10. 阅读材料：我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解。因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}, \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$可以写成矩阵$\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\end{pmatrix}$的形式。例如：$\begin{cases}3x + 4y = 16, \\ 5x - 6y = 33\end{cases}$可以写成矩阵$\begin{pmatrix}3 & 4 & 16 \\ 5 & -6 & 33\end{pmatrix}$的形式。
根据以上信息解决下列问题：
(1) 请写出矩阵$\begin{pmatrix}4 & 1 & 5 \\ 3 & -2 & 3\end{pmatrix}$对应的方程组的解是 ______ ；
(2) 若矩阵$\begin{pmatrix}a & -2 & 3 & 7 \\ 1 & b & 4 & 5 \\ 2 & -1 & c & 8\end{pmatrix}$所对应的方程组的解为$\begin{cases}x = 1, \\ y = 1, \\ z = 1,\end{cases}$则$a + b + c$的值为 ______ 。
根据以上信息解决下列问题：
(1) 请写出矩阵$\begin{pmatrix}4 & 1 & 5 \\ 3 & -2 & 3\end{pmatrix}$对应的方程组的解是 ______ ；
(2) 若矩阵$\begin{pmatrix}a & -2 & 3 & 7 \\ 1 & b & 4 & 5 \\ 2 & -1 & c & 8\end{pmatrix}$所对应的方程组的解为$\begin{cases}x = 1, \\ y = 1, \\ z = 1,\end{cases}$则$a + b + c$的值为 ______ 。
答案：10. (1)$\{\begin{array}{l} x=\frac {13}{11},\\ y=\frac {3}{11}\end{array} $解析：由题意得，矩阵$\begin{pmatrix} 4&1&5\\ 3&-2&3\end{pmatrix} $对应的方程组为$\{\begin{array}{l} 4x+y=5,\\ 3x-2y=3,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=\frac {13}{11},\\ y=\frac {3}{11}.\end{array} $所以矩阵$\begin{pmatrix} 4&1&5\\ 3&-2&3\end{pmatrix} $对应的方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=\frac {13}{11},\\ y=\frac {3}{11}.\end{array} $
(2)13 解析：因为矩阵$\begin{pmatrix} a&-2&3&7\\ 1&b&4&5\\ 2&-1&c&8\end{pmatrix} $所对应的方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=1,\\ z=1,\end{array} $所以将$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=1,\\ z=1\end{array} $代入$\{\begin{array}{l} ax-2y+3z=7,\\ x+by+4z=5,\\ 2x-y+cz=8,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} a-2+3=7,①\\ 1+b+4=5,②\\ 2-1+c=8,③\end{array} $所以①+②+③，得a+b+c=13.
(2)13 解析：因为矩阵$\begin{pmatrix} a&-2&3&7\\ 1&b&4&5\\ 2&-1&c&8\end{pmatrix} $所对应的方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=1,\\ z=1,\end{array} $所以将$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=1,\\ z=1\end{array} $代入$\{\begin{array}{l} ax-2y+3z=7,\\ x+by+4z=5,\\ 2x-y+cz=8,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} a-2+3=7,①\\ 1+b+4=5,②\\ 2-1+c=8,③\end{array} $所以①+②+③，得a+b+c=13.
11. 如果整数$x$，$y$，$z$满足$(\dfrac{15}{8})^{x} · (\dfrac{16}{9})^{y} · (\dfrac{27}{10})^{z} = 16$，那么代数式$\dfrac{2x + y}{x - y}$的值为
−4
。答案：11. −4 解析：因为$(\frac {15}{8})^{x}· (\frac {16}{9})^{y}· (\frac {27}{10})^{z}=16$，所以$\frac {3^{x}· 5^{x}}{2^{3x}}· \frac {2^{4y}}{3^{2y}}· \frac {3^{3z}}{2^{z}· 5^{z}}=2^{4}$，所以$5^{x-z}· 3^{x+3z-2y}· 2^{4y-3x-z}=2^{4}$，故$\{\begin{array}{l} x-z=0,\\ x+3z-2y=0,\\ 4y-3x-z=4,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=2,\\ z=1,\end{array} $因此$\frac {2x+y}{x-y}=\frac {2+2}{1-2}=-4.$
解析：
因为$(\frac{15}{8})^{x} · (\frac{16}{9})^{y} · (\frac{27}{10})^{z} = 16$，所以$\frac{3^{x} · 5^{x}}{2^{3x}} · \frac{2^{4y}}{3^{2y}} · \frac{3^{3z}}{2^{z} · 5^{z}} = 2^{4}$，即$5^{x - z} · 3^{x + 3z - 2y} · 2^{4y - 3x - z} = 2^{4}$。
由此可得方程组：
$\begin{cases}x - z = 0 \\x + 3z - 2y = 0 \\4y - 3x - z = 4\end{cases}$
解这个方程组：
