9. (2025·南京期中)如图，把一个角沿过点 $ O $ 的射线对折后得到的图形为 $ ∠ AOB $($ 0^{\circ} ＜ ∠ AOB ＜ 90^{\circ} $)，现从点 $ O $ 引一条射线 $ OC $，使 $ ∠ AOC = m ∠ AOB $，再沿 $ OC $ 把角剪开。若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的 $ 3 $ 倍，则 $ m $ 的值为(
A.$ \dfrac{1}{4} $
B.$ \dfrac{2}{5} $
C.$ \dfrac{1}{4} $ 或 $ \dfrac{2}{5} $
D.$ \dfrac{2}{5} $ 或 $ \dfrac{3}{5} $
D
)A.$ \dfrac{1}{4} $
B.$ \dfrac{2}{5} $
C.$ \dfrac{1}{4} $ 或 $ \dfrac{2}{5} $
D.$ \dfrac{2}{5} $ 或 $ \dfrac{3}{5} $
答案：9. D 解析：分两种情况：①若这个角沿$OB$对折，由题意得沿$OC$剪开后的三个角分别是$∠AOC$，$∠AOC$，$2∠COB$，且$2∠COB = 3∠AOC$，所以$∠COB = \frac{3}{2}∠AOC$。又因为$∠AOC = m∠AOB = m(∠AOC + ∠BOC) = m∠AOC + \frac{3}{2}m∠AOC = \frac{5}{2}m∠AOC$，所以$m = \frac{2}{5}$；②若这个角沿$OA$对折，由题意得沿$OC$剪开后的三个角分别是$∠COB$，$∠COB$，$2∠AOC$，且$2∠AOC = 3∠COB$，所以$∠COB = \frac{2}{3}∠AOC$。又因为$∠AOC = m∠AOB = m(∠AOC + ∠BOC) = m∠AOC + \frac{2}{3}m∠AOC = \frac{5}{3}m∠AOC$，所以$m = \frac{3}{5}$。综上，$m = \frac{2}{5}$或$m = \frac{3}{5}$，故选 D。
10. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 45^{\circ} $，将 $ △ ABC $ 沿着射线 $ BC $ 方向平移得到 $ △ DEF $，连接 $ CD $，若在整个平移过程中，$ ∠ ACD $ 和 $ ∠ CDE $ 的度数之间存在 $ 2 $ 倍关系，则 $ ∠ CDE = \_\_\_\_\_\_ ^{\circ} $。
答案：
10. 30 或 15 或 45 解析：第一种情况：如图①，当点$E$在$BC$上时，过点$C$作$CG// AB$。因为$△DEF$由$△ABC$平移得到，所以$AB// DE$。因为$CG// AB$，$AB// DE$，所以$CG// DE$。①当$∠ACD = 2∠CDE$时，设$∠CDE = x$，则$∠ACD = 2x$，所以$∠ACG = ∠BAC = 45^{\circ}$，$∠DCG = ∠CDE = x$。因为$∠ACG = ∠ACD + ∠DCG$，所以$2x + x = 45^{\circ}$，解得$x = 15^{\circ}$，所以$∠CDE = 15^{\circ}$；②当$∠CDE = 2∠ACD$时，设$∠CDE = x$，则$∠ACD = \frac{1}{2}x$，所以$∠ACG = ∠BAC = 45^{\circ}$，$∠DCG = ∠CDE = x$。因为$∠ACG = ∠ACD + ∠DCG$，所以$x + \frac{1}{2}x = 45^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$，所以$∠CDE = 30^{\circ}$；
第二种情况：当点$E$在$△ABC$外面时，如图②，过点$C$作$CG// AB$。因为$△DEF$由$△ABC$平移得到，所以$AB// DE$。因为$CG// AB$，$AB// DE$，所以$CG// DE$。①当$∠ACD = 2∠CDE$时，设$∠CDE = x$，则$∠ACD = 2x$，所以$∠ACG = ∠BAC = 45^{\circ}$，$∠DCG = ∠CDE = x$。因为$∠ACD = ∠ACG + ∠DCG$，所以$2x = x + 45^{\circ}$，解得$x = 45^{\circ}$，所以$∠CDE = 45^{\circ}$；②当$∠CDE = 2∠ACD$时，由图可知，$∠CDE ＜ ∠ACD$，故不存在这种情况。综上，$∠CDE = 30^{\circ}$或$15^{\circ}$或$45^{\circ}$。
