25. (10分)观察下列各式：
$(x - 1)÷(x - 1)=1$；
$(x^{2}-1)÷(x - 1)=x + 1$；
$(x^{3}-1)÷(x - 1)=x^{2}+x + 1$；
$(x^{4}-1)÷(x - 1)=x^{3}+x^{2}+x + 1$.
(1)根据上面各式的规律可得 $(x^{n + 1}-1)÷(x - 1)=$
(2)利用(1)的结论求 $2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1$ 的值；
(3)若 $1 + x + x^{2}+···+x^{2025}=0$，求 $x^{2026}$ 的值.
$(x - 1)÷(x - 1)=1$；
$(x^{2}-1)÷(x - 1)=x + 1$；
$(x^{3}-1)÷(x - 1)=x^{2}+x + 1$；
$(x^{4}-1)÷(x - 1)=x^{3}+x^{2}+x + 1$.
(1)根据上面各式的规律可得 $(x^{n + 1}-1)÷(x - 1)=$
$x^{n}+x^{n - 1}+x^{n - 2}+··· + x + 1$
；(2)利用(1)的结论求 $2^{2025}+2^{2024}+···+2 + 1$ 的值；
(3)若 $1 + x + x^{2}+···+x^{2025}=0$，求 $x^{2026}$ 的值.
答案：25. (1)$x^{n}+x^{n - 1}+x^{n - 2}+··· + x + 1$
(2)$2^{2025}+2^{2024}+··· + 2 + 1=(2^{2025}+2^{2024}+··· + 2 + 1)×(2 - 1)=2^{2026}-1.$
(3)因为$1 + x + x^{2}+··· + x^{2025}=0$,所以$x^{2026}=(x^{2026}-1)+1=(1 + x + x^{2}+··· + x^{2025})· (x - 1)+1=0 + 1 = 1.$
(2)$2^{2025}+2^{2024}+··· + 2 + 1=(2^{2025}+2^{2024}+··· + 2 + 1)×(2 - 1)=2^{2026}-1.$
(3)因为$1 + x + x^{2}+··· + x^{2025}=0$,所以$x^{2026}=(x^{2026}-1)+1=(1 + x + x^{2}+··· + x^{2025})· (x - 1)+1=0 + 1 = 1.$
26. (12分)【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$(如图①).利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题.
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图②可得等式：；由图③可得等式：.
(2)利用图③得到的结论，解决问题：若 $a + b + c = 15$，$ab + ac + bc = 35$，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=$.
(3)如图④，若用其中 $x$ 张边长为 $a$ 的正方形，$y$ 张边长为 $b$ 的正方形，$z$ 张边长分别为 $a$，$b$ 的长方形纸片拼出一个面积为 $(2a + b)·(a + 2b)$ 的长方形(无空隙、无重叠地拼接)，则 $x + y + z=$.
(4)如图④，若有 $3$ 张边长为 $a$ 的正方形纸片，$4$ 张边长分别为 $a$，$b$ 的长方形纸片，$5$ 张边长为 $b$ 的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张.把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为.
【方法拓展】
(5)已知正数 $a$，$b$，$c$ 和 $m$，$n$，$l$ 满足 $a + m = b + n = c + l = k$.试通过构造边长为 $k$ 的正方形，利用图形面积来说明 $al + bm + cn＜k^{2}$.
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$(如图①).利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题.
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图②可得等式：；由图③可得等式：.
(2)利用图③得到的结论，解决问题：若 $a + b + c = 15$，$ab + ac + bc = 35$，则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=$.
(3)如图④，若用其中 $x$ 张边长为 $a$ 的正方形，$y$ 张边长为 $b$ 的正方形，$z$ 张边长分别为 $a$，$b$ 的长方形纸片拼出一个面积为 $(2a + b)·(a + 2b)$ 的长方形(无空隙、无重叠地拼接)，则 $x + y + z=$.
(4)如图④，若有 $3$ 张边长为 $a$ 的正方形纸片，$4$ 张边长分别为 $a$，$b$ 的长方形纸片，$5$ 张边长为 $b$ 的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张.把取出的这些纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为.
