13. 用简便方法计算下列各题：
(1)$0.04^{2025}×[(-5)^{2025}]^{2}$；
(2)$(2\frac{2}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{13}×(\frac{1}{2})^{12}$；
(3)$0.125^{3}×0.25^{3}×2^{6}×2^{12}$。
(1)$0.04^{2025}×[(-5)^{2025}]^{2}$；
(2)$(2\frac{2}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{13}×(\frac{1}{2})^{12}$；
(3)$0.125^{3}×0.25^{3}×2^{6}×2^{12}$。
答案：13. (1)原式$=0.04^{2025}×[(-5)^{2}]^{2025}=0.04^{2025}×25^{2025}=(0.04×25)^{2025}=1^{2025}=1$.
(2)原式$=(-\dfrac{12}{5}×\dfrac{5}{6}×\dfrac{1}{2})^{11}×\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{5}{6})^{2}=-1×\dfrac{1}{2}×\dfrac{25}{36}=-\dfrac{25}{72}$.
(3)原式$=0.125^{3}×0.25^{3}×4^{3}×16^{3}=(0.125×0.25×4×16)^{3}=2^{3}=8$.
(2)原式$=(-\dfrac{12}{5}×\dfrac{5}{6}×\dfrac{1}{2})^{11}×\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{5}{6})^{2}=-1×\dfrac{1}{2}×\dfrac{25}{36}=-\dfrac{25}{72}$.
(3)原式$=0.125^{3}×0.25^{3}×4^{3}×16^{3}=(0.125×0.25×4×16)^{3}=2^{3}=8$.
14. (1)已知等式$6^{x + 1}×5^{x}-6^{x}×5^{x + 1}=3^{3}×10^{3}$，求$x$的值；
(2)已知$(9a^{2})^{3}×(\frac{1}{3})^{8}=4$，求$a^{3}$的值。
(2)已知$(9a^{2})^{3}×(\frac{1}{3})^{8}=4$，求$a^{3}$的值。
答案：14. (1)因为$6^{x+1}×5^{x}-6^{x}×5^{x+1}=6^{x}×5^{x}×6-6^{x}×5^{x}×5=(6×5)^{x}×6-(6×5)^{x}×5=30^{x}×6-30^{x}×5=30^{x}(6-5)=30^{x}$，$3^{3}×10^{3}=(3×10)^{3}=30^{3}$. 因为$6^{x+1}×5^{x}-6^{x}×5^{x+1}=3^{3}×10^{3}$，所以$30^{x}=30^{3}$，所以$x=3$.
(2)因为$(9a^{2})^{3}×(\dfrac{1}{3})^{8}=4$，所以$3^{6}×(a^{3})^{2}×(\dfrac{1}{3})^{8}=4$，所以$3^{6}×(\dfrac{1}{3})^{6}×(a^{3})^{2}×(\dfrac{1}{3})^{2}=(3×\dfrac{1}{3})^{6}×(a^{3})^{2}×(\dfrac{1}{3})^{2}=4$，所以$(a^{3})^{2}×\dfrac{1}{9}=4$，所以$(a^{3})^{2}=36$，所以$a^{3}=\pm 6$.
(2)因为$(9a^{2})^{3}×(\dfrac{1}{3})^{8}=4$，所以$3^{6}×(a^{3})^{2}×(\dfrac{1}{3})^{8}=4$，所以$3^{6}×(\dfrac{1}{3})^{6}×(a^{3})^{2}×(\dfrac{1}{3})^{2}=(3×\dfrac{1}{3})^{6}×(a^{3})^{2}×(\dfrac{1}{3})^{2}=4$，所以$(a^{3})^{2}×\dfrac{1}{9}=4$，所以$(a^{3})^{2}=36$，所以$a^{3}=\pm 6$.
15. (1)若$a^{5}=2$，$b^{5}=3$，$c^{5}=72$，则$a$，$b$，$c$之间的数量关系为
(2)若$m^{x}=2025$，$n^{y}=2025$，且$mn = 2025$，则$\frac{x + y}{xy}$的值是
$c=a^{3}b^{2}$
；(2)若$m^{x}=2025$，$n^{y}=2025$，且$mn = 2025$，则$\frac{x + y}{xy}$的值是
1
。答案：15. (1)$c=a^{3}b^{2}$(合理即可) 解析：因为$c^{5}=72=8×9=2^{3}×3^{2}=(a^{5})^{3}· (b^{5})^{2}=(a^{3}b^{2})^{5}$，所以$c=a^{3}b^{2}$.
(2)1 解析：因为$2025^{x+y}=2025^{x}×2025^{y}=(n^{y})^{x}· (m^{x})^{y}=(mn)^{xy}=2025^{xy}$，所以$x+y=xy$，所以$\dfrac{x+y}{xy}=1$.
