1. (2025·淮安月考)已知 $ a = 22^{55}, b = 33^{44}, c = 55^{33}, d = 66^{22} $，则 $ a, b, c, d $ 的大小关系是(
A.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
B.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $
C.$ b ＞ a ＞ c ＞ d $
D.$ a ＞ d ＞ b ＞ c $
A
)A.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
B.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $
C.$ b ＞ a ＞ c ＞ d $
D.$ a ＞ d ＞ b ＞ c $
答案：1. A 解析：$a = 22^{55} = (22^{5})^{11}$，$b = 33^{44} = (33^{4})^{11}$，$c = 55^{33} = (55^{3})^{11}$，$d = 66^{22} = (66^{2})^{11}$。因为$\frac{55^{3}}{66^{2}} = 55×\frac{55^{2}}{66^{2}} = 55×(\frac{5}{6})^{2} = 55×\frac{25}{36} ＞ 1$，所以$55^{3} ＞ 66^{2}$，所以$(55^{3})^{11} ＞ (66^{2})^{11}$，故$55^{33} ＞ 66^{22}$，即$c ＞ d$。同理可证$a ＞ b$，$b ＞ c$，所以$a ＞ b ＞ c ＞ d$，故选 A。
2. 已知整数 $ a, b, c, d $ 满足 $ a ＜ b ＜ c ＜ d $ 且 $ 2^{a}3^{b}4^{c}5^{d} = 10000 $，则 $ 4a + 3b + 2c + d $ 的值为
2
。答案：2. 2 解析：因为$10000 = 2^{4}×5^{4} = 4^{2}×5^{4} = 2^{0}×4^{2}×5^{4} = 2^{-2}×4^{3}×5^{4} = 2^{4}×4^{0}×5^{4}$，3 不能被 10000 整除，所以$3^{b} = 1$，则$b = 0$，所以$2^{a}×4^{c}×5^{d} = 10000$。因为整数$a$，$b$，$c$，$d$满足$a ＜ b ＜ c ＜ d$，所以$10000 = 2^{-2}×4^{3}×5^{4}$符合题意，所以$a = -2$，$b = 0$，$c = 3$，$d = 4$，所以$4a + 3b + 2c + d = -8 + 0 + 6 + 4 = 2$。
解析：
因为$10000 = 2^{4}×5^{4}$，且$3$不能整除$10000$，所以$3^{b}=1$，则$b = 0$。此时$2^{a}×4^{c}×5^{d}=10000$，又$4^{c}=2^{2c}$，故$2^{a + 2c}×5^{d}=2^{4}×5^{4}$，可得$a + 2c = 4$，$d = 4$。因为整数$a ＜ b ＜ c ＜ d$，$b = 0$，$d = 4$，所以$a ＜ 0 ＜ c ＜ 4$。$c$为整数，$c$可取$1$，$2$，$3$。当$c = 3$时，$a = 4 - 2×3=-2$，满足$a ＜ 0$。所以$a=-2$，$b = 0$，$c = 3$，$d = 4$。则$4a + 3b + 2c + d=4×(-2)+3×0 + 2×3 + 4=-8 + 0 + 6 + 4=2$。
2
2
3. 新题型 新定义 (2025·无锡期中)在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则。现在定义一种新的运算“$ \odot $”：对于任意的有理数 $ a $ 和 $ b $，有 $ a \odot b = a^{m} · b^{n} $，其中 $ m, n $ 是正整数。同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $ a^{p} · a^{q} = a^{p + q} $；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 $ (a^{p})^{q} = a^{pq} $。
(1) 已知 $ 2 \odot 3 = 108 $。
① 求 $ m, n $ 的值；
② 若 $ a \odot b = 32, b \odot a = 243 $，求 $ ab $ 的值。
(2) 对于任意非零数 $ a, b, c $，若新运算“$ \odot $”满足 $ a \odot (b + c) = (a \odot b) + (a \odot c) $，且存在某个常数 $ k $，使得 $ a \odot (k - 2) = a^{2} $，求 $ m, n $ 的值和常数 $ k $ 的值。
(1) 已知 $ 2 \odot 3 = 108 $。
① 求 $ m, n $ 的值；
② 若 $ a \odot b = 32, b \odot a = 243 $，求 $ ab $ 的值。
(2) 对于任意非零数 $ a, b, c $，若新运算“$ \odot $”满足 $ a \odot (b + c) = (a \odot b) + (a \odot c) $，且存在某个常数 $ k $，使得 $ a \odot (k - 2) = a^{2} $，求 $ m, n $ 的值和常数 $ k $ 的值。