由$x - z = 0$得$x = z$，将$x = z$代入$x + 3z - 2y = 0$，得$x + 3x - 2y = 0$，即$4x - 2y = 0$，化简得$2x = y$。
将$x = z$和$y = 2x$代入$4y - 3x - z = 4$，得$4 × 2x - 3x - x = 4$，即$8x - 4x = 4$，$4x = 4$，解得$x = 1$。
所以$y = 2x = 2$，$z = x = 1$。
则$\frac{2x + y}{x - y} = \frac{2 × 1 + 2}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$。
$-4$
由此可得方程组：
$\begin{cases}x - z = 0 \\x + 3z - 2y = 0 \\4y - 3x - z = 4\end{cases}$
解这个方程组：
由$x - z = 0$得$x = z$，将$x = z$代入$x + 3z - 2y = 0$，得$x + 3x - 2y = 0$，即$4x - 2y = 0$，化简得$2x = y$。
将$x = z$和$y = 2x$代入$4y - 3x - z = 4$，得$4 × 2x - 3x - x = 4$，即$8x - 4x = 4$，$4x = 4$，解得$x = 1$。
所以$y = 2x = 2$，$z = x = 1$。
则$\frac{2x + y}{x - y} = \frac{2 × 1 + 2}{1 - 2} = \frac{4}{-1} = -4$。
$-4$
12. 阅读下列材料：
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅，共用了925元；第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅，共用了320元；第三次买了鸡、鸭、鹅各1只，共需多少元？(假定三次购买的鸡、鸭、鹅单价不变)
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元。
依题意，得$\begin{cases}13x + 5y + 9z = 925, \\ 2x + 4y + 3z = 320.\end{cases}$
上述方程组可变形为$\begin{cases}5(x + y + z) + 4(2x + z) = 925, \\ 4(x + y + z) - (2x + z) = 320.\end{cases}$
设$x + y + z = a$，$2x + z = b$，
上述方程组又可化为$\begin{cases}5a + 4b = 925, \\ 4a - b = 320,\end{cases}$
解得$a =$
答：第三次买了鸡、鸭、鹅各1只，共需
解决下列问题：
(1) 上述解答过程中$a =$
(2) 上述材料的解答过程运用了(
A. 整体代入
B. 数形结合
C. 分类讨论
(3) 某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和所用金额如下表：
那么购买每种体育用品各一件共需多少元？
问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅，共用了925元；第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅，共用了320元；第三次买了鸡、鸭、鹅各1只，共需多少元？(假定三次购买的鸡、鸭、鹅单价不变)
解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元。
依题意，得$\begin{cases}13x + 5y + 9z = 925, \\ 2x + 4y + 3z = 320.\end{cases}$
上述方程组可变形为$\begin{cases}5(x + y + z) + 4(2x + z) = 925, \\ 4(x + y + z) - (2x + z) = 320.\end{cases}$
设$x + y + z = a$，$2x + z = b$，
上述方程组又可化为$\begin{cases}5a + 4b = 925, \\ 4a - b = 320,\end{cases}$
解得$a =$
105
，即$x + y + z =$105
。答：第三次买了鸡、鸭、鹅各1只，共需
105
元。解决下列问题：
(1) 上述解答过程中$a =$
105
。(2) 上述材料的解答过程运用了(
A
)的思想方法来解题。A. 整体代入
B. 数形结合
C. 分类讨论
(3) 某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和所用金额如下表：
那么购买每种体育用品各一件共需多少元？
答案：12. (1)105 解析：$\{\begin{array}{l} 5a+4b=925,①\\ 4a-b=320,②\end{array} $①+4×②可得21a=2205，解得a=105.
(2)A 解析：把x+y+z与2x+z分别看作一个整体来运算，故运用了整体代入的思想.
(3)设体育组所购买的体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为x元，y元，z元，m元. 根据题意，得$\{\begin{array}{l} 5x+4y+3z+m=1882,\\ 9x+7y+5z+m=2764,\end{array} $该方程组可变形为$\{\begin{array}{l} (x+y+z+m)+(4x+3y+2z)=1882,\\ (x+y+z+m)+2(4x+3y+2z)=2764,\end{array} $设x+y+z+m=a，4x+3y+2z=b，则上述方程组可化为$\{\begin{array}{l} a+b=1882,\\ a+2b=2764,\end{array} $解得a=1000，即x+y+z+m=1000. 故购买每种体育用品各一件共需1000元.
(2)A 解析：把x+y+z与2x+z分别看作一个整体来运算，故运用了整体代入的思想.
(3)设体育组所购买的体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为x元，y元，z元，m元. 根据题意，得$\{\begin{array}{l} 5x+4y+3z+m=1882,\\ 9x+7y+5z+m=2764,\end{array} $该方程组可变形为$\{\begin{array}{l} (x+y+z+m)+(4x+3y+2z)=1882,\\ (x+y+z+m)+2(4x+3y+2z)=2764,\end{array} $设x+y+z+m=a，4x+3y+2z=b，则上述方程组可化为$\{\begin{array}{l} a+b=1882,\\ a+2b=2764,\end{array} $解得a=1000，即x+y+z+m=1000. 故购买每种体育用品各一件共需1000元.