4. (2025·南京期末)【探索发现】
(1)已知 $ x,y $ 满足 $ \begin{cases}9x - 11y = -1, & ①\\4x - 5y = 3. & ②\end{cases} $
①求 $ x - y $ 的值,小明、小红分别给出下列思路,请补全小红的思路.
小明：先解方程组，求出 $ x,y $ 的值，再代入 $ x - y $，计算求值。
小红：将① - ②×2，得 $ x - y = $。
②小明提出:小红的解法是巧合吗? 能求 $ 6x - 7y $ 的值吗? 请根据智能机器人的提示,先求 $ m,n $ 的值,再求 $ 6x - 7y $ 的值。
智能机器人：设 $ 6x - 7y = m(9x - 11y) + n(4x - 5y) $($ m,n $ 为常数)。
【解决问题】
(2)若 $ x,y $ 满足 $ \begin{cases}3x - 2y = t + 2,\\4x + 5y = 2t - 1,\end{cases}t $ 为常数且 $ -1 ≤ t ≤ 3 $,则 $ 6x + 19y $ 的取值范围是 ______ 。
(1)已知 $ x,y $ 满足 $ \begin{cases}9x - 11y = -1, & ①\\4x - 5y = 3. & ②\end{cases} $
①求 $ x - y $ 的值,小明、小红分别给出下列思路,请补全小红的思路.
小明：先解方程组，求出 $ x,y $ 的值，再代入 $ x - y $，计算求值。
小红：将① - ②×2，得 $ x - y = $。
②小明提出:小红的解法是巧合吗? 能求 $ 6x - 7y $ 的值吗? 请根据智能机器人的提示,先求 $ m,n $ 的值,再求 $ 6x - 7y $ 的值。
智能机器人：设 $ 6x - 7y = m(9x - 11y) + n(4x - 5y) $($ m,n $ 为常数)。
【解决问题】
(2)若 $ x,y $ 满足 $ \begin{cases}3x - 2y = t + 2,\\4x + 5y = 2t - 1,\end{cases}t $ 为常数且 $ -1 ≤ t ≤ 3 $,则 $ 6x + 19y $ 的取值范围是 ______ 。
答案：4. (1)①-7 解析:
∵ ②×2得$8x-10y=6$,则①-②×2,得$x-$$y=-7.$
②设$6x-7y=m(9x-11y)+n(4x-5y)=9mx-11my+4nx-$$5ny=(9m+4n)x-(11m+5n)y$,则$\{\begin{array}{l} 9m+4n=6,\\ 11m+5n=7,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=-3,\end{array} \therefore 6x-7y=2(9x-11y)-3(4x-5y)=2×(-1)-3×$$3=-11.$
(2)$-11≤6x+19y≤5$解析:设$6x+19y=n(3x-2y)+m(4x+$$5y)=3nx-2ny+4mx+5my=(3n+4m)x+(-2n+5m)y$,则$\{\begin{array}{l} 3n+4m=6,\\ -2n+5m=19,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} n=-2,\\ m=3,\end{array} \therefore 6x+19y=-2×(t+2)+3(2t-$$1)=4t-7.\because -1≤t≤3,\therefore -11≤4t-7≤5,\therefore 6x+19y$的取值范围是$-11≤6x+19y≤5.$
∵ ②×2得$8x-10y=6$,则①-②×2,得$x-$$y=-7.$
②设$6x-7y=m(9x-11y)+n(4x-5y)=9mx-11my+4nx-$$5ny=(9m+4n)x-(11m+5n)y$,则$\{\begin{array}{l} 9m+4n=6,\\ 11m+5n=7,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} m=2,\\ n=-3,\end{array} \therefore 6x-7y=2(9x-11y)-3(4x-5y)=2×(-1)-3×$$3=-11.$
(2)$-11≤6x+19y≤5$解析:设$6x+19y=n(3x-2y)+m(4x+$$5y)=3nx-2ny+4mx+5my=(3n+4m)x+(-2n+5m)y$,则$\{\begin{array}{l} 3n+4m=6,\\ -2n+5m=19,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} n=-2,\\ m=3,\end{array} \therefore 6x+19y=-2×(t+2)+3(2t-$$1)=4t-7.\because -1≤t≤3,\therefore -11≤4t-7≤5,\therefore 6x+19y$的取值范围是$-11≤6x+19y≤5.$
5. 如图,数轴上两点 $ A,B $ 对应的数分别是 $ -1,1 $,点 $ P $ 是线段 $ AB $ 上一动点,给出如下定义:如果在数轴上存在动点 $ Q $,满足 $ |PQ| = 2 $,那么我们把这样的点 $ Q $ 表示的数称为连动数,特别地,当点 $ Q $ 表示的数是整数时我们称为连动整数.
