21. （8分）（2025·无锡期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $1$ 个单位长度，$△ ABC$ 的三个顶点都在格点上.
（1）画出 $△ ABC$ 沿水平方向向左平移 $5$ 个单位长度得到的 $△ A_{1}B_{1}C_{1}$，画出 $△ ABC$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{2}B_{2}C_{2}$.
（2）$△ A_{1}B_{1}C_{1}$ 与 $△ A_{2}B_{2}C_{2}$ 是否成中心对称？若是，画出其对称中心点 $Q$ 的位置.
（3）在直线 $MN$ 上找一点 $P$，使 $△ PAB$ 的周长最小，请确定点 $P$ 的位置.
（1）画出 $△ ABC$ 沿水平方向向左平移 $5$ 个单位长度得到的 $△ A_{1}B_{1}C_{1}$，画出 $△ ABC$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{2}B_{2}C_{2}$.
（2）$△ A_{1}B_{1}C_{1}$ 与 $△ A_{2}B_{2}C_{2}$ 是否成中心对称？若是，画出其对称中心点 $Q$ 的位置.
（3）在直线 $MN$ 上找一点 $P$，使 $△ PAB$ 的周长最小，请确定点 $P$ 的位置.
答案：
21. (1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$和$△A_{2}B_{2}C_{2}$即为所作.
(2)$△A_{1}B_{1}C_{1}$与$△A_{2}B_{2}C_{2}$成中心对称,对称中心点Q的位置如图所示.
(3)如图,点P即为所作.
21. (1)如图,$△A_{1}B_{1}C_{1}$和$△A_{2}B_{2}C_{2}$即为所作.
(2)$△A_{1}B_{1}C_{1}$与$△A_{2}B_{2}C_{2}$成中心对称,对称中心点Q的位置如图所示.
(3)如图,点P即为所作.
22. （8分）（2025·扬州期中）已知 $5^{m}=4$，$5^{n}=6$，$25^{p}=9$.
（1）求 $5^{m + n}$ 的值；
（2）求 $5^{m - 2p}$ 的值；
（3）写出 $m$，$n$，$p$ 之间的数量关系.
（1）求 $5^{m + n}$ 的值；
（2）求 $5^{m - 2p}$ 的值；
（3）写出 $m$，$n$，$p$ 之间的数量关系.
答案：22. (1)因为$5^{m}=4,5^{n}=6$,所以$5^{m + n}=5^{m}· 5^{n}=4×6 = 24.$
(2)因为$25^{p}=(5^{2})^{p}=5^{2p}=9$,所以$5^{m - 2p}=5^{m}÷5^{2p}=4÷9=\frac{4}{9}.$
(3)因为$5^{m}· 25^{p}=5^{m}· 5^{2p}=4×9 = 36 = 6^{2}$,又$5^{n}=6$,所以$5^{m}· 5^{2p}=(5^{n})^{2}$,所以$m + 2p = 2n.$
(2)因为$25^{p}=(5^{2})^{p}=5^{2p}=9$,所以$5^{m - 2p}=5^{m}÷5^{2p}=4÷9=\frac{4}{9}.$
(3)因为$5^{m}· 25^{p}=5^{m}· 5^{2p}=4×9 = 36 = 6^{2}$,又$5^{n}=6$,所以$5^{m}· 5^{2p}=(5^{n})^{2}$,所以$m + 2p = 2n.$
23. (8分)(2025·泰州校级月考)如图，已知 $∠ AOB$ 和线段 $a$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规按以下步骤作图：
①作 $∠ AOB$ 的平分线 $OP$；
②在 $OP$ 上取 $OE = a$，作 $OE$ 的垂直平分线分别交射线 $OA$，$OB$ 于点 $F$，$G$，交 $OP$ 于点 $H$，连接 $EF$，$EG$.
(2)对于(1)中所作的四边形 $OGEF$，下列说法正确的是
①$OF = OG$；
②$△ OFG$ 与 $△ EFG$ 关于直线 $FG$ 成轴对称；
③四边形 $OFEG$ 是轴对称图形，且有 $2$ 条对称轴；
④四边形 $OFEG$ 是中心对称图形，对称中心是点 $H$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规按以下步骤作图：
①作 $∠ AOB$ 的平分线 $OP$；
②在 $OP$ 上取 $OE = a$，作 $OE$ 的垂直平分线分别交射线 $OA$，$OB$ 于点 $F$，$G$，交 $OP$ 于点 $H$，连接 $EF$，$EG$.
