13. 新题型 新运算 对于$a$，$b$，定义运算：$a△b = \begin{cases}a^b(a ＞ b,a≠0),\\a^{-b}(a≤b,a≠0).\end{cases}$例如：$2△3 = 2^{-3} = \frac{1}{8}$，$4△2 = 4^2 = 16$。照此定义的运算方式计算：$[2△(-4)]×[(-4)△(-2)]=$ ______ 。
答案：13. 1 解析:根据题意,得$2△(-4)=2^{-4}=\frac{1}{16},(-4)△(-2)=(-4)^{2}=16$,则$[2△(-4)]×[(-4)△(-2)]=\frac{1}{16}×16 = 1$.
解析：
$2△(-4)$：因为$2 ＞ -4$，所以$2△(-4)=2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$；
$(-4)△(-2)$：因为$-4 ＜ -2$，所以$(-4)△(-2)=(-4)^{-(-2)}=(-4)^2=16$；
则$[2△(-4)]×[(-4)△(-2)]=\frac{1}{16}×16=1$。
1
$(-4)△(-2)$：因为$-4 ＜ -2$，所以$(-4)△(-2)=(-4)^{-(-2)}=(-4)^2=16$；
则$[2△(-4)]×[(-4)△(-2)]=\frac{1}{16}×16=1$。
1
14. (1)你发现了吗？$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3}×\frac{2}{3}$，$(\frac{3}{2})^{-2} = \frac{1}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{1}{\frac{3}{2}}×\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}×\frac{2}{3}$，由上述计算，我们发现$(\frac{2}{3})^2\_\_\_\_\_\_(\frac{3}{2})^{-2}$。
(2)仿照(1)，请你通过计算，判断$(\frac{5}{4})^3$与$(\frac{4}{5})^{-3}$之间的关系。
(3)我们可以发现：$(\frac{b}{a})^{-m}\_\_\_\_\_\_(\frac{a}{b})^m(ab≠0)$。
(4)计算：①$(\frac{3}{8})^{-4}×(\frac{3}{4})^4$；
②$(-\frac{1}{2})^{-3}×2^{-4} - 4^{-2}×(-0.25)^{-3}$。
(2)仿照(1)，请你通过计算，判断$(\frac{5}{4})^3$与$(\frac{4}{5})^{-3}$之间的关系。
(3)我们可以发现：$(\frac{b}{a})^{-m}\_\_\_\_\_\_(\frac{a}{b})^m(ab≠0)$。
(4)计算：①$(\frac{3}{8})^{-4}×(\frac{3}{4})^4$；
②$(-\frac{1}{2})^{-3}×2^{-4} - 4^{-2}×(-0.25)^{-3}$。
答案：14. (1)$=$
(2)因为$(\frac{5}{4})^{3}=\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4}=\frac{125}{64},(\frac{4}{5})^{-3}=\frac{1}{(\frac{4}{5})^{3}}=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4}=\frac{125}{64}$,所以$(\frac{5}{4})^{3}=(\frac{4}{5})^{-3}$.
(3)$=$
(4)①$(\frac{3}{8})^{-4}=(\frac{8}{3})^{4}$,所以原式$=(\frac{8}{3})^{4}×(\frac{3}{4})^{4}=(\frac{8}{3}×\frac{3}{4})^{4}=2^{4}=16$.
②$(-\frac{1}{2})^{-3}×2^{-4}-4^{-2}×(-0.25)^{-3}=(-2)^{3}×(\frac{1}{2})^{4}-(\frac{1}{4})^{2}×(-4)^{3}=[(-2)×\frac{1}{2}]^{3}×\frac{1}{2}-[\frac{1}{4}×(-4)]^{2}×(-4)=-\frac{1}{2}-(-4)=-\frac{1}{2}+4=3\frac{1}{2}$.
(2)因为$(\frac{5}{4})^{3}=\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4}=\frac{125}{64},(\frac{4}{5})^{-3}=\frac{1}{(\frac{4}{5})^{3}}=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4}=\frac{125}{64}$,所以$(\frac{5}{4})^{3}=(\frac{4}{5})^{-3}$.
(3)$=$
(4)①$(\frac{3}{8})^{-4}=(\frac{8}{3})^{4}$,所以原式$=(\frac{8}{3})^{4}×(\frac{3}{4})^{4}=(\frac{8}{3}×\frac{3}{4})^{4}=2^{4}=16$.
