1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是(
A.$\begin{cases}3x + 2y = 4, \\ y + z = 5, \\ x^{2} + y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2, \\ 3x - 4y + z = -1, \\ x + z = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y + z = -2, \\ y - 3z = 5, \\ x + 7z = 9\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - y = 2, \\ y + 4x = 5, \\ 2x + y = 0\end{cases}$
C
)A.$\begin{cases}3x + 2y = 4, \\ y + z = 5, \\ x^{2} + y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 2, \\ 3x - 4y + z = -1, \\ x + z = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y + z = -2, \\ y - 3z = 5, \\ x + 7z = 9\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - y = 2, \\ y + 4x = 5, \\ 2x + y = 0\end{cases}$
答案：1. C 解析：A. 第三个方程中x的次数为2，不符合题意；B. 第一个方程不是整式方程，不符合题意；C. 此方程组为三元一次方程组，符合题意；D. 方程组只含有两个未知数，不符合题意. 故选C.
2. 解三元一次方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4, &① \\ 2x - y - z = 12, &② \\ x + y + 2z = 6, &③\end{cases}$若先消去$z$，组成关于$x$，$y$的方程组，则下列应对方程组进行的变形，其中正确的是( )
A.① - ②，② + ③
B.①×2 + ③，②×2 + ③
C.① + ②，②×2 + ③
D.① + ③，② + ③
A.① - ②，② + ③
B.①×2 + ③，②×2 + ③
C.① + ②，②×2 + ③
D.① + ③，② + ③
答案：2. C 解析：由题意知，①+②得，5x−2y=16，②×2+③得，5x−y=30，所以消去z，组成关于x，y的方程组为$\{\begin{array}{l} 5x-2y=16,\\ 5x-y=30,\end{array} $故选C.
3. 已知方程组$\begin{cases}5x + 3y + 2z = 2, &① \\ 2x - y = 7, &② \\ 3x - 4z = 4, &③\end{cases}$由②，得$y =$ ______ ④；由③，得$z =$ ______ ⑤；将④⑤代入①，得$x =$ ______ 。
答案：3. 2x−7 $\frac {3}{4}x-1$ 2 解析：2x−y=7变形可得y=2x−7，3x−4z=4变形可得$z=\frac {3}{4}x-1$，将④⑤代入①中得$5x+3(2x-7)+2(\frac {3}{4}x-1)=2$，解得x=2.
解析：
2x - 7；$\frac{3}{4}x - 1$；2
4. (2025·扬州校级月考)小川同学在学习方程组的过程中发现，三元一次方程组$\begin{cases}3x + 2y + z = 9, \\ 2x + 3y + 4z = 11\end{cases}$解不出$x$，$y$，$z$的具体数值，但可以解出$x + y + z$的值为 ______ 。
答案：4. 4 解析：$\{\begin{array}{l} 3x+2y+z=9,①\\ 2x+3y+4z=11,②\end{array} $①+②得5x+5y+5z=20，所以x+y+z=4.
解析：
$\begin{cases}3x + 2y + z = 9,① \\ 2x + 3y + 4z = 11,②\end{cases}$
①+②得：$5x + 5y + 5z = 20$
两边同时除以5得：$x + y + z = 4$
4
①+②得：$5x + 5y + 5z = 20$
两边同时除以5得：$x + y + z = 4$
4
5. 解三元一次方程组：
(1) $\begin{cases}x + 2y = 3, \\ 2y = 3z, \\ x - z = -1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}a + b + c = 1, \\ a - b + c = 5, \\ 4a + 2b + c = 2;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}2x + y = 29, \\ 2y + z = 29, \\ 2z + x = 32;\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x : y = 2 : 3, \\ x : z = 5 : 4, \\ x + y + z = 33.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}x + 2y = 3, \\ 2y = 3z, \\ x - z = -1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}a + b + c = 1, \\ a - b + c = 5, \\ 4a + 2b + c = 2;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}2x + y = 29, \\ 2y + z = 29, \\ 2z + x = 32;\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x : y = 2 : 3, \\ x : z = 5 : 4, \\ x + y + z = 33.\end{cases}$
答案：5. (1)$\{\begin{array}{l} x+2y=3,①\\ 2y=3z,②\\ x-z=-1,③\end{array} $由①−②，得x=3−3z ④，将④代入③，得3−3z−z=−1，解得z=1，将z=1代入④，得x=0，将x=0代入①，得y=1.5，所以该方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=1.5,\\ z=1.\end{array} $
