10. (2025·无锡校级月考)如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根铁棒的$\frac{1}{3}$露出水面，另一根铁棒的$\frac{1}{4}$露出水面。两根铁棒的长度之和为$34cm$，此时木桶中水的深度是
12
$cm$。答案：10. 12 解析：设较长铁棒的长度为$x$cm，较短铁棒的长度为$y$cm，由题意，得$\{\begin{array}{l} x+y=34,\\ \frac {2}{3}x=\frac {3}{4}y,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=18,\\ y=16.\end{array} $因此木桶中水的深度为$18×\frac {2}{3}=12(cm)$。
解析：
设较长铁棒的长度为$x$cm，较短铁棒的长度为$y$cm。
由题意，得$\begin{cases}x + y = 34\\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}y\end{cases}$
解方程组：
由$\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}y$，得$8x = 9y$，即$x=\frac{9}{8}y$。
将$x=\frac{9}{8}y$代入$x + y = 34$，得$\frac{9}{8}y + y=34$，$\frac{17}{8}y = 34$，$y = 16$。
则$x=34 - 16=18$。
木桶中水的深度为$\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}×18 = 12$cm。
12
由题意，得$\begin{cases}x + y = 34\\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}y\end{cases}$
解方程组：
由$\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}y$，得$8x = 9y$，即$x=\frac{9}{8}y$。
将$x=\frac{9}{8}y$代入$x + y = 34$，得$\frac{9}{8}y + y=34$，$\frac{17}{8}y = 34$，$y = 16$。
则$x=34 - 16=18$。
木桶中水的深度为$\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}×18 = 12$cm。
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11. 用代入法解方程组：
(1)$\begin{cases}2x - 5y = 6, \\ 2x - 8y + 9 = 3;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{x}{3} = \frac{y}{5}, \\ 3x + 4y = 58;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}3(x + y) - 4(x - y) = 4, \\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 1.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}2x - 5y = 6, \\ 2x - 8y + 9 = 3;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{x}{3} = \frac{y}{5}, \\ 3x + 4y = 58;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}3(x + y) - 4(x - y) = 4, \\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{6} = 1.\end{cases}$
答案：11. (1)$\{\begin{array}{l} 2x-5y=6,①\\ 2x-8y+9=3,②\end{array} $由①得$2x=6+5y$ ③，将③代入②，得$6+5y-8y+9=3$，整理得$-3y=-12$，解得$y=4$，把$y=4$代入①，得$2x-5×4=6$，解得$x=13$，所以原方程组的解是$\{\begin{array}{l} x=13,\\ y=4.\end{array} $
(2)$\{\begin{array}{l} \frac {x}{3}=\frac {y}{5},①\\ 3x+4y=58,②\end{array} $
解法1：由①得$x=\frac {3}{5}y$ ③
把③代入②，得$\frac {9}{5}y+4y=58$，解得$y=10$。把$y=10$代入③，得$x=6$。所以原方程组的解是$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=10.\end{array} $
解法2：设$\frac {x}{3}=\frac {y}{5}=k$，则$x=3k$，$y=5k$。把$x=3k$，$y=5k$代入方程②，得$3×3k+4×5k=58$。解得$k=2$。把$k=2$分别代入$x=3k$，$y=5k$，得$x=6$，$y=10$。所以原方程组的解是$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=10.\end{array} $
(3)方程组整理，得$\{\begin{array}{l} -x+7y=4,①\\ 2x+y=3,②\end{array} $由①，得$x=7y-4$ ③，把③代入②，得$2(7y-4)+y=3$，解得$y=\frac {11}{15}$。把$y=\frac {11}{15}$代入③，得$x=\frac {17}{15}$。所以原方程组的解是$\{\begin{array}{l} x=\frac {17}{15},\\ y=\frac {11}{15}.\end{array} $
(2)$\{\begin{array}{l} \frac {x}{3}=\frac {y}{5},①\\ 3x+4y=58,②\end{array} $
解法1：由①得$x=\frac {3}{5}y$ ③
把③代入②，得$\frac {9}{5}y+4y=58$，解得$y=10$。把$y=10$代入③，得$x=6$。所以原方程组的解是$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=10.\end{array} $
解法2：设$\frac {x}{3}=\frac {y}{5}=k$，则$x=3k$，$y=5k$。把$x=3k$，$y=5k$代入方程②，得$3×3k+4×5k=58$。解得$k=2$。把$k=2$分别代入$x=3k$，$y=5k$，得$x=6$，$y=10$。所以原方程组的解是$\{\begin{array}{l} x=6,\\ y=10.\end{array} $
