19. （14分）如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.（顶点都在格点上的四边形称为格点四边形）
（1）在图①中画出一个面积最小的中心对称图形PAQB；
（2）在图②中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.
（1）在图①中画出一个面积最小的中心对称图形PAQB；
（2）在图②中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.
答案：
19. (1) 如图①即为所作. (答案不唯一)
(2) 如图②即为所作. (答案不唯一)
19. (1) 如图①即为所作. (答案不唯一)
(2) 如图②即为所作. (答案不唯一)
20. （16分）新题型新定义（2025·无锡期末）
【阅读材料】如图①，等边△ABC各边的垂直平分线交于点O，并将△ABC分成相同的六个小三角形.
将一个小三角形沿着直线l₁翻折得到新的三角形，这样的变换记为F₁，类似地，沿着直线l₂，l₃翻折分别记为F₂，F₃；
将一个小三角形绕着点O顺时针旋转120°得到新的三角形，这样的变换记为R₁，类似地，绕着点O顺时针旋转240°，360°分别记为R₂，R₃；
如果先作F₁变换，再作R₂变换，可以记为F₁⊕R₂.
例如，图②中将△ADO作F₁⊕R₂变换，即将△ADO先作F₁变换得△AEO，再将△AEO作R₂变换，得到△BDO.而将△ADO直接作F₃变换也得到△BDO，这意味着F₁⊕R₂变换可化简为F₃变换，即F₁⊕R₂ = F₃.
【问题解决】
(1)将△AEO作F₂变换得到
（2）我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c).类似地，我们可以探究“⊕”满足哪些运算律.
在下列等式中，你认为正确的是
①F₁⊕F₂ = F₂⊕F₁；②R₁⊕R₂ = R₂⊕R₁；
③(F₁⊕F₂)⊕R₂ = F₁⊕(F₂⊕R₂).
（3）利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为F₃的算法，如：R₁⊕F₁⊕R₃ = F₃.请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是F₂：
【阅读材料】如图①，等边△ABC各边的垂直平分线交于点O，并将△ABC分成相同的六个小三角形.
将一个小三角形沿着直线l₁翻折得到新的三角形，这样的变换记为F₁，类似地，沿着直线l₂，l₃翻折分别记为F₂，F₃；
将一个小三角形绕着点O顺时针旋转120°得到新的三角形，这样的变换记为R₁，类似地，绕着点O顺时针旋转240°，360°分别记为R₂，R₃；
如果先作F₁变换，再作R₂变换，可以记为F₁⊕R₂.
例如，图②中将△ADO作F₁⊕R₂变换，即将△ADO先作F₁变换得△AEO，再将△AEO作R₂变换，得到△BDO.而将△ADO直接作F₃变换也得到△BDO，这意味着F₁⊕R₂变换可化简为F₃变换，即F₁⊕R₂ = F₃.
【问题解决】
(1)将△AEO作F₂变换得到
△CEO
；将△CEO作R₁变换得到△BFO
；将△CFO进行F₃⊕R₂变换得到△ADO
；F₃⊕R₂变换可化简为F₂
变换.（2）我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c).类似地，我们可以探究“⊕”满足哪些运算律.
在下列等式中，你认为正确的是
②③
.(填写所有正确的序号)①F₁⊕F₂ = F₂⊕F₁；②R₁⊕R₂ = R₂⊕R₁；
③(F₁⊕F₂)⊕R₂ = F₁⊕(F₂⊕R₂).
（3）利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为F₃的算法，如：R₁⊕F₁⊕R₃ = F₃.请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是F₂：
F₂⊕R₂⊕R₂ = F₃，F₂⊕R₁⊕R₃ = F₃，F₂⊕R₃⊕R₁ = F₃，R₁⊕F₂⊕R₂ = F₃ (答案不唯一)
.答案：20. (1) $ △ C E O $ $ △ B F O $ $ △ A D O $ $ F _ { 2 } $ 解析：由题意得，将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C E O $；将 $ △ C E O $ 作 $ R _ { 1 } $ 变换得到 $ △ B F O $；将 $ △ C F O $ 进行 $ F _ { 3 } $ 变换得到 $ △ C E O $，将 $ △ C E O $ 作 $ R _ { 2 } $ 变换得到 $ △ A D O $，所以将 $ △ C F O $ 进行 $ F _ { 3 } \oplus R _ { 2 } $ 变换得到 $ △ A D O $，所以 $ F _ { 3 } \oplus R _ { 2 } $ 变换可化简为 $ F _ { 2 } $ 变换.
