二、填空题(每小题3分，共24分)
9. (淄博中考)如图，在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是
9. (淄博中考)如图，在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是
6
.答案：9. 6 解析：观察图形可得平移的距离是 6.
10. (2025·长沙期中)小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示如图，则此时实际时刻为
15 : 51
.答案：10. $ 15 : 51 $ 解析：穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示的数与实际时间显示的数成左右轴对称，据此可知实际时间为 $ 15 : 51 $.
11. 如图，一块余料ABCD，AD // BC，若∠A = 124°，根据作图痕迹，则∠AEB的度数为
28
°.答案：11. 28 解析：由作图可知 $ ∠ A B E = ∠ C B E $. 因为 $ A D // B C $，所以 $ ∠ A E B = ∠ C B E $，所以 $ ∠ A B E = ∠ A E B $. 因为 $ ∠ A = 124 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ A E B = \frac { 1 } { 2 } × ( 180 ^ { \circ } - 124 ^ { \circ } ) = 28 ^ { \circ } $.
12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长均是1 cm，线段A'B'可以看作是线段AB经过若干次图形的变换(平移、旋转、轴对称)得到的，写出一种由线段AB得到线段A'B'的过程：
将线段 $ A B $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $，再向左平移 $ 2 \mathrm { cm } $（答案不唯一）
.答案：12. 将线段 $ A B $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $，再向左平移 $ 2 \mathrm { cm } $（答案不唯一）
13. (2025·苏州校级月考)如图，将△ABD沿BD所在直线向右平移得到△A'B'D'，点C为BD延长线上一点，A'B'交AC于点E，AD平分∠BAC，∠A' = 40°，则∠B'EC =
$80 ^ { \circ }$
.答案：13. $ 80 ^ { \circ } $ 解析：由平移的性质可得 $ ∠ B A D = ∠ A ^ { \prime } = 40 ^ { \circ } $，$ A ^ { \prime } B ^ { \prime } // A B $. 因为 $ A D $ 平分 $ ∠ B A C $，所以 $ ∠ B A C = 2 ∠ B A D = 80 ^ { \circ } $. 因为 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } // A B $，所以 $ ∠ B ^ { \prime } E C = ∠ B A C = 80 ^ { \circ } $.
解析：
解：由平移的性质得：$∠BAD=∠A'=40^{\circ}$，$A'B'// AB$。
因为$AD$平分$∠BAC$，所以$∠BAC=2∠BAD=2×40^{\circ}=80^{\circ}$。
因为$A'B'// AB$，所以$∠B'EC=∠BAC=80^{\circ}$。
故答案为：$80^{\circ}$。
因为$AD$平分$∠BAC$，所以$∠BAC=2∠BAD=2×40^{\circ}=80^{\circ}$。
因为$A'B'// AB$，所以$∠B'EC=∠BAC=80^{\circ}$。
故答案为：$80^{\circ}$。
14. (2025·常州期中)如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B'落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C'落在直线B'D上，折痕为DF，此时可得∠EDF = 90°，若∠A = 70°，则∠CFD的度数为
70
°.答案：14. 70 解析：由折叠的性质可得 $ ∠ B E D = ∠ B ^ { \prime } E D $，因为 $ ∠ B E D + ∠ B ^ { \prime } E D = 180 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ B E D = ∠ B ^ { \prime } E D = 90 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ E D F + ∠ B ^ { \prime } E D = 180 ^ { \circ } $，所以 $ A B // D F $，所以 $ ∠ C F D = ∠ A = 70 ^ { \circ } $.