(3)方程组整理，得$\{\begin{array}{l} -x+7y=4,①\\ 2x+y=3,②\end{array} $由①，得$x=7y-4$ ③，把③代入②，得$2(7y-4)+y=3$，解得$y=\frac {11}{15}$。把$y=\frac {11}{15}$代入③，得$x=\frac {17}{15}$。所以原方程组的解是$\{\begin{array}{l} x=\frac {17}{15},\\ y=\frac {11}{15}.\end{array} $
12. 七年级学生有若干人报名参加课外活动小组，其中男、女生人数之比为$4:3$，后来又报名了$15$名女生，这时报名的女生人数恰好是男生人数的$2$倍，求最初报名时男生与女生各有多少人。
答案：12. 设最初报名时女生有$x$人，男生有$y$人，依题意得$\{\begin{array}{l} 4x=3y,\\ x+15=2y,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=9,\\ y=12.\end{array} $答：最初报名时男生有12人，女生有9人。
13. (2025·滨州期中)已知$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，…，$x_{55}$中每一个数值只能取$2$，$0$，$-1$中的一个，且满足$x_{1} + x_{2} + x_{3} + ··· + x_{55} = -19$，$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + ··· + x_{55}^{2} = 55$，则$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，…，$x_{55}$中$0$的个数是 (
A.$20$
B.$19$
C.$18$
D.$17$
C
)A.$20$
B.$19$
C.$18$
D.$17$
答案：13. C 解析：设有$p$个数取$-1$，$q$个数取2，有$\{\begin{array}{l} -p+2q=-19,\\ p+4q=55,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} p=31,\\ q=6,\end{array} $所以0的个数是$55-31-6=18$。故选C。
14. 观察发现：
解方程组$\begin{cases}x + y = 4, &① \\ 3(x + y) + y = 14, &②\end{cases}$
将①整体代入②，得$3×4 + y = 14$，解得$y = 2$。
将$y = 2$代入①，解得$x = 2$，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = 2, \\ y = 2.\end{cases}$
这种解法称为“整体代入法”，很多方程组可采用此方法求解。
(1)方程组$\begin{cases}x - y - 1 = 0, &① \\ 4(x - y) - y = 5 &②\end{cases}$的解为 ______ 。
(2)利用“整体代入法”解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5, &① \\ 9x - 4y = 19. &②\end{cases}$
(3)已知$m$，$n$满足方程组$\begin{cases}6m^{2} + 3mn - 3n^{2} = 23, \\ 5m^{2} + 2mn - n^{2} = 19,\end{cases}$求$m^{2} + n^{2}$的值。
解方程组$\begin{cases}x + y = 4, &① \\ 3(x + y) + y = 14, &②\end{cases}$
将①整体代入②，得$3×4 + y = 14$，解得$y = 2$。
将$y = 2$代入①，解得$x = 2$，
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = 2, \\ y = 2.\end{cases}$
这种解法称为“整体代入法”，很多方程组可采用此方法求解。
(1)方程组$\begin{cases}x - y - 1 = 0, &① \\ 4(x - y) - y = 5 &②\end{cases}$的解为 ______ 。
(2)利用“整体代入法”解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 5, &① \\ 9x - 4y = 19. &②\end{cases}$
(3)已知$m$，$n$满足方程组$\begin{cases}6m^{2} + 3mn - 3n^{2} = 23, \\ 5m^{2} + 2mn - n^{2} = 19,\end{cases}$求$m^{2} + n^{2}$的值。
答案：14. (1)$\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=-1\end{array} $解析：由①，得$x-y=1$，代入②，得$4×1-y=5$，解得$y=-1$，将$y=-1$代入①，得$x=0$，则原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=-1.\end{array} $
(2)把方程②变形为$3(3x-2y)+2y=19$ ③，把①代入③，得$15+2y=19$，解得$y=2$，把$y=2$代入①，得$x=3$，则原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=2.\end{array} $
(3)$\{\begin{array}{l} 6m^{2}+3mn-3n^{2}=23,①\\ 5m^{2}+2mn-n^{2}=19,②\end{array} $将①变形得$\frac {3}{2}(5m^{2}+2mn-n^{2})-\frac {3}{2}m^{2}-\frac {3}{2}n^{2}=23$ ③，把方程②代入③得$\frac {3}{2}×19-\frac {3}{2}(m^{2}+n^{2})=23$，则$m^{2}+n^{2}=\frac {11}{3}$。
(2)把方程②变形为$3(3x-2y)+2y=19$ ③，把①代入③，得$15+2y=19$，解得$y=2$，把$y=2$代入①，得$x=3$，则原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=2.\end{array} $
(3)$\{\begin{array}{l} 6m^{2}+3mn-3n^{2}=23,①\\ 5m^{2}+2mn-n^{2}=19,②\end{array} $将①变形得$\frac {3}{2}(5m^{2}+2mn-n^{2})-\frac {3}{2}m^{2}-\frac {3}{2}n^{2}=23$ ③，把方程②代入③得$\frac {3}{2}×19-\frac {3}{2}(m^{2}+n^{2})=23$，则$m^{2}+n^{2}=\frac {11}{3}$。