1. 新趋势 项目式学习 根据如下素材,完成表中的两个任务.
答案：任务1:设打折前甲品牌粽子的售价为x元/盒,乙品牌粽子的售价为y元/盒,根据题意得$\{\begin{array}{l} 5x+5y=900,\\ 6×0.9x+4×0.8y=796,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=100,\\ y=80.\end{array} $答:打折前甲品牌粽子的售价为100元/盒,乙品牌粽子的售价为80元/盒.
任务2:设购买m盒甲品牌粽子,则购买$(50-m)$盒乙品牌粽子,根据题意得$100×0.9m+80×0.8(50-m)≤3500$,解得$m≤\frac {150}{13}$.又
∵m为正整数,
∴m的最大值为11.
答:最多可购买11盒甲品牌粽子.
任务2:设购买m盒甲品牌粽子,则购买$(50-m)$盒乙品牌粽子,根据题意得$100×0.9m+80×0.8(50-m)≤3500$,解得$m≤\frac {150}{13}$.又
∵m为正整数,
∴m的最大值为11.
答:最多可购买11盒甲品牌粽子.
2. (2025·南京期末)如图①，A，B 两地间的公路长 360 km，其中有一段长 10 km 的施工道路 MN，M 距离 A 地 200 km. 甲、乙两辆轿车分别从 A，B 两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 20 min. 在非施工道路(其限速情况如图②所示)，甲车始终以 100 km/h 的速度行驶，乙车始终以 V km/h 的速度行驶；在施工道路，两车均以 40 km/h 的速度行驶.
(1)若 $ V = 90 $.
① 甲车出发 2 h 时，甲车行至
② 甲车行至 MN 的中点时，乙车行驶的时间为
(2)已知两车在 P 处相遇.
① 若 P 与 N 重合，求 V 的值；
② 若 P 在非施工道路上(P 不与 M，N 重合)，直接写出 V 的取值范围.
(1)若 $ V = 90 $.
① 甲车出发 2 h 时，甲车行至
M
处，乙车行至N
处；(填“M”“N”或“MN 的中点”)② 甲车行至 MN 的中点时，乙车行驶的时间为
$\frac {43}{24}$
h.(2)已知两车在 P 处相遇.
① 若 P 与 N 重合，求 V 的值；
② 若 P 在非施工道路上(P 不与 M，N 重合)，直接写出 V 的取值范围.
答案：(1)①M N 解析:
∵依题意,$MA=200km,MN=10km,AB=360km$,
∴$NB=150km$.
∵甲车从A地出发,始终以100km/h的速度行驶,
∴甲车2h共行驶了$2×100=200(km)$,
∴甲车出发2h,行至M处.
∵乙车从B地出发,比甲车晚出发20min,即$\frac {1}{3}h$,以90km/h的速度行驶,
∴乙车共行驶了$90×(2-\frac {1}{3})=150(km)$,
∴乙车行至N处.
②$\frac {43}{24}$解析:甲车行至MN的中点时,所用时间为$\frac {200}{100}+\frac {10÷2}{40}=\frac {17}{8}(h)$,此时乙车行驶所用时间为$\frac {17}{8}-\frac {1}{3}=\frac {43}{24}(h)$.
(2)①两车在P处相遇,若P与N重合,则甲车所用时间为$\frac {200}{100}+\frac {10}{40}=\frac {9}{4}(h)$,此时乙车所用时间为$\frac {9}{4}-\frac {1}{3}=\frac {23}{12}(h)$,
∴乙车的速度为$V=150÷\frac {23}{12}=\frac {1800}{23}(km/h)$.
②$60≤V＜\frac {1800}{23}$或$\frac {1800}{17}＜V≤120$解析:P在非施工道路上(P不与M,N重合),若P在AM上,设甲车的行驶时间为t,则$0＜t＜2$,此时甲车行驶的路程为100t,乙车行驶的路程为$150+10+V(t-\frac {1}{3}-\frac {150}{V}-\frac {10}{40}),\therefore 100t+150+10+V(t-\frac {1}{3}-\frac {150}{V}-\frac {10}{40})=360,\therefore t=\frac {350+\frac {7}{12}V}{100+V},\therefore 0＜\frac {350+\frac {7}{12}V}{100+V}＜2$,解得$V＞\frac {1800}{17}$.