②$(-\frac{1}{2})^{-3}×2^{-4}-4^{-2}×(-0.25)^{-3}=(-2)^{3}×(\frac{1}{2})^{4}-(\frac{1}{4})^{2}×(-4)^{3}=[(-2)×\frac{1}{2}]^{3}×\frac{1}{2}-[\frac{1}{4}×(-4)]^{2}×(-4)=-\frac{1}{2}-(-4)=-\frac{1}{2}+4=3\frac{1}{2}$.
15. 比较$2025^{-2026}$与$2026^{-2025}$的大小，我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法。
(1)通过计算比较两数的大小：(填“＞”“＜”或“=”)
①$1^{-2}\_\_\_\_\_\_2^{-1}$；②$2^{-3}\_\_\_\_\_\_3^{-2}$；③$3^{-4}\_\_\_\_\_\_4^{-3}$；④$4^{-5}\_\_\_\_\_\_5^{-4}$。
(2)由(1)可以猜测$n^{-(n + 1)}$与$(n + 1)^{-n}$($n$为正整数)的大小关系：
当$n$
当$n$
(3)根据上面的猜想，则有$2025^{-2026}\_\_\_\_\_\_2026^{-2025}$。(填“＞”“＜”或“=”)
(1)通过计算比较两数的大小：(填“＞”“＜”或“=”)
①$1^{-2}\_\_\_\_\_\_2^{-1}$；②$2^{-3}\_\_\_\_\_\_3^{-2}$；③$3^{-4}\_\_\_\_\_\_4^{-3}$；④$4^{-5}\_\_\_\_\_\_5^{-4}$。
(2)由(1)可以猜测$n^{-(n + 1)}$与$(n + 1)^{-n}$($n$为正整数)的大小关系：
当$n$
$≤2$
时，$n^{-(n + 1)} ＞ (n + 1)^{-n}$；当$n$
$＞2$
时，$n^{-(n + 1)} ＜ (n + 1)^{-n}$。(3)根据上面的猜想，则有$2025^{-2026}\_\_\_\_\_\_2026^{-2025}$。(填“＞”“＜”或“=”)
答案：15. (1)①$＞$ ②$＞$ ③$＜$ ④$＜$ 解析:①因为$1^{-2}=1,2^{-1}=\frac{1}{2},1＞\frac{1}{2}$,所以$1^{-2}＞2^{-1}$;②因为$2^{-3}=\frac{1}{8},3^{-2}=\frac{1}{9},\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$,所以$2^{-3}＞3^{-2}$;③因为$3^{-4}=\frac{1}{81},4^{-3}=\frac{1}{64},\frac{1}{81}＜\frac{1}{64}$,所以$3^{-4}＜4^{-3}$;④因为$4^{-5}=\frac{1}{1024},5^{-4}=\frac{1}{625},\frac{1}{1024}＜\frac{1}{625}$,所以$4^{-5}＜5^{-4}$.
(2)$≤2$ $＞2$ 解析:由(1)可以猜测:当$n≤2$时,$n^{-(n + 1)}＞(n + 1)^{-n}$;当$n＞2$时,$n^{-(n + 1)}＜(n + 1)^{-n}$.
(3)$＜$ 解析:根据(2)得$n = 2025$时,$2025^{-2026}＜2026^{-2025}$.
(2)$≤2$ $＞2$ 解析:由(1)可以猜测:当$n≤2$时,$n^{-(n + 1)}＞(n + 1)^{-n}$;当$n＞2$时,$n^{-(n + 1)}＜(n + 1)^{-n}$.
(3)$＜$ 解析:根据(2)得$n = 2025$时,$2025^{-2026}＜2026^{-2025}$.
16. (2025·南京期中)【阅读材料】如果一个幂的结果等于$1$，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如$3^0 = 1$；
②底数为$1$的整数幂，例如$1^{-2} = 1$；
③底数为$-1$的偶数次幂，例如$(-1)^2 = 1$。
【知识运用】
(1)若$(x + 2)^{x + 4} = 1$，求$x$的值；
(2)若$(x + 2)^{x + 4} = x + 2$，求$x$的值。
①底数不为零的零指数幂，例如$3^0 = 1$；
②底数为$1$的整数幂，例如$1^{-2} = 1$；
③底数为$-1$的偶数次幂，例如$(-1)^2 = 1$。
【知识运用】
(1)若$(x + 2)^{x + 4} = 1$，求$x$的值；
(2)若$(x + 2)^{x + 4} = x + 2$，求$x$的值。
答案：16. (1)分三种情况讨论如下:
①当$x + 4 = 0$且$x + 2≠0$时,由$x + 4 = 0$,解得$x=-4$,此时$x + 2=-2≠0$,所以当$x=-4$时,$(x + 2)^{x + 4}=1$;
②当$x + 2 = 1$且$x + 4$为整数时,由$x + 2 = 1$,解得$x=-1$,此时$x + 4 = 3$为整数,所以当$x=-1$时,$(x + 2)^{x + 4}=1$;
③当$x + 2=-1$且$x + 4$为偶数时,由$x + 2=-1$,解得$x=-3$,此时$x + 4 = 1$不是偶数,故不符合题意,舍去.
