10. 新题型 新定义 (2025·泉州期中) 新定义一种运算，其法则为 $ \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = a^{2}d ÷ bc $，则 $ \begin{vmatrix} -x^{3} & -x^{2} \\ x^{3} & x \end{vmatrix} = $ ______ 。
答案：10. $-x^{2}$ 解析：$\begin{vmatrix} -x^{3}&-x^{2}\\ x^{3}&x\end{vmatrix} =(-x^{3})^{2}· x÷[x^{3}· (-x^{2})]=x^{6}· x÷(-x^{5})=x^{7}÷(-x^{5})=-x^{2}$.
11. (1) 若 $ 3^{2m} = 5 $，$ 3^{n} = 10 $，则 $ 3^{4m - 2n + 1} = $
(2) 已知 $ 10^{m} = 20 $，$ 10^{n} = \dfrac{1}{5} $，则 $ m - n = $
(3) 若 $ 10^{a} = 2 $，$ 10^{b} = 9 $，则 $ 100^{a - \frac{1}{2}b} = $
$\frac {3}{4}$
；(2) 已知 $ 10^{m} = 20 $，$ 10^{n} = \dfrac{1}{5} $，则 $ m - n = $
2
，$ 9^{m} ÷ 3^{2n} = $81
；(3) 若 $ 10^{a} = 2 $，$ 10^{b} = 9 $，则 $ 100^{a - \frac{1}{2}b} = $
$\frac {4}{9}$
。答案：11. (1)$\frac {3}{4}$ 解析：$3^{4m-2n+1}=(3^{2m})^{2}÷(3^{n})^{2}×3=5^{2}÷10^{2}×3=\frac {3}{4}$.
(2)2 81 解析：$10^{m}÷10^{n}=10^{m-n}=100$，所以$m-n=2;9^{m}÷3^{2n}=9^{m}÷9^{n}=9^{m-n}=9^{2}=81$.
(3)$\frac {4}{9}$ 解析：由题意，$100^{a-\frac {1}{2}b}=(10^{2})^{a-\frac {1}{2}b}=10^{2a-b}=\frac {(10^{a})^{2}}{10^{b}}=\frac {2^{2}}{9}=\frac {4}{9}$.
(2)2 81 解析：$10^{m}÷10^{n}=10^{m-n}=100$，所以$m-n=2;9^{m}÷3^{2n}=9^{m}÷9^{n}=9^{m-n}=9^{2}=81$.
(3)$\frac {4}{9}$ 解析：由题意，$100^{a-\frac {1}{2}b}=(10^{2})^{a-\frac {1}{2}b}=10^{2a-b}=\frac {(10^{a})^{2}}{10^{b}}=\frac {2^{2}}{9}=\frac {4}{9}$.
12. 已知 $ 4^{x} = 3 $，$ 3^{y} = 2 $，则 $ 6^{x + y} × 2^{3x - y} ÷ 3^{x} $ 的值是
18
。答案：12. 18 解析：因为$4^{x}=3,3^{y}=2$，所以$6^{x+y}×2^{3x-y}÷3^{x}=6^{x}×6^{y}×2^{3x}÷2^{y}÷3^{x}=2^{x}×3^{x}×2^{y}×3^{y}×(2^{x})^{3}÷2^{y}÷3^{x}=2^{x}×3^{y}×(2^{x})^{3}=(4^{x})^{2}×3^{y}=9×2=18$.
