1. (兰州中考)计算$(x + 2y)^2 =$ (
A.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B.$x^2 + 2xy + 4y^2$
C.$x^2 + 4xy + 2y^2$
D.$x^2 + 4y^2$
A
)A.$x^2 + 4xy + 4y^2$
B.$x^2 + 2xy + 4y^2$
C.$x^2 + 4xy + 2y^2$
D.$x^2 + 4y^2$
答案：1. A 解析：原式 $ = x^{2} + 2 · x · 2y + (2y)^{2} = x^{2} + 4xy + 4y^{2} $。故选 A。
2. 下列各式中能用完全平方公式计算的是(
A.$(-x + 2)(x + 2)$
B.$(-3 - x)(x + 3)$
C.$(2x - y)(2x + y)$
D.$(-2x - y)(-2x + y)$
B
)A.$(-x + 2)(x + 2)$
B.$(-3 - x)(x + 3)$
C.$(2x - y)(2x + y)$
D.$(-2x - y)(-2x + y)$
答案：2. B 解析：因为 $ (-x + 2)(x + 2) = -(x - 2)(x + 2) $，不能用完全平方公式计算，所以选项 A 不符合题意；因为 $ (-3 - x)(x + 3) = -(x + 3)^{2} $，所以选项 B 符合题意；因为 $ (2x - y)(2x + y) $ 不能用完全平方公式计算，所以选项 C 不符合题意；因为 $ (-2x - y)(-2x + y) = -(y + 2x)(y - 2x) $，不能用完全平方公式计算，所以选项 D 不符合题意。故选 B。
3. (2025·徐州期中)下列各式中与$2ab - a^2 - b^2$相等的是 (
A.$-(a - b)^2$
B.$-(a + b)^2$
C.$(-a - b)^2$
D.$(-a + b)^2$
A
)A.$-(a - b)^2$
B.$-(a + b)^2$
C.$(-a - b)^2$
D.$(-a + b)^2$
答案：3. A 解析：$ -(a - b)^{2} = -(a^{2} - 2ab + b^{2}) = 2ab - a^{2} - b^{2} $。故选 A。
4. 教材变式 填空：
(1) $[5a -$$(\_\_\_\_\_\_)]^2 = 25a^2 - 20ab + 4b^2$；
(2) $[2x +\_\_\_\_\_\_(\_\_\_\_\_\_)]^2 = 4x^2 - \frac{4}{3}x +\_\_\_\_\_\_(\_\_\_\_\_\_)$。
(1) $[5a -$$(\_\_\_\_\_\_)]^2 = 25a^2 - 20ab + 4b^2$；
(2) $[2x +\_\_\_\_\_\_(\_\_\_\_\_\_)]^2 = 4x^2 - \frac{4}{3}x +\_\_\_\_\_\_(\_\_\_\_\_\_)$。
答案：4. (1) $ 2b $ (2) $ -\frac{1}{3} $ $ \frac{1}{9} $
解析：
(1) $2b$
(2) $-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$
(2) $-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{9}$
5. 利用完全平方公式进行简便运算：
(1) $101^2 = (\_\_\_\_\_\_$
(2) $9.8^2 = (\_\_\_\_\_\_$
(1) $101^2 = (\_\_\_\_\_\_$
$100$
$+$$1$
$\_\_\_\_\_\_)^2 =$$10201$
$\_\_\_\_\_\_$；(2) $9.8^2 = (\_\_\_\_\_\_$
$10$
$-$$0.2$
$\_\_\_\_\_\_)^2 =$$96.04$
$\_\_\_\_\_\_$。答案：5. (1) $ 100 $ $ 1 $ $ 10201 $ (2) $ 10 $ $ 0.2 $ $ 96.04 $
6. 已知$(x + y)^2 =$$49$，$(x - y)^2 = 25$，则$xy = \_\_\_\_\_\_$。
答案：6. $ 6 $ 解析：因为 $ (x + y)^{2} = 49 $，所以 $ x^{2} + 2xy + y^{2} = 49 $ ①。因为 $ (x - y)^{2} = 25 $，所以 $ x^{2} - 2xy + y^{2} = 25 $ ②。① - ②，得 $ 4xy = 24 $，所以 $ xy = 6 $。
7. 计算：
(1) $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^2$；
(2) $(-3x - \frac{1}{2}y)^2$；
(3) $(4m + 5n)(-4m - 5n)$；
(4) $(\frac{1}{4}x^{n + 2} + 4y^{n - 2})^2$；
(5) $(a + 2b - 1)^2$。
(1) $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^2$；
(2) $(-3x - \frac{1}{2}y)^2$；
(3) $(4m + 5n)(-4m - 5n)$；
(4) $(\frac{1}{4}x^{n + 2} + 4y^{n - 2})^2$；
(5) $(a + 2b - 1)^2$。
答案：7. (1) 原式 $ = \frac{1}{4}a^{2} - \frac{1}{3}ab + \frac{1}{9}b^{2} $。
(2) 原式 $ = ( 3x + \frac{1}{2}y )^{2} = 9x^{2} + 3xy + \frac{1}{4}y^{2} $。
(3) 原式 $ = -(4m + 5n)^{2} = -16m^{2} - 40mn - 25n^{2} $。
