9. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上，点 O，D 也在格点上.
(1)画出△ABC 关于直线 OD 对称的△A₁B₁C₁.
(2)画出△ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°后所得的△A₂B₂C₂.
(3)△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴.
(4)请在直线 OD 上找一点 P，使得 PC + PB₂ 最短.
(1)画出△ABC 关于直线 OD 对称的△A₁B₁C₁.
(2)画出△ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 90°后所得的△A₂B₂C₂.
(3)△A₁B₁C₁ 与△A₂B₂C₂ 组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴.
(4)请在直线 OD 上找一点 P，使得 PC + PB₂ 最短.
答案：
9. (1)如图,△A₁B₁C₁是所求作的三角形.
(2)如图,△A₂B₂C₂是所求作的三角形.
(3)如图,△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂组成的图形是轴对称图形,对称轴为直线OK.
(4)如图,连接C₁B₂,与OD交于点P,P即为所求.
9. (1)如图,△A₁B₁C₁是所求作的三角形.
(2)如图,△A₂B₂C₂是所求作的三角形.
(3)如图,△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂组成的图形是轴对称图形,对称轴为直线OK.
(4)如图,连接C₁B₂,与OD交于点P,P即为所求.
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有 30°，60°的直角三角板按如图①放置，PA，PB 在直线 MN 上，且三角板 PAC 和三角板 PBD 均可以点 P 为顶点运动.
操作探究：
(1)如图②，若三角板 PBD 保持不动，三角板 PAC 绕点 P 逆时针旋转一定角度(PC 未旋转至 PD 所在直线)，PF 平分∠APD，PE 平分∠CPD，求∠EPF 的度数；
(2)如图③，在图①基础上，若三角板 PAC 开始绕点 P 以每秒 5°的速度逆时针旋转，同时三角板 PBD 绕点 P 以每秒 1°的速度逆时针旋转，当 PA 转到与 PM 重合时，两三角板都停止转动. 在旋转过程中，当 PC，PB，PD 三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
(3)如图④，作三角板 PBD 关于直线 PD 的对称图形三角形 PB₁D. 三角板 PBD 保持不动，三角板 PAC 绕点 P 逆时针旋转一周，当 AC//B₁P 时，请直接写出转过角度的大小.
在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有 30°，60°的直角三角板按如图①放置，PA，PB 在直线 MN 上，且三角板 PAC 和三角板 PBD 均可以点 P 为顶点运动.
操作探究：
(1)如图②，若三角板 PBD 保持不动，三角板 PAC 绕点 P 逆时针旋转一定角度(PC 未旋转至 PD 所在直线)，PF 平分∠APD，PE 平分∠CPD，求∠EPF 的度数；
(2)如图③，在图①基础上，若三角板 PAC 开始绕点 P 以每秒 5°的速度逆时针旋转，同时三角板 PBD 绕点 P 以每秒 1°的速度逆时针旋转，当 PA 转到与 PM 重合时，两三角板都停止转动. 在旋转过程中，当 PC，PB，PD 三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
(3)如图④，作三角板 PBD 关于直线 PD 的对称图形三角形 PB₁D. 三角板 PBD 保持不动，三角板 PAC 绕点 P 逆时针旋转一周，当 AC//B₁P 时，请直接写出转过角度的大小.
答案：
10. (1)因为PE平分∠CPD,所以设∠CPE = ∠DPE = x,∠CPF = y,则∠APF = 60° + y,∠DPF = 2x - y.因为PF平分∠APD,所以∠DPF = ∠APF,所以2x - y = 60° + y,所以x - y = 30°,所以∠EPF = x - y = 30°.
(2)设t秒时,其中一条射线平分另两条射线的夹角.因为当PA转到与PM重合时,两三角板都停止转动,所以t ≤ 180÷5 = 36(秒),分三种情况讨论:
①当PD平分∠BPC时,根据题意可列方程5t - t = 90 - 30,解得t = 15,符合题意;
②当PC平分∠BPD时,根据题意可列方程5t - t = 90 + $\frac{1}{2}$×30,解得t = $\frac{105}{4}$,符合题意;
③当PB平分∠CPD时,根据题意可列方程5t - t = 90 + 2×30,解得t = $\frac{75}{2}$,不符合题意,舍去.综上,旋转时间为15秒或$\frac{105}{4}$秒时,PB,PC,PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角.
(3)转过角度的大小为30°或210°. 解析:①如图①.因为△PB₁D与△PBD关于PD对称,所以∠B₁PD = ∠BPD = 30°,若AC//B₁P,则∠B₁PC = ∠ACP = 30°,所以∠BPC = ∠BPD + ∠DPB₁ + ∠B₁PC = 30° + 30° + 30° = 90°,所以∠CPN = 180° - 90° = 90°,所以转过角度的大小为90° - 60° = 30°.
②如图②,若AC//B₁P,则∠B₁PA = ∠A = 90°,所以∠BPA = ∠B₁PA - ∠B₁PD - ∠BPD = 90° - 30° - 30° = 30°,所以转过角度的大小为30° + 180° = 210°.综上,当AC//B₁P时,转过角度的大小为30°或210°.
10. (1)因为PE平分∠CPD,所以设∠CPE = ∠DPE = x,∠CPF = y,则∠APF = 60° + y,∠DPF = 2x - y.因为PF平分∠APD,所以∠DPF = ∠APF,所以2x - y = 60° + y,所以x - y = 30°,所以∠EPF = x - y = 30°.
(2)设t秒时,其中一条射线平分另两条射线的夹角.因为当PA转到与PM重合时,两三角板都停止转动,所以t ≤ 180÷5 = 36(秒),分三种情况讨论:
①当PD平分∠BPC时,根据题意可列方程5t - t = 90 - 30,解得t = 15,符合题意;
②当PC平分∠BPD时,根据题意可列方程5t - t = 90 + $\frac{1}{2}$×30,解得t = $\frac{105}{4}$,符合题意;
③当PB平分∠CPD时,根据题意可列方程5t - t = 90 + 2×30,解得t = $\frac{75}{2}$,不符合题意,舍去.综上,旋转时间为15秒或$\frac{105}{4}$秒时,PB,PC,PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角.
(3)转过角度的大小为30°或210°. 解析:①如图①.因为△PB₁D与△PBD关于PD对称,所以∠B₁PD = ∠BPD = 30°,若AC//B₁P,则∠B₁PC = ∠ACP = 30°,所以∠BPC = ∠BPD + ∠DPB₁ + ∠B₁PC = 30° + 30° + 30° = 90°,所以∠CPN = 180° - 90° = 90°,所以转过角度的大小为90° - 60° = 30°.
②如图②,若AC//B₁P,则∠B₁PA = ∠A = 90°,所以∠BPA = ∠B₁PA - ∠B₁PD - ∠BPD = 90° - 30° - 30° = 30°,所以转过角度的大小为30° + 180° = 210°.综上,当AC//B₁P时,转过角度的大小为30°或210°.