11. 若 $m^{2}-12y + 9y^{2}$ 是完全平方式，则 $m$ 的值等于
±2
.答案：11. ±2 解析:因为$m^{2}-12y + 9y^{2}$是完全平方式,所以$m^{2}-12y + 9y^{2}=(|m|-3y)^{2}$.因为$6|m| = 12$,所以$m = ±2$.
12. 如图所示的图案由形状相同的三个叶片组成，绕点 $O$ 旋转 $120^{\circ}$ 后可以和自身重合.若每个叶片的面积为 $5cm^{2}$，$∠ AOB$ 为 $120^{\circ}$，则图中阴影部分的面积之和为
5
$cm^{2}$.答案：12. 5 解析:每个叶片的面积为$5cm^{2}$,因而图形的面积是$15cm^{2}$.因为图案绕点O旋转$120^{\circ}$后可以和自身重合,$∠AOB$为$120^{\circ}$,所以图形中阴影部分的面积是图形面积的$\frac{1}{3}$,因而图中阴影部分的面积之和为$5cm^{2}$.
解析：
图案由三个形状相同的叶片组成，每个叶片面积为$5\,\mathrm{cm}^2$，则图案总面积为$3×5 = 15\,\mathrm{cm}^2$。
因图案绕点$O$旋转$120°$后与自身重合，且$∠ AOB = 120°$，故阴影部分面积为图案总面积的$\frac{1}{3}$。
阴影部分面积之和为$15×\frac{1}{3}=5\,\mathrm{cm}^2$。
5
因图案绕点$O$旋转$120°$后与自身重合，且$∠ AOB = 120°$，故阴影部分面积为图案总面积的$\frac{1}{3}$。
阴影部分面积之和为$15×\frac{1}{3}=5\,\mathrm{cm}^2$。
5
13. (2025·邵阳期末)如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图(单位：$mm$)，则该主板的周长是
96 mm
.答案：13. 96 mm 解析:由图形可得该主板的周长为$24 + 24 + 16 + 16 + 4×4 = 96(mm)$.
解析：
24+24+16+16+4×4=96(mm)
14. 已知多项式 $(x^{2}-3x - a)(x + 2)-x^{2}(x - 1)$ 的值与 $x$ 的取值无关，则字母 $a$ 的值为
-6
.答案：14. -6 解析:$(x^{2}-3x - a)(x + 2)-x^{2}(x - 1)=x^{3}+2x^{2}-3x^{2}-6x - ax - 2a - x^{3}+x^{2}=(-6 - a)x - 2a$.因为结果与x的取值无关,所以$-6 - a = 0$,解得$a = -6$.
15. (2025·哈尔滨期末)折纸是一项有趣的活动，蕴含着丰富的数学信息.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠.折痕分别为 $AB$，$CD$，若 $CD// BE$，且 $∠ CBE=\frac{1}{3}∠ ABC$，则 $∠1=$
$108^{\circ}$
.答案：15. $108^{\circ}$ 解析:由折叠可知,$2∠ABE + ∠CBE = 180^{\circ}$.因为$∠CBE=\frac{1}{3}∠ABC,∠ABC = ∠ABE + ∠CBE$,所以$∠ABE = 2∠CBE$,所以$4∠CBE + ∠CBE = 180^{\circ}$,所以$∠CBE = 36^{\circ}$.因为$BE// CD$,所以$∠BCD = 180^{\circ}-∠CBE = 144^{\circ}$,由折叠可知,$2∠DCE + ∠1 = 180^{\circ}$.因为$∠BCD = ∠1 + ∠DCE$,所以$2(144^{\circ}-∠1)+∠1 = 180^{\circ}$,所以$∠1 = 108^{\circ}$.
