1. (2025·镇江期中)如图,已知点 P 为△ABC 边 AC 上一点,请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线。(保留作图痕迹,不写作法)
(1)如图①,作一条直线 l,使得点 B 关于 l 的对称点为 P。
(2)如图②,作一条过点 C 的直线 m,使得点 P 关于 m 的对称点落在 BC 上。
(1)如图①,作一条直线 l,使得点 B 关于 l 的对称点为 P。
(2)如图②,作一条过点 C 的直线 m,使得点 P 关于 m 的对称点落在 BC 上。
答案：
1. (1)如图①,直线 l 即为所求. 解析:如图①,连接 BP,作线段 BP 的垂直平分线 l,则直线 l 即为所求.
(2)如图②,直线 m 即为所求. 解析:如图②,作∠ACB 的平分线,则∠ACB 的平分线所在的直线 m 即为所求.
1. (1)如图①,直线 l 即为所求. 解析:如图①,连接 BP,作线段 BP 的垂直平分线 l,则直线 l 即为所求.
(2)如图②,直线 m 即为所求. 解析:如图②,作∠ACB 的平分线,则∠ACB 的平分线所在的直线 m 即为所求.
2. (2025·南京期末)如图,已知△ABC 是轴对称图形,AB=BC,D 是 AB 上一点。用直尺和圆规按下列要求作图。(保留作图痕迹,不写作法)
(1)作△ABC 的对称轴 m;
(2)过点 D 作一条直线 n,与 BC 交于点 E,使∠BDE=$\frac{1}{2}$∠A。
(1)作△ABC 的对称轴 m;
(2)过点 D 作一条直线 n,与 BC 交于点 E,使∠BDE=$\frac{1}{2}$∠A。
答案：
2. (1)如图①,直线 m 即为所求. 解析:如图①,作线段 AC 的垂直平分线 m,则直线 m 即为所求.
(2)如图②,直线 n 即为所求. 解析:如图②,先作∠BAC 的平分线 AF,再在 BD 的下方作∠BDE = ∠BAF,交 BC 于点 E,作 DE 所在的直线 n,则直线 n 即为所求.
2. (1)如图①,直线 m 即为所求. 解析:如图①,作线段 AC 的垂直平分线 m,则直线 m 即为所求.
(2)如图②,直线 n 即为所求. 解析:如图②,先作∠BAC 的平分线 AF,再在 BD 的下方作∠BDE = ∠BAF,交 BC 于点 E,作 DE 所在的直线 n,则直线 n 即为所求.
3. (2025·淮安校级月考)如图,在△ABC 中,点 D 是 AB 的中点,AC＜BC。试用无刻度的直尺和圆规,在 BC 上作一点 E,使得直线 ED 平分△ABC 的周长。(不要求写作法,但要保留作图痕迹)
答案：
3. 如图所示.
解析:延长 BC,以点 C 为圆心,AC 长为半径画弧交 BC 的延长线于点 A',作线段 A'B 的垂直平分线,交 BC 于点 E,连接 DE,点 E 为所求.根据作图可知,AC = CA',BE = EA',BD = AD,所以 BE + BD = EA' + AD = EC + AC + AD,即直线 ED 平分△ABC 的周长.
3. 如图所示.
解析:延长 BC,以点 C 为圆心,AC 长为半径画弧交 BC 的延长线于点 A',作线段 A'B 的垂直平分线,交 BC 于点 E,连接 DE,点 E 为所求.根据作图可知,AC = CA',BE = EA',BD = AD,所以 BE + BD = EA' + AD = EC + AC + AD,即直线 ED 平分△ABC 的周长.
4. (2025·镇江期末)图①是由两张大小相同的正方形纸片摆放成的一幅美丽的图案,它既是轴对称图形又是中心对称图形。请在图②中再画出一个正方形,使它们组成与图①形状相同的图案。(要求:用无刻度的直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法)
答案：
4. 如图所示.
解析:先作正方形相邻两边的垂直平分线,然后再以垂直平分线的交点为圆心,对角线长度的一半为半径画弧,与两条垂直平分线交于四个点,依次连接即为所求图形.
4. 如图所示.
解析:先作正方形相邻两边的垂直平分线,然后再以垂直平分线的交点为圆心,对角线长度的一半为半径画弧,与两条垂直平分线交于四个点,依次连接即为所求图形.
5. 为切实保障居民用气安全,某地开展天然气设施改造工程。如图所示,某小区(点 A)和天然气站(点 B),分别位于公路两侧,若公路的宽度是一定的(公路的两边 a//b),现要在地下通一条天然气管道接通 A,B 两地,管道通过马路时,为了尽量少破坏马路,管道通过马路的部分与马路的一边 a 互相垂直,求作管道的位置,使得从点 A 到点 B 的管道长度最短。(要求:用无刻度的直尺和圆规作图,保留作图痕迹,简述作法)
答案：
5. 如图所示,管道的位置 A→M→N→B 即为所求.
作法如下:过点 A 作直线 AC⊥a,交直线 a 于点 C,交直线 b 于点 D,在线段 AD 上截取 AA' = CD,连接 A'B 交直线 b 于点 N,过点 N 作 MN⊥b 交直线 a 于点 M,管道的位置 A→M→N→B 即为所求.
解析:由作图可得,AA' // MN,AA' = MN,所以线段 MN 可以通过平移线段 AA'得到,所以 AM = A'N.因为公路的宽度是一定的,所以 MN 的长度是一定的,所以 AM + MN + NB = A'N + MN + NB ≥ A'B + MN,所以当 A',N,B 三点共线时,AM + MN + NB 有最小值,所以如图所示,管道的位置 A→M→N→B 即为所求.
5. 如图所示,管道的位置 A→M→N→B 即为所求.
作法如下:过点 A 作直线 AC⊥a,交直线 a 于点 C,交直线 b 于点 D,在线段 AD 上截取 AA' = CD,连接 A'B 交直线 b 于点 N,过点 N 作 MN⊥b 交直线 a 于点 M,管道的位置 A→M→N→B 即为所求.
解析:由作图可得,AA' // MN,AA' = MN,所以线段 MN 可以通过平移线段 AA'得到,所以 AM = A'N.因为公路的宽度是一定的,所以 MN 的长度是一定的,所以 AM + MN + NB = A'N + MN + NB ≥ A'B + MN,所以当 A',N,B 三点共线时,AM + MN + NB 有最小值,所以如图所示,管道的位置 A→M→N→B 即为所求.