(2)1 解析：因为$2025^{x+y}=2025^{x}×2025^{y}=(n^{y})^{x}· (m^{x})^{y}=(mn)^{xy}=2025^{xy}$，所以$x+y=xy$，所以$\dfrac{x+y}{xy}=1$.
16. 新趋势 代数推理 $5^{2}×3^{2n + 1}×2^{n}-3^{n}×6^{n + 2}$（$n$为正整数）能否被13整除？并说明理由。
答案：16. 能被 13 整除. 理由如下：$5^{2}×3^{2n+1}×2^{n}-3^{n}×6^{n+2}$
$=5^{2}×3^{1}×3^{n}×3^{n}×2^{n}-3^{n}×6^{2}×6^{n}$
$=75×3^{n}×2^{n}×3^{n}-36×3^{n}×6^{n}$
$=75×(3×2)^{n}×3^{n}-36×3^{n}×6^{n}$
$=(75-36)×3^{n}×6^{n}$
$=39×3^{n}×6^{n}$，
因为 39 能被 13 整除，所以$5^{2}×3^{2n+1}×2^{n}-3^{n}×6^{n+2}$(n 为正整数)能被 13 整除.
技法点拨 要说明代数式能被某数整除，一般要把被除数(式)分解成含有该数(或其倍数)的乘积的形式，在这种情况下运用幂的运算性质.
$=5^{2}×3^{1}×3^{n}×3^{n}×2^{n}-3^{n}×6^{2}×6^{n}$
$=75×3^{n}×2^{n}×3^{n}-36×3^{n}×6^{n}$
$=75×(3×2)^{n}×3^{n}-36×3^{n}×6^{n}$
$=(75-36)×3^{n}×6^{n}$
$=39×3^{n}×6^{n}$，
因为 39 能被 13 整除，所以$5^{2}×3^{2n+1}×2^{n}-3^{n}×6^{n+2}$(n 为正整数)能被 13 整除.
技法点拨 要说明代数式能被某数整除，一般要把被除数(式)分解成含有该数(或其倍数)的乘积的形式，在这种情况下运用幂的运算性质.
17. 改编题 观察并验证下列等式：
$1^{3}+2^{3}=(1 + 2)^{2}=9$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}=(1 + 2 + 3)^{2}=36$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=(1 + 2 + 3 + 4)^{2}=100$
(1)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}$的值为
(2)已知$1 + 2 + 3 + ··· + n=\frac{1}{2}n(n + 1)$，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+··· + n^{3}=$
(3)利用上述结论计算：$1.2^{3}+1.4^{3}+1.6^{3}+1.8^{3}+2^{3}$。
$1^{3}+2^{3}=(1 + 2)^{2}=9$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}=(1 + 2 + 3)^{2}=36$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=(1 + 2 + 3 + 4)^{2}=100$
(1)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}$的值为
225
；(2)已知$1 + 2 + 3 + ··· + n=\frac{1}{2}n(n + 1)$，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+··· + n^{3}=$
$\dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$
；(结果用代数式乘积表示)(3)利用上述结论计算：$1.2^{3}+1.4^{3}+1.6^{3}+1.8^{3}+2^{3}$。
答案：17. (1)225 解析：由题意，得$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=(1+2+3+4+5)^{2}=15^{2}=225$.
(2)$\dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$ 解析：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+n^{3}=(1+2+3+…+n)^{2}=\dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$.
(3)$1.2^{3}+1.4^{3}+1.6^{3}+1.8^{3}+2^{3}=(0.2×6)^{3}+(0.2×7)^{3}+(0.2×8)^{3}+(0.2×9)^{3}+(0.2×10)^{3}=0.2^{3}×(6^{3}+7^{3}+8^{3}+9^{3}+10^{3})$.
因为$1^{3}+2^{3}+…+9^{3}+10^{3}=(\dfrac{1}{2}×10×11)^{2}=55^{2}$，$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}$，所以$0.2^{3}×(6^{3}+7^{3}+8^{3}+9^{3}+10^{3})=0.2^{3}×(55^{2}-15^{2})=0.2^{3}×2800=22.4$.
(2)$\dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$ 解析：$1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+n^{3}=(1+2+3+…+n)^{2}=\dfrac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$.
(3)$1.2^{3}+1.4^{3}+1.6^{3}+1.8^{3}+2^{3}=(0.2×6)^{3}+(0.2×7)^{3}+(0.2×8)^{3}+(0.2×9)^{3}+(0.2×10)^{3}=0.2^{3}×(6^{3}+7^{3}+8^{3}+9^{3}+10^{3})$.
因为$1^{3}+2^{3}+…+9^{3}+10^{3}=(\dfrac{1}{2}×10×11)^{2}=55^{2}$，$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}$，所以$0.2^{3}×(6^{3}+7^{3}+8^{3}+9^{3}+10^{3})=0.2^{3}×(55^{2}-15^{2})=0.2^{3}×2800=22.4$.