解析：
解：由折叠性质得，$2∠ABE + ∠CBE = 180^{\circ}$。
设$∠CBE = x$，则$∠ABC = 3x$，又$∠ABC = ∠ABE + ∠CBE$，故$∠ABE = 3x - x = 2x$。
代入$2∠ABE + ∠CBE = 180^{\circ}$，得$2×2x + x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$，即$∠CBE = 36^{\circ}$。
因为$CD// BE$，所以$∠BCD = 180^{\circ} - ∠CBE = 144^{\circ}$。
由折叠性质得，$2∠DCE + ∠1 = 180^{\circ}$，且$∠BCD = ∠1 + ∠DCE$，则$∠DCE = 144^{\circ} - ∠1$。
代入$2∠DCE + ∠1 = 180^{\circ}$，得$2(144^{\circ} - ∠1) + ∠1 = 180^{\circ}$，解得$∠1 = 108^{\circ}$。
$108^{\circ}$
设$∠CBE = x$，则$∠ABC = 3x$，又$∠ABC = ∠ABE + ∠CBE$，故$∠ABE = 3x - x = 2x$。
代入$2∠ABE + ∠CBE = 180^{\circ}$，得$2×2x + x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$，即$∠CBE = 36^{\circ}$。
因为$CD// BE$，所以$∠BCD = 180^{\circ} - ∠CBE = 144^{\circ}$。
由折叠性质得，$2∠DCE + ∠1 = 180^{\circ}$，且$∠BCD = ∠1 + ∠DCE$，则$∠DCE = 144^{\circ} - ∠1$。
代入$2∠DCE + ∠1 = 180^{\circ}$，得$2(144^{\circ} - ∠1) + ∠1 = 180^{\circ}$，解得$∠1 = 108^{\circ}$。
$108^{\circ}$
16. 如果代数式 $|x - 3|^{x + 1}$ 的值等于 $1$，那么 $x$ 的值为
-1或4或2
.答案：16. -1或4或2 解析:①当指数为0,即$x + 1 = 0$时,$x = -1$,原式$=|-1 - 3|^{0}=1$,成立;②当$x - 3 = 1$时,则$x = 4$,原式$=|4 - 3|^{4 + 1}=1$,成立;③当$x - 3 = -1$时,则$x = 2$,原式$=|2 - 3|^{2 + 1}=1$,成立.综上,x的值为-1或4或2.
解析：
①当指数为$0$，即$x + 1 = 0$时，$x=-1$，原式$=|-1 - 3|^{0}=1$，成立；
②当$x - 3 = 1$时，$x=4$，原式$=|4 - 3|^{4 + 1}=1$，成立；
③当$x - 3 = -1$时，$x=2$，原式$=|2 - 3|^{2 + 1}=1$，成立。
综上，$x$的值为$-1$或$4$或$2$。
②当$x - 3 = 1$时，$x=4$，原式$=|4 - 3|^{4 + 1}=1$，成立；
③当$x - 3 = -1$时，$x=2$，原式$=|2 - 3|^{2 + 1}=1$，成立。
综上，$x$的值为$-1$或$4$或$2$。
17. 若 $5^{m}=6$，$6^{n}=5$，则 $2m(3m - n)-m(2n + 6m)+3$ 的值为
-1
.答案：17. -1 解析:因为$5^{m}=6,6^{n}=5$,所以$(6^{n})^{m}=5^{m}=6$,即$6^{mn}=6$,所以$mn = 1$,则$2m(3m - n)-m(2n + 6m)+3=6m^{2}-2mn - 2mn - 6m^{2}+3=3 - 4mn=3 - 4=-1$.