解析：
$6^{x + y} × 2^{3x - y} ÷ 3^{x}$
$=6^{x} × 6^{y} × 2^{3x} ÷ 2^{y} ÷ 3^{x}$
$=(2×3)^{x} × (2×3)^{y} × (2^{x})^{3} ÷ 2^{y} ÷ 3^{x}$
$=2^{x} × 3^{x} × 2^{y} × 3^{y} × (2^{x})^{3} ÷ 2^{y} ÷ 3^{x}$
$=2^{x} × 3^{y} × (2^{x})^{3}$
$=(2^{x})^{4} × 3^{y}$
$=(4^{x})^{2} × 3^{y}$
因为$4^{x}=3$，$3^{y}=2$，所以原式$=3^{2} × 2 = 9×2=18$
$=6^{x} × 6^{y} × 2^{3x} ÷ 2^{y} ÷ 3^{x}$
$=(2×3)^{x} × (2×3)^{y} × (2^{x})^{3} ÷ 2^{y} ÷ 3^{x}$
$=2^{x} × 3^{x} × 2^{y} × 3^{y} × (2^{x})^{3} ÷ 2^{y} ÷ 3^{x}$
$=2^{x} × 3^{y} × (2^{x})^{3}$
$=(2^{x})^{4} × 3^{y}$
$=(4^{x})^{2} × 3^{y}$
因为$4^{x}=3$，$3^{y}=2$，所以原式$=3^{2} × 2 = 9×2=18$
13. 新情境 风力发电因其既可再生又不破坏生态环境的特点，深受各国欢迎，并被大规模推广和实施，据统计，我国 2025 年上半年全国风力发电量为 $ 5.5 × 10^{11} $ 度，若某市有 40 万户居民，平均每户年用电量是 $ 2.75 × 10^{3} $ 度，那么我国 2025 年上半年由风力所发的电量可供该市居民使用多少年？
答案：13. 该市居民一年的用电量为$2.75×10^{3}×4×10^{5}=1.1×10^{9}$(度)，$(5.5×10^{11})÷(1.1×10^{9})=(5.5÷1.1)×10^{11-9}=500$（年）. 故我国 2025 年上半年由风力所发的电量可供该市居民使用 500 年.
14. (2025·巴中期中) 已知 $ 2^{a} = 3 $，$ 2^{b} = 5 $，$ 2^{c} = 75 $。
(1) 求 $ 2^{c + b - a} $ 的值；
(2) 试说明：$ c = a + 2b $。
(1) 求 $ 2^{c + b - a} $ 的值；
(2) 试说明：$ c = a + 2b $。
答案：14. (1)因为$2^{a}=3,2^{b}=5,2^{c}=75$，所以$2^{a+b-a}=2^{c}×2^{b}÷2^{a}=75×5÷3=125$.
(2)因为$2^{a+2b}=2^{a}×2^{2b}=2^{a}×(2^{b})^{2}=3×5^{2}=75,2^{c}=75$，所以$2^{a+2b}=2^{c}$，所以$c=a+2b$.
(2)因为$2^{a+2b}=2^{a}×2^{2b}=2^{a}×(2^{b})^{2}=3×5^{2}=75,2^{c}=75$，所以$2^{a+2b}=2^{c}$，所以$c=a+2b$.
15. 新题型 新运算 (2025·吉安月考) 用“$ \cup $”“$ ∩ $”定义两种新运算：对于两个数 $ a $，$ b $，规定 $ a \cup b = 10^{a} × 10^{b} $，$ a ∩ b = 10^{a} ÷ 10^{b} $。例如：$ 3 \cup 2 = 10^{3} × 10^{2} = 10^{5} $；$ 3 ∩ 2 = 10^{3} ÷ 10^{2} = 10 $。
(1) 求 $ 1043 \cup 983 $ 的值；
(2) 求 $ 2026 ∩ 2024 $ 的值；
(3) 当 $ x $ 为何值时，$ x \cup 5 $ 的值与 $ 23 ∩ 17 $ 的值相等？
(1) 求 $ 1043 \cup 983 $ 的值；
(2) 求 $ 2026 ∩ 2024 $ 的值；
(3) 当 $ x $ 为何值时，$ x \cup 5 $ 的值与 $ 23 ∩ 17 $ 的值相等？
答案：15. (1)$1043\cup 983=10^{1043}×10^{983}=10^{2026}$.
(2)$2026∩ 2024=10^{2026}÷10^{2024}=10^{2}=100$.
(3)由题意得$x\cup 5=23∩ 17$，则$10^{x}×10^{5}=10^{23}÷10^{17}$，所以$10^{5+x}=10^{6}$，即$5+x=6$，解得$x=1$.
(2)$2026∩ 2024=10^{2026}÷10^{2024}=10^{2}=100$.
(3)由题意得$x\cup 5=23∩ 17$，则$10^{x}×10^{5}=10^{23}÷10^{17}$，所以$10^{5+x}=10^{6}$，即$5+x=6$，解得$x=1$.
