10. (2025·齐齐哈尔中考)为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织$900$名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用$45$座和$60$座两种客车(两种客车都要租)，若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有(
A.$3$种
B.$4$种
C.$5$种
D.$6$种
B
)A.$3$种
B.$4$种
C.$5$种
D.$6$种
答案：10. B 解析：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，由题意得$45x+60y=900$，所以$x=\frac{60-4y}{3}$.因为x，y均为正整数，所以当$y=3$时，$x=16$；当$y=6$时，$x=12$；当$y=9$时，$x=8$；当$y=12$时，$x=4$.综上，共有4组满足条件的正整数解，对应4种租车方案.故选 B.
11. 若方程$(m + 2n)x^{|m| + n}=3y^{n + 2}+4$是二元一次方程，则$mn$的值为
2
。答案：11. 2 解析：因为方程$(m+2n)x^{|m|+n}=3y^{n+2}+4$是二元一次方程，所以$|m|+n=1$，$n+2=1$且$m+2n≠0$，解得$m=-2$，$n=-1$，所以$mn=-2×(-1)=2$.
解析：
因为方程$(m + 2n)x^{|m| + n}=3y^{n + 2}+4$是二元一次方程，所以$|m| + n = 1$，$n + 2 = 1$且$m + 2n ≠ 0$。
由$n + 2 = 1$，解得$n = -1$。
将$n = -1$代入$|m| + n = 1$，得$|m| - 1 = 1$，即$|m| = 2$，所以$m = \pm 2$。
当$m = 2$，$n = -1$时，$m + 2n = 2 + 2×(-1) = 0$，不符合$m + 2n ≠ 0$，舍去。
当$m = -2$，$n = -1$时，$m + 2n = -2 + 2×(-1) = -4 ≠ 0$，符合条件。
所以$m = -2$，$n = -1$，则$mn = (-2)×(-1) = 2$。
2
由$n + 2 = 1$，解得$n = -1$。
将$n = -1$代入$|m| + n = 1$，得$|m| - 1 = 1$，即$|m| = 2$，所以$m = \pm 2$。
当$m = 2$，$n = -1$时，$m + 2n = 2 + 2×(-1) = 0$，不符合$m + 2n ≠ 0$，舍去。
当$m = -2$，$n = -1$时，$m + 2n = -2 + 2×(-1) = -4 ≠ 0$，符合条件。
所以$m = -2$，$n = -1$，则$mn = (-2)×(-1) = 2$。
2
12. (1)若$\begin{cases}x = a,\\y = b\end{cases}$是方程$3x + y = 3$的解，则代数式$3a(3a + 2b + 2)+(b + 1)^{2}$的值为 ______ 。
(2)已知$\begin{cases}x = 1,\\y = m,\end{cases}\begin{cases}x = n,\\y = 2\end{cases}$都是关于$x$，$y$的二元一次方程$y = x + b$的解，且$m - n = b^{2}+2b - 5$，则$b =$ ______ 。
(2)已知$\begin{cases}x = 1,\\y = m,\end{cases}\begin{cases}x = n,\\y = 2\end{cases}$都是关于$x$，$y$的二元一次方程$y = x + b$的解，且$m - n = b^{2}+2b - 5$，则$b =$ ______ 。
答案：12. (1)16 解析：因为$\{\begin{array}{l} x=a,\\ y=b\end{array} $是二元一次方程$3x+y=3$的解，所以$3a+b=3$，所以$3a=3-b$，所以$3a(3a+2b+2)+(b+1)^{2}=(3-b)(3-b+2b+2)+(b+1)^{2}=(3-b)(5+b)+(b+1)^{2}=15-2b-b^{2}+b^{2}+2b+1=16$.