10. 30 或 15 或 45 解析：第一种情况：如图①，当点$E$在$BC$上时，过点$C$作$CG// AB$。因为$△DEF$由$△ABC$平移得到，所以$AB// DE$。因为$CG// AB$，$AB// DE$，所以$CG// DE$。①当$∠ACD = 2∠CDE$时，设$∠CDE = x$，则$∠ACD = 2x$，所以$∠ACG = ∠BAC = 45^{\circ}$，$∠DCG = ∠CDE = x$。因为$∠ACG = ∠ACD + ∠DCG$，所以$2x + x = 45^{\circ}$，解得$x = 15^{\circ}$，所以$∠CDE = 15^{\circ}$；②当$∠CDE = 2∠ACD$时，设$∠CDE = x$，则$∠ACD = \frac{1}{2}x$，所以$∠ACG = ∠BAC = 45^{\circ}$，$∠DCG = ∠CDE = x$。因为$∠ACG = ∠ACD + ∠DCG$，所以$x + \frac{1}{2}x = 45^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$，所以$∠CDE = 30^{\circ}$；
第二种情况：当点$E$在$△ABC$外面时，如图②，过点$C$作$CG// AB$。因为$△DEF$由$△ABC$平移得到，所以$AB// DE$。因为$CG// AB$，$AB// DE$，所以$CG// DE$。①当$∠ACD = 2∠CDE$时，设$∠CDE = x$，则$∠ACD = 2x$，所以$∠ACG = ∠BAC = 45^{\circ}$，$∠DCG = ∠CDE = x$。因为$∠ACD = ∠ACG + ∠DCG$，所以$2x = x + 45^{\circ}$，解得$x = 45^{\circ}$，所以$∠CDE = 45^{\circ}$；②当$∠CDE = 2∠ACD$时，由图可知，$∠CDE ＜ ∠ACD$，故不存在这种情况。综上，$∠CDE = 30^{\circ}$或$15^{\circ}$或$45^{\circ}$。
11. 如图，点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点，过点 $ O $ 作射线 $ OC $，使 $ ∠ BOC = 135^{\circ} $，将一个含 $ 45^{\circ} $ 角的直角三角尺 $ OMN $ 的一个顶点放在 $ O $ 处，斜边 $ OM $ 与直线 $ AB $ 重合，另两条直角边 $ ON, MN $ 都在直线 $ AB $ 的下方。将图中的三角尺绕点 $ O $ 以每秒 $ 22.5^{\circ} $ 的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，旋转到第
5或13
秒时，$ ∠ COM $ 与 $ ∠ CON $ 互补。答案：
11. 5 或 13 解析：设旋转到第$x$秒时，$∠COM$与$∠CON$互补，因为$360^{\circ}÷22.5^{\circ} = 16$，所以$0≤ x≤16$。当$ON$和$OM$在直线$OC$异侧时，如图①所示，$∠COM + ∠CON = 315^{\circ}$或$45^{\circ}$。当$ON$和$OM$都在直线$OC$左下方时，如图②所示，$180^{\circ} - 22.5^{\circ}x + 180^{\circ} - 22.5^{\circ}x + 45^{\circ} = 180^{\circ}$，解得$x = 5$。当$ON$和$OM$都在直线$OC$右上方时，如图③所示，$22.5^{\circ}x - 225^{\circ} + 22.5^{\circ}x - 225^{\circ} + 45^{\circ} = 180^{\circ}$，解得$x = 13$，所以当旋转到第 5 或 13 秒时，$∠COM$与$∠CON$互补。