(2)$\{\begin{array}{l} a+b+c=1,①\\ a-b+c=5,②\\ 4a+2b+c=2,③\end{array} $由①−②，得2b=−4，解得b=−2，把b=−2代入②③，可得$\{\begin{array}{l} a+c=3,\\ 4a+c=6,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=1,\\ c=2,\end{array} $所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-2,\\ c=2.\end{array} $
(3)$\{\begin{array}{l} 2x+y=29,①\\ 2y+z=29,②\\ 2z+x=32,③\end{array} $由①×2−②，得4x−z=29 ④，由④×2+③，得9x=90，解得x=10，把x=10代入①③，可得$\{\begin{array}{l} 20+y=29,\\ 2z+10=32,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} y=9,\\ z=11,\end{array} $所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=9,\\ z=11.\end{array} $
(4)$\{\begin{array}{l} x:y=2:3,①\\ x:z=5:4,②\\ x+y+z=33,③\end{array} $由①得$y=\frac {3}{2}x$，由②得$z=\frac {4}{5}x$，代入③中得$x+\frac {3}{2}x+\frac {4}{5}x=33$，解得x=10，所以$y=\frac {3}{2}x=15,z=$$\frac {4}{5}x=8$，所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=15,\\ z=8.\end{array} $
一题多解 因为x:y=2:3且x:z=5:4，可设x=10k，则y=15k，z=8k，因为x+y+z=33，所以10k+15k+8k=33，解得k=1，所以x=10，y=15，z=8，所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=15,\\ z=8.\end{array} $
(2)$\{\begin{array}{l} a+b+c=1,①\\ a-b+c=5,②\\ 4a+2b+c=2,③\end{array} $由①−②，得2b=−4，解得b=−2，把b=−2代入②③，可得$\{\begin{array}{l} a+c=3,\\ 4a+c=6,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=1,\\ c=2,\end{array} $所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-2,\\ c=2.\end{array} $
(3)$\{\begin{array}{l} 2x+y=29,①\\ 2y+z=29,②\\ 2z+x=32,③\end{array} $由①×2−②，得4x−z=29 ④，由④×2+③，得9x=90，解得x=10，把x=10代入①③，可得$\{\begin{array}{l} 20+y=29,\\ 2z+10=32,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} y=9,\\ z=11,\end{array} $所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=9,\\ z=11.\end{array} $
(4)$\{\begin{array}{l} x:y=2:3,①\\ x:z=5:4,②\\ x+y+z=33,③\end{array} $由①得$y=\frac {3}{2}x$，由②得$z=\frac {4}{5}x$，代入③中得$x+\frac {3}{2}x+\frac {4}{5}x=33$，解得x=10，所以$y=\frac {3}{2}x=15,z=$$\frac {4}{5}x=8$，所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=15,\\ z=8.\end{array} $
一题多解 因为x:y=2:3且x:z=5:4，可设x=10k，则y=15k，z=8k，因为x+y+z=33，所以10k+15k+8k=33，解得k=1，所以x=10，y=15，z=8，所以原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=15,\\ z=8.\end{array} $
6. (2025·泉州期末)若方程组$\begin{cases}x + y = 9, \\ y + z = 7, \\ z + x = 2\end{cases}$的解满足方程$3k - x - y - z = 6$，则$k$的值为( )
A.1
B.3
C.5
D.7
A.1
B.3
C.5
D.7
答案：6. C 解析：解方程组$\{\begin{array}{l} x+y=9,\\ y+z=7,\\ z+x=2\end{array} $得x=2，y=7，z=0，代入3k−x−y−z=6得3k−2−7−0=6，解得k=5，故选C.
一题多解 将方程组中的三个方程相加，得(x+y)+(y+z)+(z+x)=9+7+2，所以2x+2y+2z=18，所以x+y+z=9，将x+y+z=9代入方程3k−x−y−z=6中得3k−9=6，解得k=5.
一题多解 将方程组中的三个方程相加，得(x+y)+(y+z)+(z+x)=9+7+2，所以2x+2y+2z=18，所以x+y+z=9，将x+y+z=9代入方程3k−x−y−z=6中得3k−9=6，解得k=5.
7. 如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放$△$，要使之保持平衡，则应放$△$的数量为(
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
B
)A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案：7. B 解析：根据题意，设圆形为x，三角形为y，正方形为z，所以$\{\begin{array}{l} 3x+2y=z+5y,①\\ 2z=x+4y,②\end{array} $所以由①得，z=3x−3y ③，把③代入②，得2(3x−3y)=x+4y，整理得x=2y，所以2z=2y+4y=6y，所以应放△的数量为6个，故选B.