(2)$\pm 2$ 解析：因为$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=m,\end{array} \{\begin{array}{l} x=n,\\ y=2\end{array} $都是关于x，y的二元一次方程$y=x+b$的解，所以$\{\begin{array}{l} m=1+b,\\ 2=n+b,\end{array} $即$\{\begin{array}{l} m=1+b,\\ n=2-b,\end{array} $所以$m-n=2b-1$.又因为$m-n=b^{2}+2b-5$，所以$b^{2}+2b-5=2b-1$.化简得$b^{2}=4$，所以$b=\pm 2$.
(2)$\pm 2$ 解析：因为$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=m,\end{array} \{\begin{array}{l} x=n,\\ y=2\end{array} $都是关于x，y的二元一次方程$y=x+b$的解，所以$\{\begin{array}{l} m=1+b,\\ 2=n+b,\end{array} $即$\{\begin{array}{l} m=1+b,\\ n=2-b,\end{array} $所以$m-n=2b-1$.又因为$m-n=b^{2}+2b-5$，所以$b^{2}+2b-5=2b-1$.化简得$b^{2}=4$，所以$b=\pm 2$.
13. 新题型 新运算 定义$a☆b = 2a - b$，例如：$3☆(-1)=2×3 - (-1)=7$。若$a☆b = 0$，且关于$x$，$y$的二元一次方程$(a - 1)x + by + 5 - 2a = 0$，当$a$，$b$取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为。
答案：13. $\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=-\frac{3}{2}\end{array} $ 解析：因为$a☆b=2a-b$，$a☆b=0$，所以$2a-b=0$，即$b=2a$，则方程$(a-1)x+by+5-2a=0$可转化为$ax-x+2ay-2a+5=0$，整理，得$(x+2y-2)a+(5-x)=0$.因为当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，所以$5-x=0$且$x+2y-2=0$，解得$x=5$，$5+2y-2=0$，解得$y=-\frac{3}{2}$.所以这个公共解为$\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=-\frac{3}{2}\end{array} $.
解析：
因为$a☆b = 2a - b$，且$a☆b = 0$，所以$2a - b = 0$，即$b = 2a$。
将$b = 2a$代入方程$(a - 1)x + by + 5 - 2a = 0$，得：
$(a - 1)x + 2ay + 5 - 2a = 0$
整理可得：
$ax - x + 2ay - 2a + 5 = 0$
$a(x + 2y - 2) + (5 - x) = 0$
因为当$a$，$b$取不同值时，方程都有一个公共解，所以$a$的系数和常数项都必须为$0$，即：
$\begin{cases}x + 2y - 2 = 0 \\5 - x = 0\end{cases}$
由$5 - x = 0$，解得$x = 5$。
将$x = 5$代入$x + 2y - 2 = 0$，得：
$5 + 2y - 2 = 0$
$2y = -3$
$y = -\frac{3}{2}$
所以这个公共解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = -\frac{3}{2} \end{cases}$。
将$b = 2a$代入方程$(a - 1)x + by + 5 - 2a = 0$，得：
$(a - 1)x + 2ay + 5 - 2a = 0$
整理可得：
$ax - x + 2ay - 2a + 5 = 0$
$a(x + 2y - 2) + (5 - x) = 0$
因为当$a$，$b$取不同值时，方程都有一个公共解，所以$a$的系数和常数项都必须为$0$，即：
$\begin{cases}x + 2y - 2 = 0 \\5 - x = 0\end{cases}$
由$5 - x = 0$，解得$x = 5$。
将$x = 5$代入$x + 2y - 2 = 0$，得：
$5 + 2y - 2 = 0$
$2y = -3$
$y = -\frac{3}{2}$
所以这个公共解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = -\frac{3}{2} \end{cases}$。
14. 已知$\begin{cases}x = m + 2,\\y = \frac{5 - m}{2}.\end{cases}$
(1)用含$x$的代数式表示$y$。
(2)如果$x$，$y$为自然数，那么$x$，$y$的值分别为多少？
(3)如果$x$，$y$为整数，求$(-2)^{x}·4^{y}$的值。
(1)用含$x$的代数式表示$y$。
(2)如果$x$，$y$为自然数，那么$x$，$y$的值分别为多少？
(3)如果$x$，$y$为整数，求$(-2)^{x}·4^{y}$的值。
答案：14. (1)由$x=m+2$，得$m=x-2$，代入$y=\frac{5-m}{2}$，得$y=\frac{5-(x-2)}{2}=\frac{7-x}{2}$.