11. 5 或 13 解析：设旋转到第$x$秒时，$∠COM$与$∠CON$互补，因为$360^{\circ}÷22.5^{\circ} = 16$，所以$0≤ x≤16$。当$ON$和$OM$在直线$OC$异侧时，如图①所示，$∠COM + ∠CON = 315^{\circ}$或$45^{\circ}$。当$ON$和$OM$都在直线$OC$左下方时，如图②所示，$180^{\circ} - 22.5^{\circ}x + 180^{\circ} - 22.5^{\circ}x + 45^{\circ} = 180^{\circ}$，解得$x = 5$。当$ON$和$OM$都在直线$OC$右上方时，如图③所示，$22.5^{\circ}x - 225^{\circ} + 22.5^{\circ}x - 225^{\circ} + 45^{\circ} = 180^{\circ}$，解得$x = 13$，所以当旋转到第 5 或 13 秒时，$∠COM$与$∠CON$互补。
12. (2025·无锡期中)折纸中的数学。(题中所有角都是指小于 $ 180^{\circ} $ 的角)
【问题情境】
动手折叠一张长方形纸片 $ ABCD $，点 $ P $ 在边 $ AD $ 上，点 $ E, F $ 分别在边 $ AB, CD $ 上，分别沿 $ PE, PF $ 把 $ ∠ PAE, ∠ PDF $ 折叠得到 $ ∠ PA'E $ 和 $ ∠ PD'F $。
【问题初探】
(1) 如图①，若点 $ A' $，点 $ D' $，点 $ P $ 恰好在一条直线上，则 $ ∠ EPF $ 的度数是
(2) 如图②，若点 $ A' $ 落在 $ PF $ 上，点 $ D' $ 落在 $ PE $ 上，则 $ ∠ EPF $ 的度数是
【问题再探】
(3) 若 $ ∠ A'PD' = β (β ≠ 0) $，求 $ ∠ EPF $ 的度数(用含 $ β $ 的代数式表示)；
【问题深探】
(4) 连接 $ CP $，若 $ ∠ CPD = m^{\circ}, ∠ APE = n^{\circ} $，且射线 $ PC $，射线 $ PA' $，射线 $ PD' $ 都与长方形的边相交。若射线 $ PC $ 是 $ ∠ A'PD' $ 的平分线，则 $ ∠ EPF $ 的度数为
【问题情境】
动手折叠一张长方形纸片 $ ABCD $，点 $ P $ 在边 $ AD $ 上，点 $ E, F $ 分别在边 $ AB, CD $ 上，分别沿 $ PE, PF $ 把 $ ∠ PAE, ∠ PDF $ 折叠得到 $ ∠ PA'E $ 和 $ ∠ PD'F $。
【问题初探】
(1) 如图①，若点 $ A' $，点 $ D' $，点 $ P $ 恰好在一条直线上，则 $ ∠ EPF $ 的度数是
$90^{\circ}$
；(2) 如图②，若点 $ A' $ 落在 $ PF $ 上，点 $ D' $ 落在 $ PE $ 上，则 $ ∠ EPF $ 的度数是
$60^{\circ}$
；【问题再探】
(3) 若 $ ∠ A'PD' = β (β ≠ 0) $，求 $ ∠ EPF $ 的度数(用含 $ β $ 的代数式表示)；
【问题深探】
(4) 连接 $ CP $，若 $ ∠ CPD = m^{\circ}, ∠ APE = n^{\circ} $，且射线 $ PC $，射线 $ PA' $，射线 $ PD' $ 都与长方形的边相交。若射线 $ PC $ 是 $ ∠ A'PD' $ 的平分线，则 $ ∠ EPF $ 的度数为
$(270 - 2n - m)^{\circ}$
(用含 $ m, n $ 的代数式表示)。答案：
12. (1)$90^{\circ}$ 解析：由折叠得$∠APE = ∠A'PE$，$∠DPF = ∠D'PF$，所以$∠APE + ∠DPF = ∠A'PE + ∠D'PF$。因为$∠APE + ∠DPF + ∠A'PE + ∠D'PF = 180^{\circ}$，所以$2(∠A'PE + ∠D'PF) = 180^{\circ}$，所以$∠A'PE + ∠D'PF = 90^{\circ}$，所以$∠EPF = ∠A'PE + ∠D'PF = 90^{\circ}$。
