9. 某校
A.$(2n + 1)$场
B.$(2n - 1)$场
C.$(2n - 3)$场
D.$(2n + 3)$场
组
织了一次篮球联赛，原计划共有$n$支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制(任意两支球队之间都要比赛一场)。若赛前有$2$支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少(C
)A.$(2n + 1)$场
B.$(2n - 1)$场
C.$(2n - 3)$场
D.$(2n + 3)$场
答案：9.C 解析:由题意可知,n支球队进行的场次为$\frac{n(n−1)}{2}=\frac{n²−n}{2}$,(n−2)支球队进行的场次为$\frac{(n−2)(n−3)}{2}=\frac{n²−5n+6}{2}$,则比赛总场数比原计划减少$\frac{n²−n}{2}-\frac{n²−5n+6}{2}=(2n−3)$场.故选C.
归纳总结 ①在n支球队中,若每两支球队之间互相比赛一场，则每一支球队均需比赛(n−1)场,同时因为每场比赛需要2支球队参加,所以一共需比赛$\frac{n(n−1)}{2}$场;
②某班级有n位同学，若每两个同学之间互相赠送一张贺卡，则每位同学均需赠送(n−1)张贺卡，因为每张贺卡均不同,所以一共需赠送n(n−1)张贺卡.
归纳总结 ①在n支球队中,若每两支球队之间互相比赛一场，则每一支球队均需比赛(n−1)场,同时因为每场比赛需要2支球队参加,所以一共需比赛$\frac{n(n−1)}{2}$场;
②某班级有n位同学，若每两个同学之间互相赠送一张贺卡，则每位同学均需赠送(n−1)张贺卡，因为每张贺卡均不同,所以一共需赠送n(n−1)张贺卡.
10. 甲、乙两人同时计算一道整式乘法：$(x + a)·(2x + b)$，由于甲抄错了$a$的符号，得到的结果是$2x^{2} - 7x + 3$，乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果是$x^{2} + 2x - 3$。则$(- 2a + b)(a + b)$的值为
−14
。答案：10.−14解析:由题意得(x−a)(2x+b)=2x²+(−2a+b)x−ab=2x²−7x+3,所以−2a+b=−7.因为(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab=x²+2x−3,所以a+b=2,所以(−2a+b)(a+b)=−7×2=−14.
解析：
由题意得：
甲抄错$a$的符号，计算$(x - a)(2x + b)$，展开得$2x^2 + (-2a + b)x - ab = 2x^2 - 7x + 3$，所以$-2a + b = -7$；
乙漏抄第二个多项式中$x$的系数，计算$(x + a)(x + b)$，展开得$x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + 2x - 3$，所以$a + b = 2$；
则$(-2a + b)(a + b) = -7×2 = -14$。
$-14$
甲抄错$a$的符号，计算$(x - a)(2x + b)$，展开得$2x^2 + (-2a + b)x - ab = 2x^2 - 7x + 3$，所以$-2a + b = -7$；
乙漏抄第二个多项式中$x$的系数，计算$(x + a)(x + b)$，展开得$x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + 2x - 3$，所以$a + b = 2$；
则$(-2a + b)(a + b) = -7×2 = -14$。
$-14$
11. 一题多变(1)已知$x + y = 2$，且$(x - 2)(y - 2) = - 3$，则$xy$的值为
(2)若$a^{2} + a - 3 = 0$，则$a^{2}(a + 4)$的值为
(3)已知$x^{2} - 8x - 3 = 0$，则$(x - 1)(x - 3)(x - 5)·(x - 7) =$
−3
；(2)若$a^{2} + a - 3 = 0$，则$a^{2}(a + 4)$的值为
9
；(3)已知$x^{2} - 8x - 3 = 0$，则$(x - 1)(x - 3)(x - 5)·(x - 7) =$
180
。答案：11.(1)−3解析:因为x+y=2,(x−2)(y−2)=xy−2(x+y)+4=−3,所以xy−2×2+4=−3,解得xy=−3.
(2)9 解析:因为a²+a−3=0,所以a²=3−a,a²+a=3,所以a²(a+4)=(3−a)(a+4)=12−a−a²=12−(a²+a)=12−3=9.
(3)180 解析:因为x²−8x−3=0,所以x²−8x=3,则(x−1)(x−3)(x−5)(x−7)=(x−1)(x−7)(x−3)(x−5)=(x²−8x+7)(x²−8x+15),把x²−8x=3代入,得原式=(3+7)×(3+15)=180.
