5. 已知关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}a(x + 2y) - by = 6,\\ax + b(2x - y) = 6,\end{cases}$ 其中 $x,y$ 满足 $\begin{cases}x + y = 1,\\x + 3y = -1,\end{cases}$ 求 $a,b$ 的值.
答案：5. 因为 $ \begin{cases} x + y = 1, & ① \\ x + 3y = -1, & ② \end{cases} $ ② - ①，得 $ 2y = -2 $，解得 $ y = -1 $，把 $ y = -1 $ 代入 ①，得 $ x = 2 $，所以方程组的解为 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = -1. \end{cases} $ 将 $ \begin{cases} x = 2, \\ y = -1 \end{cases} $ 代入方程组 $ \begin{cases} a(x + 2y) - by = 6, \\ ax + b(2x - y) = 6, \end{cases} $ 得 $ \begin{cases} b = 6, \\ 2a + 5b = 6, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -12, \\ b = 6. \end{cases} $
解析：
解：解方程组$\begin{cases}x + y = 1, \\ x + 3y = -1,\end{cases}$
② - ①，得$2y=-2$，解得$y=-1$，
把$y=-1$代入①，得$x=2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\ y=-1.\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}a(x + 2y)-by=6, \\ ax + b(2x - y)=6,\end{cases}$
得$\begin{cases}a(2 + 2×(-1)) - b×(-1)=6, \\ a×2 + b(2×2 - (-1))=6,\end{cases}$
化简得$\begin{cases}b=6, \\ 2a + 5b=6,\end{cases}$
把$b=6$代入$2a + 5b=6$，得$2a + 30=6$，解得$a=-12$，
所以$\begin{cases}a=-12, \\ b=6.\end{cases}$
② - ①，得$2y=-2$，解得$y=-1$，
把$y=-1$代入①，得$x=2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\ y=-1.\end{cases}$
将$\begin{cases}x=2, \\ y=-1\end{cases}$代入$\begin{cases}a(x + 2y)-by=6, \\ ax + b(2x - y)=6,\end{cases}$
得$\begin{cases}a(2 + 2×(-1)) - b×(-1)=6, \\ a×2 + b(2×2 - (-1))=6,\end{cases}$
化简得$\begin{cases}b=6, \\ 2a + 5b=6,\end{cases}$
把$b=6$代入$2a + 5b=6$，得$2a + 30=6$，解得$a=-12$，
所以$\begin{cases}a=-12, \\ b=6.\end{cases}$
6. 小云发现方程 $x + 2y = 3$ ①和方程 $2x + 4y = 5$ ②不能得到一组公共解，这个问题激发了小云的兴趣，她进行了以下研究：
由②得 $x + 2y = 2.5$，而 $x + 2y$ 不可能同时等于 $3$ 和 $2.5$，故①和②不可能同时成立，也就是这两个方程没有公共解.
她得出结论并经过进一步思考后，提出了一个新问题：
在关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x + y = 1,\\ax - 2y = b\end{cases}$ 中，$a,b$ 满足什么条件时，这个方程组无解？
请同学们回答她提出的问题，并说明理由.
由②得 $x + 2y = 2.5$，而 $x + 2y$ 不可能同时等于 $3$ 和 $2.5$，故①和②不可能同时成立，也就是这两个方程没有公共解.
她得出结论并经过进一步思考后，提出了一个新问题：
在关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x + y = 1,\\ax - 2y = b\end{cases}$ 中，$a,b$ 满足什么条件时，这个方程组无解？
请同学们回答她提出的问题，并说明理由.
答案：6. $ \begin{cases} 2x + y = 1, & ① \\ ax - 2y = b, & ② \end{cases} $ ① × (-2)，得 $ -4x - 2y = -2 $，则当 $ a = -4 $ 且 $ b ≠ -2 $ 时，这个方程组无解。
解析：
解：$\begin{cases}2x + y = 1, & ① \\ ax - 2y = b, & ②\end{cases}$
①×2，得$4x + 2y = 2$ ③
②+③，得$(a + 4)x = b + 2$
当$a + 4 = 0$且$b + 2 ≠ 0$，即$a = -4$且$b ≠ -2$时，方程$(a + 4)x = b + 2$无解，原方程组无解。
故当$a = -4$且$b ≠ -2$时，这个方程组无解。
①×2，得$4x + 2y = 2$ ③
②+③，得$(a + 4)x = b + 2$
当$a + 4 = 0$且$b + 2 ≠ 0$，即$a = -4$且$b ≠ -2$时，方程$(a + 4)x = b + 2$无解，原方程组无解。
故当$a = -4$且$b ≠ -2$时，这个方程组无解。
7. 若关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}2x - 3ay = 4 + b,\\4x - (2a - 1)y = 18\end{cases}$ 有无数组解，试确定 $a,b$ 的值.