解析：
证明：由折叠性质得$∠BED=∠B'ED$，
∵点$B'$在直线$AB$上，
∴$∠BED+∠B'ED=180°$，
∴$∠BED=∠B'ED=90°$，
∵$∠EDF=90°$，
∴$∠EDF=∠B'ED=90°$，
∴$AB// DF$，
∴$∠CFD=∠A=70°$．
$70$
∵点$B'$在直线$AB$上，
∴$∠BED+∠B'ED=180°$，
∴$∠BED=∠B'ED=90°$，
∵$∠EDF=90°$，
∴$∠EDF=∠B'ED=90°$，
∴$AB// DF$，
∴$∠CFD=∠A=70°$．
$70$
15. (2025·济宁期中)如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂灰，使涂灰的2个正六边形和原来3个被涂灰的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有
8
种.答案：
15. 8 解析：如图，选择 $ A $，$ B $；$ A $，$ C $；$ A $，$ D $；$ A $，$ E $；$ B $，$ C $；$ B $，$ D $；$ C $，$ D $；$ D $，$ E $ 涂灰时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有 8 种.
15. 8 解析：如图，选择 $ A $，$ B $；$ A $，$ C $；$ A $，$ D $；$ A $，$ E $；$ B $，$ C $；$ B $，$ D $；$ C $，$ D $；$ D $，$ E $ 涂灰时，均可得到轴对称图形，即选择的方案最多有 8 种.
16. (2025·无锡期中)如图，在直角△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，AB = 5，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则DE + EF + FD的最小值是
4.8
.答案：
16. 4.8 解析：如图，作点 $ D $ 关于直线 $ A C $ 的对称点 $ M $，作点 $ D $ 关于直线 $ B C $ 的对称点 $ N $，连接 $ C M $，$ C N $，$ C D $，$ E N $，$ F M $，$ D N $，$ D M $，所以 $ D F = F M $，$ D E = E N $，$ C D = C M $，$ C D = C N $，所以 $ C D = C M = C N $. 因为 $ ∠ M C A = ∠ D C A $，$ ∠ B C N = ∠ B C D $，$ ∠ A C D + ∠ B C D = 90 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ M C D + ∠ N C D = 180 ^ { \circ } $，所以点 $ M $，$ C $，$ N $ 共线. 因为 $ D F + D E + E F = F M + E N + E F $，而 $ F M + E N + E F ≥ M N $，所以当点 $ M $，$ F $，$ E $，$ N $ 共线，且 $ C D ⊥ A B $ 时，$ D E + E F + F D $ 的值最小，最小值为 $ M N = 2 C D $. 因为 $ C D ⊥ A B $，所以 $ \frac { 1 } { 2 } · A B · C D = \frac { 1 } { 2 } · B C · A C $，所以 $ C D = \frac { B C · A C } { A B } = \frac { 12 } { 5 } = 2.4 $，所以 $ D E + E F + F D $ 的最小值为 4.8.
16. 4.8 解析：如图，作点 $ D $ 关于直线 $ A C $ 的对称点 $ M $，作点 $ D $ 关于直线 $ B C $ 的对称点 $ N $，连接 $ C M $，$ C N $，$ C D $，$ E N $，$ F M $，$ D N $，$ D M $，所以 $ D F = F M $，$ D E = E N $，$ C D = C M $，$ C D = C N $，所以 $ C D = C M = C N $. 因为 $ ∠ M C A = ∠ D C A $，$ ∠ B C N = ∠ B C D $，$ ∠ A C D + ∠ B C D = 90 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ M C D + ∠ N C D = 180 ^ { \circ } $，所以点 $ M $，$ C $，$ N $ 共线. 因为 $ D F + D E + E F = F M + E N + E F $，而 $ F M + E N + E F ≥ M N $，所以当点 $ M $，$ F $，$ E $，$ N $ 共线，且 $ C D ⊥ A B $ 时，$ D E + E F + F D $ 的值最小，最小值为 $ M N = 2 C D $. 因为 $ C D ⊥ A B $，所以 $ \frac { 1 } { 2 } · A B · C D = \frac { 1 } { 2 } · B C · A C $，所以 $ C D = \frac { B C · A C } { A B } = \frac { 12 } { 5 } = 2.4 $，所以 $ D E + E F + F D $ 的最小值为 4.8.