8. (1)已知$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{c}{7}$，且$3a + 2b - 4c = 9$，则$a + b + c$的值等于
(2)已知$2a = 3b = 4c$，且$a - b + 7 = c - 2b$，则$a + 2b + 3c =$
(3)已知$\dfrac{3a - b}{3} = \dfrac{2a + c}{5} = \dfrac{2b + c}{7}$，则$a : b : c =$
−15
。(2)已知$2a = 3b = 4c$，且$a - b + 7 = c - 2b$，则$a + 2b + 3c =$
−23
。(3)已知$\dfrac{3a - b}{3} = \dfrac{2a + c}{5} = \dfrac{2b + c}{7}$，则$a : b : c =$
2:3:1
。答案：8. (1)−15 解析：设$\frac {a}{3}=\frac {b}{5}=\frac {c}{7}=k$，则a=3k，b=5k，c=7k. 代入3a+2b−4c=9，得9k+10k−28k=9，解得k=−1. 所以a=−3，b=−5，c=−7，所以a+b+c=−3−5−7=−15.
(2)−23 解析：设2a=3b=4c=12k，则a=6k，b=4k，c=3k. 因为a−b+7=c−2b，代入得6k−4k+7=3k−8k，解得k=−1. 所以a=−6，b=−4，c=−3. 所以a+2b+3c=−6+2×(−4)+3×(−3)=−23.
(3)2:3:1 解析：设$\frac {3a-b}{3}=\frac {2a+c}{5}=\frac {2b+c}{7}=k$，则$\{\begin{array}{l} 3a-b=3k,\\ 2a+c=5k,\\ 2b+c=7k,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=2k,\\ b=3k,\\ c=k,\end{array} $所以a:b:c=2k:3k:k=2:3:1.
(2)−23 解析：设2a=3b=4c=12k，则a=6k，b=4k，c=3k. 因为a−b+7=c−2b，代入得6k−4k+7=3k−8k，解得k=−1. 所以a=−6，b=−4，c=−3. 所以a+2b+3c=−6+2×(−4)+3×(−3)=−23.
(3)2:3:1 解析：设$\frac {3a-b}{3}=\frac {2a+c}{5}=\frac {2b+c}{7}=k$，则$\{\begin{array}{l} 3a-b=3k,\\ 2a+c=5k,\\ 2b+c=7k,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=2k,\\ b=3k,\\ c=k,\end{array} $所以a:b:c=2k:3k:k=2:3:1.
9. (滨州中考)某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排
120
名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套。答案：9. 120 解析：设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套，依题意，得$\{\begin{array}{l} x+y+z=210,\\ 10x:15y:12z=2:1:1,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=120,\\ y=40,\\ z=50.\end{array} $故应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
解析：
设应该安排$x$名工人缝制衣袖，$y$名工人缝制衣身，$z$名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套。
依题意，得$\begin{cases}x + y + z = 210 \\ 10x:15y:12z = 2:1:1\end{cases}$
由$10x:15y = 2:1$，得$10x = 2×15y$，即$10x = 30y$，化简得$x = 3y$。
由$15y:12z = 1:1$，得$15y = 12z$，化简得$z = \frac{5}{4}y$。
将$x = 3y$，$z = \frac{5}{4}y$代入$x + y + z = 210$，得：
$3y + y + \frac{5}{4}y = 210$
$\frac{12}{4}y + \frac{4}{4}y + \frac{5}{4}y = 210$
$\frac{21}{4}y = 210$
$y = 210×\frac{4}{21} = 40$
则$x = 3y = 3×40 = 120$
故应该安排$120$名工人缝制衣袖。
依题意，得$\begin{cases}x + y + z = 210 \\ 10x:15y:12z = 2:1:1\end{cases}$
由$10x:15y = 2:1$，得$10x = 2×15y$，即$10x = 30y$，化简得$x = 3y$。
由$15y:12z = 1:1$，得$15y = 12z$，化简得$z = \frac{5}{4}y$。
将$x = 3y$，$z = \frac{5}{4}y$代入$x + y + z = 210$，得：
$3y + y + \frac{5}{4}y = 210$
$\frac{12}{4}y + \frac{4}{4}y + \frac{5}{4}y = 210$
$\frac{21}{4}y = 210$
$y = 210×\frac{4}{21} = 40$
则$x = 3y = 3×40 = 120$
故应该安排$120$名工人缝制衣袖。