∵限速为$60≤V≤120,\therefore \frac {1800}{17}＜V≤120$.若P在NB上,设甲车的行驶时间为t,$\frac {360-10}{100}+\frac {10}{40}=\frac {15}{4}$,则$\frac {9}{4}＜t＜\frac {15}{4}$,此时甲车行驶的路程为$200+10+100(t-\frac {200}{100}-\frac {10}{40})$,乙车行驶的路程为$V(t-\frac {1}{3}),\therefore 200+10+100(t-\frac {200}{100}-\frac {10}{40})+V(t-\frac {1}{3})=360,\therefore t=\frac {375+\frac {1}{3}V}{100+V},\therefore \frac {9}{4}＜\frac {375+\frac {1}{3}V}{100+V}＜\frac {15}{4}$,解得$0＜V＜\frac {1800}{23}$.
∵限速为$60≤V≤120,\therefore 60≤V＜\frac {1800}{23}$.综上所述,$60≤V＜\frac {1800}{23}$或$\frac {1800}{17}＜V≤120$.
∵依题意,$MA=200km,MN=10km,AB=360km$,
∴$NB=150km$.
∵甲车从A地出发,始终以100km/h的速度行驶,
∴甲车2h共行驶了$2×100=200(km)$,
∴甲车出发2h,行至M处.
∵乙车从B地出发,比甲车晚出发20min,即$\frac {1}{3}h$,以90km/h的速度行驶,
∴乙车共行驶了$90×(2-\frac {1}{3})=150(km)$,
∴乙车行至N处.
②$\frac {43}{24}$解析:甲车行至MN的中点时,所用时间为$\frac {200}{100}+\frac {10÷2}{40}=\frac {17}{8}(h)$,此时乙车行驶所用时间为$\frac {17}{8}-\frac {1}{3}=\frac {43}{24}(h)$.
(2)①两车在P处相遇,若P与N重合,则甲车所用时间为$\frac {200}{100}+\frac {10}{40}=\frac {9}{4}(h)$,此时乙车所用时间为$\frac {9}{4}-\frac {1}{3}=\frac {23}{12}(h)$,
∴乙车的速度为$V=150÷\frac {23}{12}=\frac {1800}{23}(km/h)$.
②$60≤V＜\frac {1800}{23}$或$\frac {1800}{17}＜V≤120$解析:P在非施工道路上(P不与M,N重合),若P在AM上,设甲车的行驶时间为t,则$0＜t＜2$,此时甲车行驶的路程为100t,乙车行驶的路程为$150+10+V(t-\frac {1}{3}-\frac {150}{V}-\frac {10}{40}),\therefore 100t+150+10+V(t-\frac {1}{3}-\frac {150}{V}-\frac {10}{40})=360,\therefore t=\frac {350+\frac {7}{12}V}{100+V},\therefore 0＜\frac {350+\frac {7}{12}V}{100+V}＜2$,解得$V＞\frac {1800}{17}$.
∵限速为$60≤V≤120,\therefore \frac {1800}{17}＜V≤120$.若P在NB上,设甲车的行驶时间为t,$\frac {360-10}{100}+\frac {10}{40}=\frac {15}{4}$,则$\frac {9}{4}＜t＜\frac {15}{4}$,此时甲车行驶的路程为$200+10+100(t-\frac {200}{100}-\frac {10}{40})$,乙车行驶的路程为$V(t-\frac {1}{3}),\therefore 200+10+100(t-\frac {200}{100}-\frac {10}{40})+V(t-\frac {1}{3})=360,\therefore t=\frac {375+\frac {1}{3}V}{100+V},\therefore \frac {9}{4}＜\frac {375+\frac {1}{3}V}{100+V}＜\frac {15}{4}$,解得$0＜V＜\frac {1800}{23}$.
∵限速为$60≤V≤120,\therefore 60≤V＜\frac {1800}{23}$.综上所述,$60≤V＜\frac {1800}{23}$或$\frac {1800}{17}＜V≤120$.