(2)$x=1$时，$y=3$；$x=3$时，$y=2$；$x=5$时，$y=1$；$x=7$时，$y=0$.
(3)$x+2y=m+2+5-m=7$，则$(-2)^{x}· 4^{y}=(-2)^{x+2y}=(-2)^{7}=-128$.
(2)$x=1$时，$y=3$；$x=3$时，$y=2$；$x=5$时，$y=1$；$x=7$时，$y=0$.
(3)$x+2y=m+2+5-m=7$，则$(-2)^{x}· 4^{y}=(-2)^{x+2y}=(-2)^{7}=-128$.
15. 北魏数学家张丘建被称为“算圣”，他所著的《张丘建算经》涉及了各种计算问题。其中有一道百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何”。译文：已知公鸡$1$只值$5$钱，母鸡$1$只值$3$钱，小鸡$3$只值$1$钱，又知用$100$钱买到鸡共$100$只，问三种鸡各买了多少只？若设公鸡买了$x$只，则下列各值中$x$不能取(
A.$4$
B.$8$
C.$12$
D.$16$
D
)A.$4$
B.$8$
C.$12$
D.$16$
答案：15. D 解析：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了$(100-x-y)$只小鸡，依题意得$5x+3y+\frac{1}{3}(100-x-y)=100$，所以$y=25-\frac{7}{4}x$.又因为x，y，$(100-x-y)$均为自然数，所以$\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=25,\\ 100-x-y=75\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=18,\\ 100-x-y=78\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=8,\\ y=11,\\ 100-x-y=81\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=12,\\ y=4,\\ 100-x-y=84,\end{array} $所以买的公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为0，25，75或4，18，78或8，11，81或12，4，84.故选 D.
16. 新题型 新定义 对于任意一个三位数$m$，将个位数字和百位数字对调后得到新的三位数$n$，记$P=\frac{m - n}{22}$，若$P$为整数，则称$m$为“有趣数”，此时的$P$值称为$m$的“有趣值”。例如：$432$对调后的三位数为$234$，则$P=\frac{432 - 234}{22}=9$，因为$9$为整数，所以$432$为“有趣数”。
(1)试判断$826$，$326$是否为“有趣数”；
(2)若$f$和$s$都是“有趣数”，且满足$f = 100x + 42$，$s = 120 + y$（$1≤ x≤9$，$1≤ y≤9$，且$x$，$y$均为整数），把$f$和$s$的“有趣值”分别记为$P_{1}$和$P_{2}$，满足$P_{1}-2P_{2}=36$，求出满足条件的三位数$f$和$s$。
(1)试判断$826$，$326$是否为“有趣数”；
(2)若$f$和$s$都是“有趣数”，且满足$f = 100x + 42$，$s = 120 + y$（$1≤ x≤9$，$1≤ y≤9$，且$x$，$y$均为整数），把$f$和$s$的“有趣值”分别记为$P_{1}$和$P_{2}$，满足$P_{1}-2P_{2}=36$，求出满足条件的三位数$f$和$s$。
答案：16. (1)$P=\frac{826-628}{22}=9$，因为9为整数，所以826为“有趣数”；$P=\frac{326-623}{22}=-13.5$，因为-13.5不是整数，所以326不是“有趣数”.