答案：3. (1)①因为$2\odot 3 = 108$，所以$2^{m}·3^{n} = 108 = 2^{2}·3^{3}$，所以$m = 2$，$n = 3$。
②因为$a\odot b = 32$，$b\odot a = 243$，所以$a^{2}·b^{3} = 32 = 2^{5}$，$b^{2}·a^{3} = 243 = 3^{5}$，两式相乘可得$(ab)^{5} = (2×3)^{5}$，所以$ab = 6$。
(2)因为$a\odot (b + c) = (a\odot b) + (a\odot c)$，所以$a^{m}·(b + c)^{n} = a^{m}·b^{n} + a^{m}·c^{n}$，所以$a^{m}·(b + c)^{n} = a^{m}(b^{n} + c^{n})$。因为$a^{m} ≠ 0$，所以$(b + c)^{n} = b^{n} + c^{n}$，所以$n = 1$。因为$a\odot (k - 2) = a^{2}$，所以$a^{m}·(k - 2)^{n} = a^{2}$。因为$a^{m} ≠ 0$，$n = 1$，所以$k - 2 = a^{2 - m}$。因为$m$为正整数，$k$为常数，$a$为任意非零有理数，所以$m = 2$，$k = 3$。综上，$m = 2$，$n = 1$，$k = 3$。
②因为$a\odot b = 32$，$b\odot a = 243$，所以$a^{2}·b^{3} = 32 = 2^{5}$，$b^{2}·a^{3} = 243 = 3^{5}$，两式相乘可得$(ab)^{5} = (2×3)^{5}$，所以$ab = 6$。
(2)因为$a\odot (b + c) = (a\odot b) + (a\odot c)$，所以$a^{m}·(b + c)^{n} = a^{m}·b^{n} + a^{m}·c^{n}$，所以$a^{m}·(b + c)^{n} = a^{m}(b^{n} + c^{n})$。因为$a^{m} ≠ 0$，所以$(b + c)^{n} = b^{n} + c^{n}$，所以$n = 1$。因为$a\odot (k - 2) = a^{2}$，所以$a^{m}·(k - 2)^{n} = a^{2}$。因为$a^{m} ≠ 0$，$n = 1$，所以$k - 2 = a^{2 - m}$。因为$m$为正整数，$k$为常数，$a$为任意非零有理数，所以$m = 2$，$k = 3$。综上，$m = 2$，$n = 1$，$k = 3$。
4. (2025·南京校级月考)如图，将两张长为 $ a $，宽为 $ b $ 的长方形纸片按图①，图②两种方式放置，图①和图②中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形 $ ABCD $ 中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图①和图②中阴影部分的面积分别记为 $ S_{1} $ 和 $ S_{2} $。若知道下列条件，仍不能求 $ S_{1} - S_{2} $ 值的是(
A.长方形纸片的周长和面积
B.长方形纸片长和宽的差
C.①和②的面积差
D.长方形纸片和①的面积差
D
)A.长方形纸片的周长和面积
B.长方形纸片长和宽的差
C.①和②的面积差
D.长方形纸片和①的面积差
答案：
4. D 解析：如图，设正方形$ABCD$的边长为$x$，则$S_{1} = (x - a)^{2} + (x - b)^{2}$，$S_{2} = 2(x - a)(x - b)$，所以$S_{1} - S_{2} = (x - a)^{2} + (x - b)^{2} - 2(x - a)(x - b) = (a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab$。因为长方形纸片的周长为$2(a + b)$，面积为$ab$，所以若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出$S_{1} - S_{2}$，即选项 A，B 不符合题意；
图中①的面积为$(b - x + a)^{2} = (a + b)^{2} - 2x(a + b) + x^{2} = (a + b)^{2} - 2ax - 2bx + x^{2}$，②的面积为$(2a - x)(2b - x) = 4ab - 2ax - 2bx + x^{2}$，所以①和②的面积差为$(a + b)^{2} - 2ax - 2bx + x^{2} - (4ab - 2ax - 2bx + x^{2}) = (a + b)^{2} - 4ab$，所以若知道①和②的面积差，能求出$S_{1} - S_{2}$，即选项 C 不符合题意；
因为长方形纸片和①的面积差为$ab - (a + b)^{2} + 2ax + 2bx - x^{2}$，所以若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出$S_{1} - S_{2}$，即选项 D 符合题意。故选 D。