(2)9 解析:因为a²+a−3=0,所以a²=3−a,a²+a=3,所以a²(a+4)=(3−a)(a+4)=12−a−a²=12−(a²+a)=12−3=9.
(3)180 解析:因为x²−8x−3=0,所以x²−8x=3,则(x−1)(x−3)(x−5)(x−7)=(x−1)(x−7)(x−3)(x−5)=(x²−8x+7)(x²−8x+15),把x²−8x=3代入,得原式=(3+7)×(3+15)=180.
12. 在计算$(2x + a)(x + b)$时，甲错把$b$看成了$6$，得到结果是$2x^{2} + 8x - 24$；乙错把$a$看成了$- a$，得到结果是$2x^{2} + 14x + 20$。
(1)求出$a$，$b$的值；
(2)在(1)的条件下，计算$(2x + a)(x + b)$的结果。
(1)求出$a$，$b$的值；
(2)在(1)的条件下，计算$(2x + a)(x + b)$的结果。
答案：12.(1)甲错把b看成了6,所以(2x+a)(x+6)=2x²+12x+ax+6a=2x²+(12+a)x+6a=2x²+8x−24,所以12+a=8,6a=−24,解得a=−4.
乙错把a看成了−a,所以(2x−a)(x+b)=2x²+2bx−ax−ab=2x²+(2b−a)x−ab=2x²+14x+20,所以2b−a=14,−ab=20.把a=−4代入,解得b=5.
(2)当a=−4,b=5时,(2x+a)(x+b)=(2x−4)(x+5)=2x²+10x−4x−20=2x²+6x−20.
乙错把a看成了−a,所以(2x−a)(x+b)=2x²+2bx−ax−ab=2x²+(2b−a)x−ab=2x²+14x+20,所以2b−a=14,−ab=20.把a=−4代入,解得b=5.
(2)当a=−4,b=5时,(2x+a)(x+b)=(2x−4)(x+5)=2x²+10x−4x−20=2x²+6x−20.
13. (2025·泰州校级月考)一个正方形边长为$m + 4$($m$为常数且$m ＞ 0$)，记它的面积为$S_{1}$，将这个正方形的一组邻边长分别增加$2$和减少$2$，得到一个长方形，记该长方形的面积记为$S_{2}$。
(1)求$S_{2}$(用含$m$的代数式表示)。
(2)小丽说无论$m$为何值，$S_{1}$和$S_{2}$的差都不变，你同意她的说法吗？为什么？
(3)将原正方形的边长减少$1$，得到一个新的正方形，记它的面积为$S_{3}$，若存在常数$a$，使得不论$m$为何值，$S_{2} - S_{3} - am$始终是一个定值，求$a$的值。
(1)求$S_{2}$(用含$m$的代数式表示)。
(2)小丽说无论$m$为何值，$S_{1}$和$S_{2}$的差都不变，你同意她的说法吗？为什么？
(3)将原正方形的边长减少$1$，得到一个新的正方形，记它的面积为$S_{3}$，若存在常数$a$，使得不论$m$为何值，$S_{2} - S_{3} - am$始终是一个定值，求$a$的值。
答案：13.(1)得到的长方形的两边长分别为m+4+2=m+6,m+4−2=m+2,所以S₂=(m+6)(m+2)=m²+8m+12.
(2)同意.理由:S₁−S₂=(m+4)(m+4)−m²−8m−12=m²+8m+16−m²−8m−12=4,所以无论m为何值,S₁与S₂的差都不变.
(3)因为S₃=(m+4−1)²=(m+3)²=m²+3m+3m+9=m²+6m+9,所以S₂−S₃−am=m²+8m+12−m²−6m−9−am=(2−a)m+3.因为不论m为何值,S₂−S₃−am始终是一个定值,所以2−a=0,解得a=2.
技法点拨 “定值”表示的意思是“值恒定不变”，在解决定值问题时需要将非常量的字母整合到一起，然后消去非常量的字母使得值恒定不变.
(2)同意.理由:S₁−S₂=(m+4)(m+4)−m²−8m−12=m²+8m+16−m²−8m−12=4,所以无论m为何值,S₁与S₂的差都不变.
(3)因为S₃=(m+4−1)²=(m+3)²=m²+3m+3m+9=m²+6m+9,所以S₂−S₃−am=m²+8m+12−m²−6m−9−am=(2−a)m+3.因为不论m为何值,S₂−S₃−am始终是一个定值,所以2−a=0,解得a=2.
技法点拨 “定值”表示的意思是“值恒定不变”，在解决定值问题时需要将非常量的字母整合到一起，然后消去非常量的字母使得值恒定不变.