(2)$60^{\circ}$ 解析：由折叠得$∠APE = ∠A'PD'$，$∠DPF = ∠A'PD'$，所以$∠APE = ∠A'PD' = ∠DPF$。因为$∠APE + ∠A'PD' + ∠DPF = 180^{\circ}$，所以$∠A'PD' = 60^{\circ}$，即$∠EPF = 60^{\circ}$。
(3)分两种情况进行讨论：①当$△A'PE$与$△D'PF$不重叠时，如图①所示，由折叠的性质得$∠APE = ∠A'PE$，$∠DPF = ∠D'PF$，所以$∠APE + ∠DPF = ∠A'PE + ∠D'PF$。因为$∠APE + ∠DPF + ∠A'PE + ∠D'PF + ∠A'PD' = 180^{\circ}$，所以$2(∠A'PE + ∠D'PF) + β = 180^{\circ}$，所以$∠A'PE + ∠D'PF = \frac{180^{\circ} - β}{2}$，所以$∠EPF = ∠A'PE + ∠D'PF + ∠A'PD' = \frac{180^{\circ} - β}{2} + β = \frac{180^{\circ} + β}{2}$。
②当$△A'PE$与$△D'PF$有重叠时，如图②所示，由折叠的性质得，$∠APE = ∠A'PE$，$∠DPF = ∠D'PF$，所以$∠APE + ∠DPF = ∠A'PE + ∠D'PF = ∠EPF + ∠A'PD'$。又因为$∠APE + ∠DPF + ∠EPF = 180^{\circ}$，所以$∠EPF + ∠A'PD' + ∠EPF = 180^{\circ}$，所以$2∠EPF = 180^{\circ} - ∠A'PD' = 180^{\circ} - β$，所以$∠EPF = \frac{180^{\circ} - β}{2}$。综上得$∠EPF = \frac{180^{\circ} + β}{2}$或$∠EPF = \frac{180^{\circ} - β}{2}$。
(4)$(270 - 2n - m)^{\circ}$ 解析：当点$A'$在$PC$的左侧，$D'$在$PC$的右侧时，如图③，由折叠可得，$∠A'PE = ∠APE = n^{\circ}$，又$∠CPD = m^{\circ}$，所以$∠CPA' = 180^{\circ} - ∠A'PE - ∠APE - ∠CPD = (180 - 2n - m)^{\circ}$。因为射线$PC$是$∠A'PD'$的平分线，所以$∠CPD' = ∠CPA' = (180 - 2n - m)^{\circ}$，所以$∠DPD' = ∠CPD - ∠CPD' = (2m + 2n - 180)^{\circ}$，由折叠可得，$∠DPF = \frac{1}{2}∠DPD' = (m + n - 90)^{\circ}$，所以$∠EPF = 180^{\circ} - ∠APE - ∠DPF = (270 - 2n - m)^{\circ}$；
当点$A'$在$PC$的右侧，$D'$在$PC$的左侧时，如图④，由折叠可得$∠A'PE = ∠APE = n^{\circ}$，所以$∠DPA' = (180 - 2n)^{\circ}$。又$∠CPD = m^{\circ}$，所以$∠CPA' = ∠CPD - ∠A'PD = (2n + m - 180)^{\circ}$。因为射线$PC$是$∠A'PD'$的平分线，所以$∠CPD' = ∠CPA' = (2n + m - 180)^{\circ}$，所以$∠DPD' = ∠CPD + ∠CPD' = (2n + 2m - 180)^{\circ}$，由折叠可得，$∠DPF = \frac{1}{2}∠DPD' = (m + n - 90)^{\circ}$，所以$∠EPF = 180^{\circ} - ∠APE - ∠DPF = (270 - 2n - m)^{\circ}$。综上，$∠EPF$的度数为$(270 - 2n - m)^{\circ}$。