4. D 解析：如图，设正方形$ABCD$的边长为$x$，则$S_{1} = (x - a)^{2} + (x - b)^{2}$，$S_{2} = 2(x - a)(x - b)$，所以$S_{1} - S_{2} = (x - a)^{2} + (x - b)^{2} - 2(x - a)(x - b) = (a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4ab$。因为长方形纸片的周长为$2(a + b)$，面积为$ab$，所以若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出$S_{1} - S_{2}$，即选项 A，B 不符合题意；
图中①的面积为$(b - x + a)^{2} = (a + b)^{2} - 2x(a + b) + x^{2} = (a + b)^{2} - 2ax - 2bx + x^{2}$，②的面积为$(2a - x)(2b - x) = 4ab - 2ax - 2bx + x^{2}$，所以①和②的面积差为$(a + b)^{2} - 2ax - 2bx + x^{2} - (4ab - 2ax - 2bx + x^{2}) = (a + b)^{2} - 4ab$，所以若知道①和②的面积差，能求出$S_{1} - S_{2}$，即选项 C 不符合题意；
因为长方形纸片和①的面积差为$ab - (a + b)^{2} + 2ax + 2bx - x^{2}$，所以若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出$S_{1} - S_{2}$，即选项 D 符合题意。故选 D。
5. 有三张正方形纸片 $ A, B, C $，它们的边长分别为 $ a, b, c $，将三张纸片按图①，图②两种不同方式放置于同一长方形中，记图①中阴影部分周长为 $ I_{1} $，面积为 $ S_{1} $，图②中阴影部分周长为 $ I_{2} $，面积为 $ S_{2} $，若 $ S_{2} - S_{1} = ( \dfrac{I_{1} - I_{2}}{2} )^{2} $，则 $ c : b $ 的值为
$\frac{1}{3}$
。答案：5. $\frac{1}{3}$ 解析：设大长方形的短边长为$d$，由题图②知，$d = b - c + a$，所以$I_{1} = 2(a + b + c) + (d - a) + (d - c) + (a - b) + (b - c) = 2a + 2b + 2d$，$S_{1} = d(a + b + c) - a^{2} - b^{2} - c^{2}$，$I_{2} = (a - b) + (b - c) + a + b + c + d + a + c = 3a + b + c + d$，$S_{2} = d(a + b + c) - a^{2} - b^{2} + bc$，所以$S_{2} - S_{1} = bc + c^{2}$，$I_{1} - I_{2} = b - c - a + d$，所以$bc + c^{2} = (\frac{b - c - a + d}{2})^{2}$，所以$bc + c^{2} = (b - c)^{2}$，所以$3bc = b^{2}$，所以$b = 3c$，所以$c:b$的值为$\frac{1}{3}$。
解析：
设大长方形的短边长为$d$。
由图②得$d = b - c + a$。
$I_{1}=2(a + b + c)+(d - a)+(d - c)+(a - b)+(b - c)=2a + 2b + 2d$
$S_{1}=d(a + b + c)-a^{2}-b^{2}-c^{2}$
$I_{2}=(a - b)+(b - c)+a + b + c + d + a + c=3a + b + c + d$
$S_{2}=d(a + b + c)-a^{2}-b^{2}+bc$
$S_{2}-S_{1}=bc + c^{2}$
$I_{1}-I_{2}=b - c - a + d$
因为$d = b - c + a$，所以$I_{1}-I_{2}=b - c - a + b - c + a=2b - 2c$
$(\frac{I_{1}-I_{2}}{2})^{2}=(b - c)^{2}$
由$S_{2}-S_{1}=(\frac{I_{1}-I_{2}}{2})^{2}$得$bc + c^{2}=(b - c)^{2}$
展开得$bc + c^{2}=b^{2}-2bc + c^{2}$
化简得$3bc = b^{2}$，即$b = 3c$
所以$c:b=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$
由图②得$d = b - c + a$。
$I_{1}=2(a + b + c)+(d - a)+(d - c)+(a - b)+(b - c)=2a + 2b + 2d$
$S_{1}=d(a + b + c)-a^{2}-b^{2}-c^{2}$
$I_{2}=(a - b)+(b - c)+a + b + c + d + a + c=3a + b + c + d$
$S_{2}=d(a + b + c)-a^{2}-b^{2}+bc$
$S_{2}-S_{1}=bc + c^{2}$
$I_{1}-I_{2}=b - c - a + d$
因为$d = b - c + a$，所以$I_{1}-I_{2}=b - c - a + b - c + a=2b - 2c$
$(\frac{I_{1}-I_{2}}{2})^{2}=(b - c)^{2}$