16. (1) 若 $ 3^{2} × 9^{2n + 1} ÷ 27^{n + 1} = 81 $，则 $ n = $
(2) 已知 $ 8^{m - 1} × 2^{2m - 1} ÷ 4^{m} = 32 $，则 $ m^{2025} $ 的个位数字是
3
；(2) 已知 $ 8^{m - 1} × 2^{2m - 1} ÷ 4^{m} = 32 $，则 $ m^{2025} $ 的个位数字是
3
。答案：16. (1)3 解析：因为$3^{2}×9^{2n+1}÷27^{n+1}=3^{2}×(3^{2})^{2n+1}÷(3^{3})^{n+1}=3^{2}×3^{4n+2}÷3^{3n+3}=3^{2+4n+2-(3n+3)}=3^{n+1},81=3^{4}$，所以$n+1=4,n=3$.
(2)3 解析：由题意得$2^{3m-3}×2^{2m-1}÷2^{2m}=2^{5}$，所以$2^{3m-4}=2^{5}$，所以$3m-4=5$，解得$m=3$. 因为$3^{1}=3,3^{2}=9,3^{3}=27,3^{4}=81,3^{5}=243,... ,2025÷4=506... ... 1$，所以个位数字为 3.
(2)3 解析：由题意得$2^{3m-3}×2^{2m-1}÷2^{2m}=2^{5}$，所以$2^{3m-4}=2^{5}$，所以$3m-4=5$，解得$m=3$. 因为$3^{1}=3,3^{2}=9,3^{3}=27,3^{4}=81,3^{5}=243,... ,2025÷4=506... ... 1$，所以个位数字为 3.
17. 已知 $ k^{a} = 4 $，$ k^{b} = 6 $，$ k^{c} = 9 $，$ \dfrac{6^{a - 2}}{3^{b + c}} = 2^{b + c} $，求 $ 9^{a} ÷ 27^{b} $ 的值。
答案：17. 因为$k^{a}=4,k^{b}=6,k^{c}=9$，所以$k^{a}· k^{c}=k^{b}· k^{b}$，所以$k^{a+c}=k^{2b}$，所以$c=2b-a$. 因为$\frac {6^{a-2}}{3^{b+c}}=2^{b+c}$，所以$2^{b+c}· 3^{b+c}=6^{a-2}$，所以$(2×3)^{b+c}=6^{a-2}$，所以$c=a-b-2$，所以$2b-a=a-b-2$，所以$2a-3b=2$，所以$9^{a}÷27^{b}=(3^{2})^{a}÷(3^{3})^{b}=3^{2a}÷3^{3b}=3^{2a-3b}=3^{2}=9$.
解析：
因为$k^{a}=4$，$k^{b}=6$，$k^{c}=9$，所以$k^{a}·k^{c}=4×9=36$，$k^{b}·k^{b}=6×6=36$，则$k^{a}·k^{c}=k^{b}·k^{b}$，即$k^{a+c}=k^{2b}$，所以$a+c=2b$，故$c=2b - a$。
因为$\dfrac{6^{a - 2}}{3^{b + c}} = 2^{b + c}$，所以$6^{a - 2}=2^{b + c}·3^{b + c}=(2×3)^{b + c}=6^{b + c}$，因此$a - 2 = b + c$，即$c = a - b - 2$。
由$c = 2b - a$和$c = a - b - 2$可得$2b - a = a - b - 2$，移项得$2a - 3b = 2$。
$9^{a}÷27^{b}=(3^{2})^{a}÷(3^{3})^{b}=3^{2a}÷3^{3b}=3^{2a - 3b}=3^{2}=9$。
故答案为$9$。
因为$\dfrac{6^{a - 2}}{3^{b + c}} = 2^{b + c}$，所以$6^{a - 2}=2^{b + c}·3^{b + c}=(2×3)^{b + c}=6^{b + c}$，因此$a - 2 = b + c$，即$c = a - b - 2$。
由$c = 2b - a$和$c = a - b - 2$可得$2b - a = a - b - 2$，移项得$2a - 3b = 2$。
$9^{a}÷27^{b}=(3^{2})^{a}÷(3^{3})^{b}=3^{2a}÷3^{3b}=3^{2a - 3b}=3^{2}=9$。
故答案为$9$。