12. (1)$90^{\circ}$ 解析：由折叠得$∠APE = ∠A'PE$，$∠DPF = ∠D'PF$，所以$∠APE + ∠DPF = ∠A'PE + ∠D'PF$。因为$∠APE + ∠DPF + ∠A'PE + ∠D'PF = 180^{\circ}$，所以$2(∠A'PE + ∠D'PF) = 180^{\circ}$，所以$∠A'PE + ∠D'PF = 90^{\circ}$，所以$∠EPF = ∠A'PE + ∠D'PF = 90^{\circ}$。
(2)$60^{\circ}$ 解析：由折叠得$∠APE = ∠A'PD'$，$∠DPF = ∠A'PD'$，所以$∠APE = ∠A'PD' = ∠DPF$。因为$∠APE + ∠A'PD' + ∠DPF = 180^{\circ}$，所以$∠A'PD' = 60^{\circ}$，即$∠EPF = 60^{\circ}$。
(3)分两种情况进行讨论：①当$△A'PE$与$△D'PF$不重叠时，如图①所示，由折叠的性质得$∠APE = ∠A'PE$，$∠DPF = ∠D'PF$，所以$∠APE + ∠DPF = ∠A'PE + ∠D'PF$。因为$∠APE + ∠DPF + ∠A'PE + ∠D'PF + ∠A'PD' = 180^{\circ}$，所以$2(∠A'PE + ∠D'PF) + β = 180^{\circ}$，所以$∠A'PE + ∠D'PF = \frac{180^{\circ} - β}{2}$，所以$∠EPF = ∠A'PE + ∠D'PF + ∠A'PD' = \frac{180^{\circ} - β}{2} + β = \frac{180^{\circ} + β}{2}$。
②当$△A'PE$与$△D'PF$有重叠时，如图②所示，由折叠的性质得，$∠APE = ∠A'PE$，$∠DPF = ∠D'PF$，所以$∠APE + ∠DPF = ∠A'PE + ∠D'PF = ∠EPF + ∠A'PD'$。又因为$∠APE + ∠DPF + ∠EPF = 180^{\circ}$，所以$∠EPF + ∠A'PD' + ∠EPF = 180^{\circ}$，所以$2∠EPF = 180^{\circ} - ∠A'PD' = 180^{\circ} - β$，所以$∠EPF = \frac{180^{\circ} - β}{2}$。综上得$∠EPF = \frac{180^{\circ} + β}{2}$或$∠EPF = \frac{180^{\circ} - β}{2}$。
(4)$(270 - 2n - m)^{\circ}$ 解析：当点$A'$在$PC$的左侧，$D'$在$PC$的右侧时，如图③，由折叠可得，$∠A'PE = ∠APE = n^{\circ}$，又$∠CPD = m^{\circ}$，所以$∠CPA' = 180^{\circ} - ∠A'PE - ∠APE - ∠CPD = (180 - 2n - m)^{\circ}$。因为射线$PC$是$∠A'PD'$的平分线，所以$∠CPD' = ∠CPA' = (180 - 2n - m)^{\circ}$，所以$∠DPD' = ∠CPD - ∠CPD' = (2m + 2n - 180)^{\circ}$，由折叠可得，$∠DPF = \frac{1}{2}∠DPD' = (m + n - 90)^{\circ}$，所以$∠EPF = 180^{\circ} - ∠APE - ∠DPF = (270 - 2n - m)^{\circ}$；
当点$A'$在$PC$的右侧，$D'$在$PC$的左侧时，如图④，由折叠可得$∠A'PE = ∠APE = n^{\circ}$，所以$∠DPA' = (180 - 2n)^{\circ}$。又$∠CPD = m^{\circ}$，所以$∠CPA' = ∠CPD - ∠A'PD = (2n + m - 180)^{\circ}$。因为射线$PC$是$∠A'PD'$的平分线，所以$∠CPD' = ∠CPA' = (2n + m - 180)^{\circ}$，所以$∠DPD' = ∠CPD + ∠CPD' = (2n + 2m - 180)^{\circ}$，由折叠可得，$∠DPF = \frac{1}{2}∠DPD' = (m + n - 90)^{\circ}$，所以$∠EPF = 180^{\circ} - ∠APE - ∠DPF = (270 - 2n - m)^{\circ}$。综上，$∠EPF$的度数为$(270 - 2n - m)^{\circ}$。