解析：
因为$5^{m}=6$，$6^{n}=5$，所以$(6^{n})^{m}=5^{m}=6$，即$6^{mn}=6$，则$mn = 1$。
$\begin{aligned}&2m(3m - n)-m(2n + 6m)+3\\=&6m^{2}-2mn - 2mn - 6m^{2}+3\\=&3 - 4mn\\=&3 - 4×1\\=&-1\end{aligned}$
-1
$\begin{aligned}&2m(3m - n)-m(2n + 6m)+3\\=&6m^{2}-2mn - 2mn - 6m^{2}+3\\=&3 - 4mn\\=&3 - 4×1\\=&-1\end{aligned}$
-1
18. $(a,b,c)$ 表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，$(ab,bc,ca)$ 表示由它生成的第一个数组(相邻两个数相乘作为左边的数，最后一个数与第一个数相乘作为最后一个数)，$(ab^{2}c,bc^{2}a,ca^{2}b)$ 表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为 $T_{0}=abc$，第一个数组的三个数之积为 $T_{1}=abbcca=a^{2}b^{2}c^{2}$，第 $n$ 个数组的三个数之积为 $T_{n}$($n$ 为正整数)，若 $T_{n}=T_{0}^{k}$，$k＞2024$，则符合条件的最小的 $n$ 的值为
11
.答案：18. 11 解析:由题意,第一个数组为$(ab,bc,ca)$,第二个数组为$(ab^{2}c,bc^{2}a,ca^{2}b)$,则第三个数组为$(a^{2}b^{3}c^{3},b^{2}c^{3}a^{3},c^{2}a^{3}b^{3})$,第四个数组为$(a^{5}b^{5}c^{6},b^{5}c^{5}a^{6},c^{5}a^{5}b^{6})······$所以$T_{0}=abc,T_{1}=ab^{2}c· bc^{2}a· ca^{2}b=a^{2}b^{2}c^{2}=(abc)^{2},T_{2}=ab^{2}c· bc^{2}a· ca^{2}b=a^{4}b^{4}c^{4}=(abc)^{4},T_{3}=a^{2}b^{3}c^{3}· b^{2}c^{3}a^{3}· c^{2}a^{3}b^{3}=a^{8}b^{8}c^{8}=(abc)^{8},T_{4}=a^{5}b^{5}c^{6}· b^{5}c^{5}a^{6}· c^{5}a^{5}b^{6}=a^{16}b^{16}c^{16}=(abc)^{16}······$依次类推,发现$T_{n}=(abc)^{2^{n}}=T_{0}^{2^{n}}$.因为若$T_{n}=T_{0}^{k},k ＞ 2024$,所以$2^{n}＞2024$.因为$2^{11}=2^{3}×2^{8}=2^{3}×256＞2^{3}×253=2024,2^{10}=2^{3}×2^{7}=2^{3}×128＜2^{3}×253=2024$,所以n的值最小为11.
解析：
由题意，$T_0 = abc$。
第一个数组的三个数之积$T_1 = ab · bc · ca = a^2b^2c^2 = (abc)^2 = T_0^2$；
第二个数组的三个数之积$T_2 = ab^2c · bc^2a · ca^2b = a^4b^4c^4 = (abc)^4 = T_0^4$；
第三个数组的三个数之积$T_3 = a^2b^3c^3 · b^2c^3a^3 · c^2a^3b^3 = a^8b^8c^8 = (abc)^8 = T_0^8$；
依次类推，可得$T_n = T_0^{2^n}$。
因为$T_n = T_0^k$且$k ＞ 2024$，所以$2^n ＞ 2024$。
由于$2^{10} = 1024 ＜ 2024$，$2^{11} = 2048 ＞ 2024$，故最小的$n$的值为$11$。
11
第一个数组的三个数之积$T_1 = ab · bc · ca = a^2b^2c^2 = (abc)^2 = T_0^2$；
第二个数组的三个数之积$T_2 = ab^2c · bc^2a · ca^2b = a^4b^4c^4 = (abc)^4 = T_0^4$；
第三个数组的三个数之积$T_3 = a^2b^3c^3 · b^2c^3a^3 · c^2a^3b^3 = a^8b^8c^8 = (abc)^8 = T_0^8$；
依次类推，可得$T_n = T_0^{2^n}$。
因为$T_n = T_0^k$且$k ＞ 2024$，所以$2^n ＞ 2024$。
由于$2^{10} = 1024 ＜ 2024$，$2^{11} = 2048 ＞ 2024$，故最小的$n$的值为$11$。
11
三、解答题（共76分）
19. （12分）计算或化简：
（1）$-2^{2}+(\frac{2}{3})^{-1}+(π - 3)^{0}$；
（2）$a· a^{2}· a^{3}+(-2a^{3})^{2}-a^{9}÷(-a)^{3}$；
（3）$(x + 3)(x - 3)-(x - 2)^{2}$；
（4）$(m + 2n - 3)(m - 2n + 3)$.
