3. (2024·连云港期末)某工厂准备用图甲所示的 A 型正方形板材和 B 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子.
(1)若该工厂准备用不超过 10000 元的资金去购买 A，B 两种型号的板材，并全部制作竖式箱子，已知 A 型板材每张 30 元，B 型板材每张 90 元，求最多可以制作竖式箱子多少个.
(2)① 若该工厂仓库里现有 A 型板材 65 张、B 型板材 110 张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完；
② 若该工厂新购得 78 张规格为 $ (3 × 3) $ m 的 C 型正方形板材，将其全部切割成 A 型或 B 型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于 25 个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共
(1)若该工厂准备用不超过 10000 元的资金去购买 A，B 两种型号的板材，并全部制作竖式箱子，已知 A 型板材每张 30 元，B 型板材每张 90 元，求最多可以制作竖式箱子多少个.
(2)① 若该工厂仓库里现有 A 型板材 65 张、B 型板材 110 张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少个，恰好将库存的板材用完；
② 若该工厂新购得 78 张规格为 $ (3 × 3) $ m 的 C 型正方形板材，将其全部切割成 A 型或 B 型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于 25 个，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共
56或58
个.答案：(1)设可制作竖式箱子x个,则需要A型板材x张,B型板材4x张,根据题意得$30x+90×4x≤10000$,解得$x≤25\frac {25}{39}$.
答:最多可以制作25个竖式箱子.
(2)①设制作竖式箱子a个,横式箱子b个,根据题意,得$\{\begin{array}{l} a+2b=65,\\ 4a+3b=110,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=30.\end{array} $
答:制作竖式箱子5个、横式箱子30个,恰好将库存的板材用完.
②56或58解析:设用m张C型板材切割成B型,则用$(78-m)$张C型板材切割成A型,设制作竖式箱子c个,横式箱子d个,由题意得$\{\begin{array}{l} c+2d=9(78-m),\\ 4c+3d=3m,\end{array} $整理得$13c+11d=78×9,\therefore c=\frac {78×9-11d}{13}=54-\frac {11d}{13}.\because c$,d都为整数,且$c≥25$,
∴d是13的整数倍,当$d=13$时,$c=54-11=43$,符合题意,此时,$c+d=56$;当$d=26$时,$c=54-11×2=32$,符合题意,此时,$c+d=58$;当$d=39$时,$c=54-11×3=21＜25$,不符合题意.综上,能制作两种箱子共56或58个.
答:最多可以制作25个竖式箱子.
(2)①设制作竖式箱子a个,横式箱子b个,根据题意,得$\{\begin{array}{l} a+2b=65,\\ 4a+3b=110,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=30.\end{array} $
答:制作竖式箱子5个、横式箱子30个,恰好将库存的板材用完.
②56或58解析:设用m张C型板材切割成B型,则用$(78-m)$张C型板材切割成A型,设制作竖式箱子c个,横式箱子d个,由题意得$\{\begin{array}{l} c+2d=9(78-m),\\ 4c+3d=3m,\end{array} $整理得$13c+11d=78×9,\therefore c=\frac {78×9-11d}{13}=54-\frac {11d}{13}.\because c$,d都为整数,且$c≥25$,
∴d是13的整数倍,当$d=13$时,$c=54-11=43$,符合题意,此时,$c+d=56$;当$d=26$时,$c=54-11×2=32$,符合题意,此时,$c+d=58$;当$d=39$时,$c=54-11×3=21＜25$,不符合题意.综上,能制作两种箱子共56或58个.
4. 商店购进每个 10 元的某种商品共 200 个，邮寄费和优惠率如下表：
(1)如果商店分两次购进，总计金额 1890 元，两次邮购商品各多少个？(列方程组解答)
(2)如果商店一次性购进该批商品，然后再售出. 已知该商品每个标价 13.5 元出售，若商店每个以 a 折出售且利润不低于 5%，那么最低可以打几折出售这批商品?
(1)如果商店分两次购进，总计金额 1890 元，两次邮购商品各多少个？(列方程组解答)
(2)如果商店一次性购进该批商品，然后再售出. 已知该商品每个标价 13.5 元出售，若商店每个以 a 折出售且利润不低于 5%，那么最低可以打几折出售这批商品?
答案：(1)$100×10×(1-10\% )×2=1800$(元)$≠1890$元,则两次邮购商品数量不同.设两次分别邮购商品x个、y个$(x＜y),\therefore x＜100,y＞100$.依据题意可得$\{\begin{array}{l} x+y=200,\\ 10×(1+5\% )x+10×(1-10\% )y=1890,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=60,\\ y=140.\end{array} $
答:两次分别邮购商品60个、140个.
(2)由题意可得$\frac {13.5×0.1×a-10×(1-10\% )}{10×(1-10\% )}≥5\% $,解得$a≥7$.
∴a的最小值为7.
答:最低可以打7折出售这批商品.
答:两次分别邮购商品60个、140个.
(2)由题意可得$\frac {13.5×0.1×a-10×(1-10\% )}{10×(1-10\% )}≥5\% $,解得$a≥7$.
∴a的最小值为7.
答:最低可以打7折出售这批商品.