【方法拓展】
(5)已知正数 $a$，$b$，$c$ 和 $m$，$n$，$l$ 满足 $a + m = b + n = c + l = k$.试通过构造边长为 $k$ 的正方形，利用图形面积来说明 $al + bm + cn＜k^{2}$.
答案：
26. (1)$(2a + b)(a + b)=2a^{2}+b^{2}+3ab$ $(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$
(2)155 解析:因为由题图③得$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$,所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}-(2ab + 2ac + 2bc)=(a + b + c)^{2}-2(ab + ac + bc)$.把$a + b + c = 15,ab + ac + bc = 35$代入,得$a^{2}+b^{2}+c^{2}=15^{2}-2×35 = 225 - 70 = 155.$
(3)9 解析:因为$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+4ab + ab + 2b^{2}=2a^{2}+5ab + 2b^{2},2a^{2}+5ab + 2b^{2}$可以看成2张边长为a的正方形纸片,2张边长为b的正方形纸片,5张边长分别为a,b的长方形纸片拼成的大长方形的面积,所以$x = 2,y = 2,z = 5$,所以$x + y + z = 9.$
(4)$a + 2b$ 解析:3张边长为a的正方形纸片的面积为$3a^{2}$,4张边长分别为a,b的长方形纸片的面积为4ab,5张边长为b的正方形纸片的面积为$5b^{2}$,要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接),则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式,所以可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为a,b的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片,此时围成的正方形面积为$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$,此时正方形的边长$=a + b$;也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为a,b的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片,此时围成的正方形面积为$a^{2}+4ab + 4b^{2}$.因为$(a + 2b)^{2}=a^{2}+4ab + 4b^{2}$,所以此时正方形的边长$=a + 2b$,所以拼成的正方形的边长最长为$a + 2b.$
(5)如图,构造了一个边长为k的正方形,$AC = CE = EG = AG = k$.在正方形的4条边上分别截取$AB = a,CD = b,EF = c$和$HG = c$,因为$a + m = b + n = c + l = k$,所以$BC = m,DE = n,FG = l,AH = l$,在正方形内部构造长方形,如图.因为3个长方形的面积和为$al + bm + cn$,大正方形的面积为$k^{2}$,所以$al + bm + cn ＜ k^{2}.$
26. (1)$(2a + b)(a + b)=2a^{2}+b^{2}+3ab$ $(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$
(2)155 解析:因为由题图③得$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$,所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}-(2ab + 2ac + 2bc)=(a + b + c)^{2}-2(ab + ac + bc)$.把$a + b + c = 15,ab + ac + bc = 35$代入,得$a^{2}+b^{2}+c^{2}=15^{2}-2×35 = 225 - 70 = 155.$
(3)9 解析:因为$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+4ab + ab + 2b^{2}=2a^{2}+5ab + 2b^{2},2a^{2}+5ab + 2b^{2}$可以看成2张边长为a的正方形纸片,2张边长为b的正方形纸片,5张边长分别为a,b的长方形纸片拼成的大长方形的面积,所以$x = 2,y = 2,z = 5$,所以$x + y + z = 9.$
(4)$a + 2b$ 解析:3张边长为a的正方形纸片的面积为$3a^{2}$,4张边长分别为a,b的长方形纸片的面积为4ab,5张边长为b的正方形纸片的面积为$5b^{2}$,要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形(无空隙、无重叠地拼接),则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式,所以可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为a,b的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片,此时围成的正方形面积为$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$,此时正方形的边长$=a + b$;也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为a,b的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片,此时围成的正方形面积为$a^{2}+4ab + 4b^{2}$.因为$(a + 2b)^{2}=a^{2}+4ab + 4b^{2}$,所以此时正方形的边长$=a + 2b$,所以拼成的正方形的边长最长为$a + 2b.$
(5)如图,构造了一个边长为k的正方形,$AC = CE = EG = AG = k$.在正方形的4条边上分别截取$AB = a,CD = b,EF = c$和$HG = c$,因为$a + m = b + n = c + l = k$,所以$BC = m,DE = n,FG = l,AH = l$,在正方形内部构造长方形,如图.因为3个长方形的面积和为$al + bm + cn$,大正方形的面积为$k^{2}$,所以$al + bm + cn ＜ k^{2}.$