(2)因为$f=100x+42$，$s=120+y(1 ≤ x ≤ 9,1 ≤ y ≤ 9$，且x，y均为整数)，f和s的“有趣值”分别记为$P_{1}$和$P_{2}$，所以$P_{1}=\frac{100x+42-(240+x)}{22}=\frac{99x-198}{22}=\frac{9(x-2)}{2}$，$P_{2}=\frac{120+y-(100y+21)}{22}=\frac{99-99y}{22}=\frac{9(1-y)}{2}$.因为$P_{1}-2P_{2}=36$，所以$\frac{9(x-2)}{2}-2 × \frac{9(1-y)}{2}=36$，整理可得$x+2y=12$.因为$1 ≤ x ≤ 9,1 ≤ y ≤ 9$，且x，y均为整数，所以$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=5\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=4\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=3\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=8,\\ y=2\end{array} $.将$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=5\end{array} $代入，可得$P_{1}=\frac{9 × (2-2)}{2}=0$，$P_{2}=\frac{9 × (1-5)}{2}=-18$，符合题意，所以$\{\begin{array}{l} f=242,\\ s=125;\end{array} $将$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=4\end{array} $代入，可得$P_{1}=\frac{9 × (4-2)}{2}=9$，$P_{2}=\frac{9 × (1-4)}{2}=-13.5$，-13.5不是整数，不符合题意；将$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=3\end{array} $代入，可得$P_{1}=\frac{9 × (6-2)}{2}=18$，$P_{2}=\frac{9 × (1-3)}{2}=-9$，符合题意，所以$\{\begin{array}{l} f=642,\\ s=123;\end{array} $将$\{\begin{array}{l} x=8,\\ y=2\end{array} $代入，可得$P_{1}=\frac{9 × (8-2)}{2}=27$，$P_{2}=\frac{9 × (1-2)}{2}=-4.5$，-4.5不是整数，不符合题意.所以满足条件的三位数f和s分别为$\{\begin{array}{l} f=242,\\ s=125\end{array} $和$\{\begin{array}{l} f=642,\\ s=123\end{array} $.
(2)因为$f=100x+42$，$s=120+y(1 ≤ x ≤ 9,1 ≤ y ≤ 9$，且x，y均为整数)，f和s的“有趣值”分别记为$P_{1}$和$P_{2}$，所以$P_{1}=\frac{100x+42-(240+x)}{22}=\frac{99x-198}{22}=\frac{9(x-2)}{2}$，$P_{2}=\frac{120+y-(100y+21)}{22}=\frac{99-99y}{22}=\frac{9(1-y)}{2}$.因为$P_{1}-2P_{2}=36$，所以$\frac{9(x-2)}{2}-2 × \frac{9(1-y)}{2}=36$，整理可得$x+2y=12$.因为$1 ≤ x ≤ 9,1 ≤ y ≤ 9$，且x，y均为整数，所以$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=5\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=4\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=3\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=8,\\ y=2\end{array} $.将$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=5\end{array} $代入，可得$P_{1}=\frac{9 × (2-2)}{2}=0$，$P_{2}=\frac{9 × (1-5)}{2}=-18$，符合题意，所以$\{\begin{array}{l} f=242,\\ s=125;\end{array} $将$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=4\end{array} $代入，可得$P_{1}=\frac{9 × (4-2)}{2}=9$，$P_{2}=\frac{9 × (1-4)}{2}=-13.5$，-13.5不是整数，不符合题意；将$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=3\end{array} $代入，可得$P_{1}=\frac{9 × (6-2)}{2}=18$，$P_{2}=\frac{9 × (1-3)}{2}=-9$，符合题意，所以$\{\begin{array}{l} f=642,\\ s=123;\end{array} $将$\{\begin{array}{l} x=8,\\ y=2\end{array} $代入，可得$P_{1}=\frac{9 × (8-2)}{2}=27$，$P_{2}=\frac{9 × (1-2)}{2}=-4.5$，-4.5不是整数，不符合题意.所以满足条件的三位数f和s分别为$\{\begin{array}{l} f=242,\\ s=125\end{array} $和$\{\begin{array}{l} f=642,\\ s=123\end{array} $.