19. （12分）计算或化简：
（1）$-2^{2}+(\frac{2}{3})^{-1}+(π - 3)^{0}$；
（2）$a· a^{2}· a^{3}+(-2a^{3})^{2}-a^{9}÷(-a)^{3}$；
（3）$(x + 3)(x - 3)-(x - 2)^{2}$；
（4）$(m + 2n - 3)(m - 2n + 3)$.
答案：19. (1)原式$=-4+\frac{3}{2}+1=-\frac{3}{2}.$
(2)原式$=a^{6}+4a^{6}+a^{6}=6a^{6}.$
(3)原式$=x^{2}-9 - x^{2}+4x - 4 = 4x - 13.$
(4)原式$=[m+(2n - 3)][m-(2n - 3)]=m^{2}-(2n - 3)^{2}=m^{2}-4n^{2}+12n - 9.$
(2)原式$=a^{6}+4a^{6}+a^{6}=6a^{6}.$
(3)原式$=x^{2}-9 - x^{2}+4x - 4 = 4x - 13.$
(4)原式$=[m+(2n - 3)][m-(2n - 3)]=m^{2}-(2n - 3)^{2}=m^{2}-4n^{2}+12n - 9.$
20. （8分）先化简，再求值：
（1）$[5a^{4}· a^{2}-(3a^{6})^{2}÷(a^{2})^{3}]÷(-2a^{2})^{2}$，其中 $a = -5$.
（2）$a(a - 2b)+2(a + b)(a - b)+(a + b)^{2}$，其中 $a$，$b$ 满足 $|a + 2|+(b - 1)^{2}=0$.
（1）$[5a^{4}· a^{2}-(3a^{6})^{2}÷(a^{2})^{3}]÷(-2a^{2})^{2}$，其中 $a = -5$.
（2）$a(a - 2b)+2(a + b)(a - b)+(a + b)^{2}$，其中 $a$，$b$ 满足 $|a + 2|+(b - 1)^{2}=0$.
答案：20. (1)原式$=(5a^{4}· a^{2}-9a^{12}÷a^{6})÷(4a^{4})=(5a^{6}-9a^{6})÷(4a^{4})=(-4a^{6})÷(4a^{4})=-a^{2}$,当$a = -5$时,原式$=-(-5)^{2}=-25.$
(2)原式$=a^{2}-2ab + 2(a^{2}-b^{2})+a^{2}+2ab + b^{2}=a^{2}-2ab + 2a^{2}-2b^{2}+a^{2}+2ab + b^{2}=4a^{2}-b^{2}$.因为$|a + 2|+(b - 1)^{2}=0$,所以$a + 2 = 0,b - 1 = 0$,解得$a = -2,b = 1$,所以原式$=4×(-2)^{2}-1^{2}=15.$
(2)原式$=a^{2}-2ab + 2(a^{2}-b^{2})+a^{2}+2ab + b^{2}=a^{2}-2ab + 2a^{2}-2b^{2}+a^{2}+2ab + b^{2}=4a^{2}-b^{2}$.因为$|a + 2|+(b - 1)^{2}=0$,所以$a + 2 = 0,b - 1 = 0$,解得$a = -2,b = 1$,所以原式$=4×(-2)^{2}-1^{2}=15.$