由$S_{2}-S_{1}=(\frac{I_{1}-I_{2}}{2})^{2}$得$bc + c^{2}=(b - c)^{2}$
展开得$bc + c^{2}=b^{2}-2bc + c^{2}$
化简得$3bc = b^{2}$，即$b = 3c$
所以$c:b=\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$
6. 现有若干张卡片，分别写有 $ 1, -2, 4, -8, 16, -32 ··· ··· $ 小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数乘积为 $ 2^{100} $，其中三数之和的最大值记为 $ A $，最小值记为 $ B $，则 $ A + B - 4 $ 的值等于
$-2^{98}$
。答案：6. $-2^{98}$ 解析：由题意知，卡片上的数依次为$(-2)^{0}$，$(-2)^{1}$，$(-2)^{2}$，$(-2)^{3}$，$(-2)^{4}$，$(-2)^{5}······$因为三张卡片上的数乘积为$2^{100}$，所以使三数之和最大的三个数为$(-2)^{0}$，$(-2)^{2}$，$(-2)^{98}$，所以$A = (-2)^{0} + (-2)^{2} + (-2)^{98}$；使三数之和最小的三个数为$(-2)^{0}$，$(-2)^{1}$，$(-2)^{99}$，所以$B = (-2)^{0} + (-2)^{1} + (-2)^{99}$，所以$A + B - 4 = (-2)^{0} + (-2)^{2} + (-2)^{98} + (-2)^{0} + (-2)^{1} + (-2)^{99} - 4 = 1 + 4 + 2^{98} + 1 - 2 - 2^{99} - 4 = 2^{98} - 2^{99} = 2^{98}×(1 - 2) = -2^{98}$。
解析：
由题意知，卡片上的数依次为$(-2)^{0}$，$(-2)^{1}$，$(-2)^{2}$，$(-2)^{3}$，$···$。
设取出的三张卡片上的数分别为$(-2)^{a}$，$(-2)^{b}$，$(-2)^{c}$（$a$，$b$，$c$为整数，且$a ＜ b ＜ c$）。
因为三张卡片上的数乘积为$2^{100}$，所以$(-2)^{a} · (-2)^{b} · (-2)^{c} = (-2)^{a + b + c} = 2^{100}$。
由于$2^{100}$为正数，所以$(-2)^{a + b + c}$的结果为正，即$a + b + c$为偶数，且$(-2)^{a + b + c} = 2^{a + b + c} = 2^{100}$，因此$a + b + c = 100$。
要使三数之和最大，应选择指数较小且为偶数的数，使负数项尽可能少且绝对值小，所以取$a = 0$，$b = 2$，则$c = 100 - 0 - 2 = 98$，此时三数之和$A = (-2)^{0} + (-2)^{2} + (-2)^{98} = 1 + 4 + 2^{98} = 5 + 2^{98}$。
要使三数之和最小，应选择指数较小且包含负数项，使负数项绝对值尽可能大，所以取$a = 0$，$b = 1$，则$c = 100 - 0 - 1 = 99$，此时三数之和$B = (-2)^{0} + (-2)^{1} + (-2)^{99} = 1 - 2 - 2^{99} = -1 - 2^{99}$。
则$A + B - 4 = (5 + 2^{98}) + (-1 - 2^{99}) - 4 = 5 + 2^{98} - 1 - 2^{99} - 4 = 2^{98} - 2^{99} = 2^{98}(1 - 2) = -2^{98}$。
$-2^{98}$
设取出的三张卡片上的数分别为$(-2)^{a}$，$(-2)^{b}$，$(-2)^{c}$（$a$，$b$，$c$为整数，且$a ＜ b ＜ c$）。
因为三张卡片上的数乘积为$2^{100}$，所以$(-2)^{a} · (-2)^{b} · (-2)^{c} = (-2)^{a + b + c} = 2^{100}$。
由于$2^{100}$为正数，所以$(-2)^{a + b + c}$的结果为正，即$a + b + c$为偶数，且$(-2)^{a + b + c} = 2^{a + b + c} = 2^{100}$，因此$a + b + c = 100$。
要使三数之和最大，应选择指数较小且为偶数的数，使负数项尽可能少且绝对值小，所以取$a = 0$，$b = 2$，则$c = 100 - 0 - 2 = 98$，此时三数之和$A = (-2)^{0} + (-2)^{2} + (-2)^{98} = 1 + 4 + 2^{98} = 5 + 2^{98}$。
要使三数之和最小，应选择指数较小且包含负数项，使负数项绝对值尽可能大，所以取$a = 0$，$b = 1$，则$c = 100 - 0 - 1 = 99$，此时三数之和$B = (-2)^{0} + (-2)^{1} + (-2)^{99} = 1 - 2 - 2^{99} = -1 - 2^{99}$。
则$A + B - 4 = (5 + 2^{98}) + (-1 - 2^{99}) - 4 = 5 + 2^{98} - 1 - 2^{99} - 4 = 2^{98} - 2^{99} = 2^{98}(1 - 2) = -2^{98}$。
$-2^{98}$