三、解答题（共52分）
17. （10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×14的网格中，已知△ABC的顶点都在格点上.
（1）若△A₁B₁C₁和△ABC关于直线l对称，请画出△A₁B₁C₁；
（2）将△A₁B₁C₁向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂；
（3）连接C₁A₂，利用网格，用无刻度的直尺画出线段C₁A₂的垂直平分线MN.
17. （10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×14的网格中，已知△ABC的顶点都在格点上.
（1）若△A₁B₁C₁和△ABC关于直线l对称，请画出△A₁B₁C₁；
（2）将△A₁B₁C₁向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A₂B₂C₂，请画出△A₂B₂C₂；
（3）连接C₁A₂，利用网格，用无刻度的直尺画出线段C₁A₂的垂直平分线MN.
答案：
17. (1) 如图，$ △ A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $ 即为所作.
(2) 如图，$ △ A _ { 2 } B _ { 2 } C _ { 2 } $ 即为所作.
(3) 如图，线段 $ C _ { 1 } A _ { 2 } $ 的垂直平分线 $ M N $ 即为所作.
17. (1) 如图，$ △ A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $ 即为所作.
(2) 如图，$ △ A _ { 2 } B _ { 2 } C _ { 2 } $ 即为所作.
(3) 如图，线段 $ C _ { 1 } A _ { 2 } $ 的垂直平分线 $ M N $ 即为所作.
18. (12分)教材变式如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为60°.将三角板ECD沿直线l向左平移到图中三角形E'C'D'的位置，使点E的对应点E'落在AB上，P为AC与E'D'的交点.
(1)∠CPD'的度数为
(2)试说明：AB ⊥ E'D'.
(1)∠CPD'的度数为
$60 ^ { \circ }$
；(2)试说明：AB ⊥ E'D'.
答案：18. (1) $ 60 ^ { \circ } $ 解析：由题意，得 $ ∠ C E D = ∠ A B C = 60 ^ { \circ } $，$ ∠ A = 30 ^ { \circ } $. 由平移的性质，得 $ D E // D ^ { \prime } E ^ { \prime } $，所以 $ ∠ C P D ^ { \prime } = ∠ C E D = 60 ^ { \circ } $.
(2) 由 (1) 得 $ ∠ C P D ^ { \prime } = 60 ^ { \circ } $，$ ∠ A = 30 ^ { \circ } $. 由平移的性质，得 $ A C // C ^ { \prime } E ^ { \prime } $，所以 $ ∠ B E ^ { \prime } C ^ { \prime } = ∠ A = 30 ^ { \circ } $，$ ∠ C ^ { \prime } E ^ { \prime } D ^ { \prime } = ∠ C P D ^ { \prime } = 60 ^ { \circ } $，即 $ ∠ B E ^ { \prime } C ^ { \prime } + ∠ C ^ { \prime } E ^ { \prime } D ^ { \prime } = ∠ B E ^ { \prime } D ^ { \prime } = 90 ^ { \circ } $，所以 $ A B ⊥ E ^ { \prime } D ^ { \prime } $.
(2) 由 (1) 得 $ ∠ C P D ^ { \prime } = 60 ^ { \circ } $，$ ∠ A = 30 ^ { \circ } $. 由平移的性质，得 $ A C // C ^ { \prime } E ^ { \prime } $，所以 $ ∠ B E ^ { \prime } C ^ { \prime } = ∠ A = 30 ^ { \circ } $，$ ∠ C ^ { \prime } E ^ { \prime } D ^ { \prime } = ∠ C P D ^ { \prime } = 60 ^ { \circ } $，即 $ ∠ B E ^ { \prime } C ^ { \prime } + ∠ C ^ { \prime } E ^ { \prime } D ^ { \prime } = ∠ B E ^ { \prime } D ^ { \prime } = 90 ^ { \circ } $，所以 $ A B ⊥ E ^ { \prime } D ^ { \prime } $.