综上所述,若$(x + 2)^{x + 4}=1$,则$x$的值为-4或-1.
(2)分四种情况讨论如下:
①当$x + 2 = 0$且$x + 4≠0$时,由$x + 2 = 0$,解得$x=-2$,此时$x + 4 = 2≠0$,所以当$x=-2$时,$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$;
②当$x + 2 = 1$且$x + 4$为整数时,由$x + 2 = 1$,解得$x=-1$,此时$x + 4 = 3$为整数,所以当$x=-1$时,$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$;
③当$x + 2=-1$且$x + 4$为奇数时,由$x + 2=-1$,解得$x=-3$,此时$x + 4 = 1$为奇数,所以当$x=-3$时,$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$.
④当$x + 4 = 1$时,解得$x=-3$,此时$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$成立.
综上所述,若$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$,则$x=-2$或-1或-3.
①当$x + 4 = 0$且$x + 2≠0$时,由$x + 4 = 0$,解得$x=-4$,此时$x + 2=-2≠0$,所以当$x=-4$时,$(x + 2)^{x + 4}=1$;
②当$x + 2 = 1$且$x + 4$为整数时,由$x + 2 = 1$,解得$x=-1$,此时$x + 4 = 3$为整数,所以当$x=-1$时,$(x + 2)^{x + 4}=1$;
③当$x + 2=-1$且$x + 4$为偶数时,由$x + 2=-1$,解得$x=-3$,此时$x + 4 = 1$不是偶数,故不符合题意,舍去.
综上所述,若$(x + 2)^{x + 4}=1$,则$x$的值为-4或-1.
(2)分四种情况讨论如下:
①当$x + 2 = 0$且$x + 4≠0$时,由$x + 2 = 0$,解得$x=-2$,此时$x + 4 = 2≠0$,所以当$x=-2$时,$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$;
②当$x + 2 = 1$且$x + 4$为整数时,由$x + 2 = 1$,解得$x=-1$,此时$x + 4 = 3$为整数,所以当$x=-1$时,$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$;
③当$x + 2=-1$且$x + 4$为奇数时,由$x + 2=-1$,解得$x=-3$,此时$x + 4 = 1$为奇数,所以当$x=-3$时,$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$.
④当$x + 4 = 1$时,解得$x=-3$,此时$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$成立.
综上所述,若$(x + 2)^{x + 4}=x + 2$,则$x=-2$或-1或-3.
17. 在数学活动中，小明为了求$2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-n}$的值，设计了如图①所示的几何图形。
(1)请你利用这个几何图形求$2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-n}$的值为
(2)请你利用图②，再设计一个能求$2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-n}$的值的几何图形。
(1)请你利用这个几何图形求$2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-n}$的值为
$1 - 2^{-n}$
(结果用含$n$的代数式表示)；(2)请你利用图②，再设计一个能求$2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-n}$的值的几何图形。
答案：
17. (1)$1 - 2^{-n}$ 解析:题图①中正方形的面积为1,又$2^{-1}$可表示正方形面积的一半,那么余下的面积也是$2^{-1}$,所以$2^{-1}=1 - 2^{-1}$.又$2^{-1}+2^{-2}$可表示正方形面积数的四分之三,那么余下的面积是$2^{-2}$,所以$2^{-1}+2^{-2}=1 - 2^{-2}······$依次类推,$2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+···+2^{-n}=1 - 2^{-n}$.
(2)如图所示.(合理即可)
17. (1)$1 - 2^{-n}$ 解析:题图①中正方形的面积为1,又$2^{-1}$可表示正方形面积的一半,那么余下的面积也是$2^{-1}$,所以$2^{-1}=1 - 2^{-1}$.又$2^{-1}+2^{-2}$可表示正方形面积数的四分之三,那么余下的面积是$2^{-2}$,所以$2^{-1}+2^{-2}=1 - 2^{-2}······$依次类推,$2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+···+2^{-n}=1 - 2^{-n}$.
(2)如图所示.(合理即可)