {k}{4}.$