(4) 原式 $ = ( \frac{1}{4}x^{n + 2} )^{2} + 2x^{n + 2}y^{n - 2} + (4y^{n - 2})^{2} = \frac{1}{16}x^{2n + 4} + 2x^{n + 2} · y^{n - 2} + 16y^{2n - 4} $。
(5) 原式 $ = (a + 2b)^{2} - 2(a + 2b) + 1 = a^{2} - 2a + 1 + 4ab - 4b + 4b^{2} $。
(2) 原式 $ = ( 3x + \frac{1}{2}y )^{2} = 9x^{2} + 3xy + \frac{1}{4}y^{2} $。
(3) 原式 $ = -(4m + 5n)^{2} = -16m^{2} - 40mn - 25n^{2} $。
(4) 原式 $ = ( \frac{1}{4}x^{n + 2} )^{2} + 2x^{n + 2}y^{n - 2} + (4y^{n - 2})^{2} = \frac{1}{16}x^{2n + 4} + 2x^{n + 2} · y^{n - 2} + 16y^{2n - 4} $。
(5) 原式 $ = (a + 2b)^{2} - 2(a + 2b) + 1 = a^{2} - 2a + 1 + 4ab - 4b + 4b^{2} $。
8. (2025·杭州期末)如图，正方形$ABCD$与正方形$CEFH$的面积和为$58$，点$C$在线段$BE$上，点$H$在线段$CD$上，延长$FH$交$AB$于点$G$。若$BE = 10$，则长方形$BCHG$的面积为 (
A.$21$
B.$24$
C.$34$
D.$42$
A
)A.$21$
B.$24$
C.$34$
D.$42$
答案：8. A 解析：设正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ a $，正方形 $ CEFH $ 的边长为 $ b $，则 $ a^{2} + b^{2} = 58 $。因为 $ BE = 10 $，所以 $ a + b = 10 $ 所以 $ (a + b)^{2} - 2ab = 58 $，即 $ 10^{2} - 2ab = 58 $，所以 $ ab = 21 $，所以长方形 $ BCHG $ 的面积为 $ ab = 21 $。故选 A。
9. 新题型 新定义 定义：形如$a + bi$的数称为复数(其中$a$和$b$为有理数，$i$为虚数单位，规定$i^2 = -1$)，$a$称为复数的实部，$b$称为复数的虚部。复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数。例如$(1 + 3i)^2 = 1^2 + 2×1×3i + (3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i$，因此，$(1 + 3i)^2$的实部是$-8$，虚部是$6$。已知复数$(3 - mi)^2$的虚部是$12$，则实部是 (
A.$-6$
B.$6$
C.$5$
D.$-5$
C
)A.$-6$
B.$6$
C.$5$
D.$-5$
答案：9. C 解析：因为 $ (3 - mi)^{2} = 3^{2} - 2 × 3 × mi + (mi)^{2} = 9 - 6mi + m^{2}i^{2} = 9 - m^{2} - 6mi $，所以复数 $ (3 - mi)^{2} $ 的实部是 $ 9 - m^{2} $，虚部是 $ -6m $，所以 $ -6m = 12 $，所以 $ m = -2 $，所以 $ 9 - m^{2} = 9 - (-2)^{2} = 9 - 4 = 5 $。故选 C。
10. 一题多变 我们把形如$a^2 ± 2ab + b^2$的式子叫完全平方式。
(1) 二次三项式$x^2 + 7x + n$是完全平方式，则$n$的值是
(2) 若多项式$4x^2 - kxy + 9y^2$是完全平方式，则$k$的值是
(3) 关于$x$的二次三项式$x^2 + (a - 1)x + \frac{1}{4}$是完全平方式，则$a$的值是
(1) 二次三项式$x^2 + 7x + n$是完全平方式，则$n$的值是
$\frac{49}{4}$
；(2) 若多项式$4x^2 - kxy + 9y^2$是完全平方式，则$k$的值是
$\pm 12$
；(3) 关于$x$的二次三项式$x^2 + (a - 1)x + \frac{1}{4}$是完全平方式，则$a$的值是
$0$或$2$
。答案：10. (1) $ \frac{49}{4} $ 解析：因为二次三项式 $ x^{2} + 7x + n $ 是完全平方式，所以 $ n = ( \frac{7}{2} )^{2} = \frac{49}{4} $。
(2) $ \pm 12 $ 解析：因为多项式 $ 4x^{2} - kxy + 9y^{2} $ 是完全平方式，所以 $ k = \pm (2 × 2 × 3) = \pm 12 $。
(3) $ 0 $ 或 $ 2 $ 解析：因为关于 $ x $ 的二次三项式 $ x^{2} + (a - 1)x + \frac{1}{4} $ 是完全平方式，所以 $ a - 1 = \pm ( 2 × 1 × \frac{1}{2} ) = \pm 1 $，所以 $ a = 2 $ 或 $ a = 0 $。
(2) $ \pm 12 $ 解析：因为多项式 $ 4x^{2} - kxy + 9y^{2} $ 是完全平方式，所以 $ k = \pm (2 × 2 × 3) = \pm 12 $。
(3) $ 0 $ 或 $ 2 $ 解析：因为关于 $ x $ 的二次三项式 $ x^{2} + (a - 1)x + \frac{1}{4} $ 是完全平方式，所以 $ a - 1 = \pm ( 2 × 1 × \frac{1}{2} ) = \pm 1 $，所以 $ a = 2 $ 或 $ a = 0 $。