答案：7. 将方程 $ 2x - 3ay = 4 + b $ 两边同乘 2 后与方程 $ 4x - (2a - 1)y = 18 $ 相减，得 $ (-4a - 1)y = 2b - 10 $。因为方程组有无数组解，则有 $ -4a - 1 = 0,2b - 10 = 0 $，所以 $ a = -\frac{1}{4},b = 5 $。
解析：
解：将方程$2x - 3ay = 4 + b$两边同乘2，得$4x - 6ay = 8 + 2b$。
用$4x - (2a - 1)y = 18$减去上式，得：
$\begin{aligned}[4x - (2a - 1)y] - [4x - 6ay]&=18 - (8 + 2b)\\4x - (2a - 1)y - 4x + 6ay&=10 - 2b\\(-2a + 1 + 6a)y&=10 - 2b\\(4a + 1)y&=10 - 2b\end{aligned}$
因为方程组有无数组解，所以$\begin{cases}4a + 1 = 0\\10 - 2b = 0\end{cases}$
解得$a = -\frac{1}{4}$，$b = 5$。
综上，$a = -\frac{1}{4}$，$b = 5$。
用$4x - (2a - 1)y = 18$减去上式，得：
$\begin{aligned}[4x - (2a - 1)y] - [4x - 6ay]&=18 - (8 + 2b)\\4x - (2a - 1)y - 4x + 6ay&=10 - 2b\\(-2a + 1 + 6a)y&=10 - 2b\\(4a + 1)y&=10 - 2b\end{aligned}$
因为方程组有无数组解，所以$\begin{cases}4a + 1 = 0\\10 - 2b = 0\end{cases}$
解得$a = -\frac{1}{4}$，$b = 5$。
综上，$a = -\frac{1}{4}$，$b = 5$。
8. 已知 $m$ 是整数，方程组 $\begin{cases}x + 2y = 6,\\2x - 2y + mx = 8\end{cases}$ 有整数解，求 $m$ 的值.
答案：8. $ \begin{cases} x + 2y = 6, & ① \\ 2x - 2y + mx = 8, & ② \end{cases} $ ① + ②，得 $ 3x + mx = 14 $，所以 $ x = \frac{14}{3 + m} $，由 ① 得 $ y = 3 - \frac{x}{2} $，因为方程组有整数解，且 $ m $ 是整数，$ x $ 是偶数，所以 $ 3 + m = ±1 $ 或 $ 3 + m = ±7 $，所以 $ m = -2 $ 或 -4 或 -10 或 4。当 $ m = -2 $ 时，$ x = 14,y = -4 $，符合题意；当 $ m = -4 $ 时，$ x = -14,y = 10 $，符合题意；当 $ m = -10 $ 时，$ x = -2,y = 4 $，符合题意；当 $ m = 4 $ 时，$ x = 2,y = 2 $，符合题意。综上，整数 $ m $ 的值为 -2 或 -4 或 -10 或 4。
解析：
解：$\begin{cases} x + 2y = 6, & ① \\ 2x - 2y + mx = 8, & ② \end{cases}$
① + ②，得$3x + mx = 14$，即$x(3 + m) = 14$，所以$x = \frac{14}{3 + m}$。
由①得$y = \frac{6 - x}{2} = 3 - \frac{x}{2}$。
因为方程组有整数解，$m$是整数，所以$x$为整数且$x$是偶数，因此$3 + m$是14的因数，且$\frac{14}{3 + m}$为偶数。
14的因数有$±1, ±2, ±7, ±14$，又因为$x$是偶数，所以：
当$3 + m = ±1$时，$x = ±14$，是偶数，符合题意，此时$m = -2$或$m = -4$；
当$3 + m = ±7$时，$x = ±2$，是偶数，符合题意，此时$m = 4$或$m = -10$；
当$3 + m = ±2$时，$x = ±7$，不是偶数，舍去；
当$3 + m = ±14$时，$x = ±1$，不是偶数，舍去。
综上，$m$的值为$-2$或$-4$或$4$或$-10$。
① + ②，得$3x + mx = 14$，即$x(3 + m) = 14$，所以$x = \frac{14}{3 + m}$。
由①得$y = \frac{6 - x}{2} = 3 - \frac{x}{2}$。
因为方程组有整数解，$m$是整数，所以$x$为整数且$x$是偶数，因此$3 + m$是14的因数，且$\frac{14}{3 + m}$为偶数。
14的因数有$±1, ±2, ±7, ±14$，又因为$x$是偶数，所以：
当$3 + m = ±1$时，$x = ±14$，是偶数，符合题意，此时$m = -2$或$m = -4$；
当$3 + m = ±7$时，$x = ±2$，是偶数，符合题意，此时$m = 4$或$m = -10$；
当$3 + m = ±2$时，$x = ±7$，不是偶数，舍去；
当$3 + m = ±14$时，$x = ±1$，不是偶数，舍去。
综上，$m$的值为$-2$或$-4$或$4$或$-10$。