(2)对于(1)中所作的四边形 $OGEF$，下列说法正确的是
①②③④
.(填序号)①$OF = OG$；
②$△ OFG$ 与 $△ EFG$ 关于直线 $FG$ 成轴对称；
③四边形 $OFEG$ 是轴对称图形，且有 $2$ 条对称轴；
④四边形 $OFEG$ 是中心对称图形，对称中心是点 $H$.
答案：
23. (1)作图如图所示.
(2)①②③④ 解析:由作图可得四边形OFEG为轴对称图形,且直线FG与直线OE均为四边形的对称轴,故说法①②③均正确;由作图可得四边形OFEG也为中心对称图形,对称中心是点H,故说法④正确,则说法①②③④均正确.
23. (1)作图如图所示.
(2)①②③④ 解析:由作图可得四边形OFEG为轴对称图形,且直线FG与直线OE均为四边形的对称轴,故说法①②③均正确;由作图可得四边形OFEG也为中心对称图形,对称中心是点H,故说法④正确,则说法①②③④均正确.
24. (10分)现有甲、乙、丙三张卡片如图①摆放，卡片甲是边长为 $a$ 的正方形，卡片乙是边长为 $b$ 的正方形，卡片丙是长为 $a$、宽为 $b$ 的长方形.将卡片甲绕点 $B$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$，点 $A$ 恰好与点 $D$ 重合，得到图②；将卡片丙绕点 $E$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，点 $F$ 恰好与点 $C$ 重合得到图③；将卡片乙绕点 $C$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$，得到图④.图②，图③，图④的阴影部分面积分别记为 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$.
(1)计算：$S_{1}=$，$S_{2}=$(用含 $a$，$b$ 的代数式表示)；
(2)若边长 $a = 5$，$b = 3$，则 $S_{3}=$；
(3)探究 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$ 的数量关系，并说明理由.
(1)计算：$S_{1}=$，$S_{2}=$(用含 $a$，$b$ 的代数式表示)；
(2)若边长 $a = 5$，$b = 3$，则 $S_{3}=$；
(3)探究 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$ 的数量关系，并说明理由.
答案：24. (1)$a^{2}-b^{2}$ $ab - b^{2}$
(2)22 解析:因为$a = 5,b = 3$,所以$S_{3}=a^{2}-b[b-(a - b)]=5^{2}-3×[3-(5 - 3)]=22.$
(3)$S_{1}+S_{2}=S_{3}$,理由如下:依题意得$S_{3}=a^{2}-b[b-(a - b)]=a^{2}-b(2b - a)=a^{2}-2b^{2}+ab$.因为$S_{1}+S_{2}=a^{2}-b^{2}+ab - b^{2}=a^{2}-2b^{2}+ab$,所以$S_{1}+S_{2}=S_{3}.$
一题多解 $S_{1}=S_{甲}-S_{乙},S_{2}=S_{丙}-S_{乙},S_{3}=S_{甲}-[S_{乙}-(S_{丙}-S_{乙})]=S_{甲}-2S_{乙}+S_{丙}$,所以$S_{1}+S_{2}=S_{3}.$
(2)22 解析:因为$a = 5,b = 3$,所以$S_{3}=a^{2}-b[b-(a - b)]=5^{2}-3×[3-(5 - 3)]=22.$
(3)$S_{1}+S_{2}=S_{3}$,理由如下:依题意得$S_{3}=a^{2}-b[b-(a - b)]=a^{2}-b(2b - a)=a^{2}-2b^{2}+ab$.因为$S_{1}+S_{2}=a^{2}-b^{2}+ab - b^{2}=a^{2}-2b^{2}+ab$,所以$S_{1}+S_{2}=S_{3}.$
一题多解 $S_{1}=S_{甲}-S_{乙},S_{2}=S_{丙}-S_{乙},S_{3}=S_{甲}-[S_{乙}-(S_{丙}-S_{乙})]=S_{甲}-2S_{乙}+S_{丙}$,所以$S_{1}+S_{2}=S_{3}.$