(1)在 $ -2.5,0,2,3.5 $ 四个数中,连动数有
(2)若 $ k $ 使得方程组 $ \begin{cases}3x + 2y = k + 1,\\4x + 3y = k - 1\end{cases} $ 中的 $ x,y $ 均为连动数,求 $ k $ 所有可能的取值;
(3)若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}\frac{2x - 6}{3} ＞ x - 3,\frac{x + 3}{2} ≤ x - a\end{cases} $ 的解集中恰好有 $ 4 $ 个连动整数,求这 $ 4 $ 个连动整数的值及 $ a $ 的取值范围.
(1)在 $ -2.5,0,2,3.5 $ 四个数中,连动数有
-2.5,2
;(直接写出结果)(2)若 $ k $ 使得方程组 $ \begin{cases}3x + 2y = k + 1,\\4x + 3y = k - 1\end{cases} $ 中的 $ x,y $ 均为连动数,求 $ k $ 所有可能的取值;
(3)若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}\frac{2x - 6}{3} ＞ x - 3,\frac{x + 3}{2} ≤ x - a\end{cases} $ 的解集中恰好有 $ 4 $ 个连动整数,求这 $ 4 $ 个连动整数的值及 $ a $ 的取值范围.
答案：5. (1)-2.5,2 解析:
∵ 点 P 是线段 AB 上一动点,点 A、点 B对应的数分别是-1,1.又$\because |PQ|=2$,
∴ 连动数 Q 的范围为$-3≤Q≤-1$或$1≤Q≤3$,
∴ 连动数有-2.5,2.
(2)$\{\begin{array}{l} 3x+2y=k+1,①\\ 4x+3y=k-1,②\end{array} ②×3-①×4$,得$y=-k-7,①×3-$$②×2$,得$x=k+5$,要使 x,y 均为连动数,则$-3≤x≤-1$或$1≤$$x≤3,-3≤y≤-1$或$1≤y≤3$,解得$-8≤k≤-6$或$-4≤$$k≤-2,-6≤k≤-4$或$-10≤k≤-8,\therefore k=-8$或-6或-4.
(3)$\{\begin{array}{l} \frac {2x-6}{3}＞x-3,\\ \frac {x+3}{2}≤x-a,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x＜3,\\ x≥2a+3.\end{array} $
∵ 解集中恰好有 4 个解是连动整数,
∴ 四个连动整数解为-2,-1,1,2.$\therefore -3＜2a+3≤-2,$$\therefore -3＜a≤-\frac {5}{2}$.
∴ a 的取值范围是$-3＜a≤-\frac {5}{2}.$
∵ 点 P 是线段 AB 上一动点,点 A、点 B对应的数分别是-1,1.又$\because |PQ|=2$,
∴ 连动数 Q 的范围为$-3≤Q≤-1$或$1≤Q≤3$,
∴ 连动数有-2.5,2.
(2)$\{\begin{array}{l} 3x+2y=k+1,①\\ 4x+3y=k-1,②\end{array} ②×3-①×4$,得$y=-k-7,①×3-$$②×2$,得$x=k+5$,要使 x,y 均为连动数,则$-3≤x≤-1$或$1≤$$x≤3,-3≤y≤-1$或$1≤y≤3$,解得$-8≤k≤-6$或$-4≤$$k≤-2,-6≤k≤-4$或$-10≤k≤-8,\therefore k=-8$或-6或-4.
(3)$\{\begin{array}{l} \frac {2x-6}{3}＞x-3,\\ \frac {x+3}{2}≤x-a,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x＜3,\\ x≥2a+3.\end{array} $
∵ 解集中恰好有 4 个解是连动整数,
∴ 四个连动整数解为-2,-1,1,2.$\therefore -3＜2a+3≤-2,$$\therefore -3＜a≤-\frac {5}{2}$.
∴ a 的取值范围是$-3＜a≤-\frac {5}{2}.$