(2) ②③ 解析：将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 1 } $ 变换得到 $ △ A D O $，将 $ △ A D O $ 作 $ F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C O F $，所以将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C O F $；将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C E O $，将 $ △ C E O $ 作 $ F _ { 1 } $ 变换得到 $ △ B O D $，所以将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 2 } \oplus F _ { 1 } $ 变换得到 $ △ B O D $，所以 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } ≠ F _ { 2 } \oplus F _ { 1 } $，故①不正确.
因为作 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } $ 变换相当于把原图形先绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 120 ^ { \circ } $，再绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 240 ^ { \circ } $，所以作 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } $ 变换相当于把原图形绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 360 ^ { \circ } $；因为作 $ R _ { 2 } \oplus R _ { 1 } $ 变换相当于把原图形先绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 240 ^ { \circ } $，再绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 120 ^ { \circ } $，所以作 $ R _ { 2 } \oplus R _ { 1 } $ 变换相当于把原图形绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 360 ^ { \circ } $，所以 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } = R _ { 2 } \oplus R _ { 1 } $，故②正确.
因为将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C O F $，所以 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } $ 变换等价于 $ R _ { 1 } $ 变换，所以 $ ( F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } ) \oplus R _ { 2 } $ 等价于 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } $，$ △ A E O $ 经过 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } $ 变换后得到 $ △ A E O $；因为将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } $ 变换得到 $ △ A D O $，所以 $ F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } $ 变换等价于 $ F _ { 1 } $ 变换，所以 $ F _ { 1 } \oplus ( F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } ) $ 等价于 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 1 } $，$ △ A E O $ 经过 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 1 } $ 变换后得到 $ △ A E O $，所以 $ ( F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } ) \oplus R _ { 2 } = F _ { 1 } \oplus ( F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } ) $，故③正确. 综上，正确的有②③.
(3) $ F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } \oplus R _ { 2 } = F _ { 3 } $，$ F _ { 2 } \oplus R _ { 1 } \oplus R _ { 3 } = F _ { 3 } $，$ F _ { 2 } \oplus R _ { 3 } \oplus R _ { 1 } = F _ { 3 } $，$ R _ { 1 } \oplus F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } = F _ { 3 } $ (答案不唯一)
(2) ②③ 解析：将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 1 } $ 变换得到 $ △ A D O $，将 $ △ A D O $ 作 $ F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C O F $，所以将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C O F $；将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C E O $，将 $ △ C E O $ 作 $ F _ { 1 } $ 变换得到 $ △ B O D $，所以将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 2 } \oplus F _ { 1 } $ 变换得到 $ △ B O D $，所以 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } ≠ F _ { 2 } \oplus F _ { 1 } $，故①不正确.
因为作 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } $ 变换相当于把原图形先绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 120 ^ { \circ } $，再绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 240 ^ { \circ } $，所以作 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } $ 变换相当于把原图形绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 360 ^ { \circ } $；因为作 $ R _ { 2 } \oplus R _ { 1 } $ 变换相当于把原图形先绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 240 ^ { \circ } $，再绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 120 ^ { \circ } $，所以作 $ R _ { 2 } \oplus R _ { 1 } $ 变换相当于把原图形绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 360 ^ { \circ } $，所以 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } = R _ { 2 } \oplus R _ { 1 } $，故②正确.
因为将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } $ 变换得到 $ △ C O F $，所以 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } $ 变换等价于 $ R _ { 1 } $ 变换，所以 $ ( F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } ) \oplus R _ { 2 } $ 等价于 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } $，$ △ A E O $ 经过 $ R _ { 1 } \oplus R _ { 2 } $ 变换后得到 $ △ A E O $；因为将 $ △ A E O $ 作 $ F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } $ 变换得到 $ △ A D O $，所以 $ F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } $ 变换等价于 $ F _ { 1 } $ 变换，所以 $ F _ { 1 } \oplus ( F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } ) $ 等价于 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 1 } $，$ △ A E O $ 经过 $ F _ { 1 } \oplus F _ { 1 } $ 变换后得到 $ △ A E O $，所以 $ ( F _ { 1 } \oplus F _ { 2 } ) \oplus R _ { 2 } = F _ { 1 } \oplus ( F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } ) $，故③正确. 综上，正确的有②③.
(3) $ F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } \oplus R _ { 2 } = F _ { 3 } $，$ F _ { 2 } \oplus R _ { 1 } \oplus R _ { 3 } = F _ { 3 } $，$ F _ { 2 } \oplus R _ { 3 } \oplus R _ { 1 } = F _ { 3 } $，$ R _ { 1 } \oplus F _ { 2 } \oplus R _ { 2 } = F _ { 3 } $ (答案不唯一)