1. (2025·泰州校级月考)A,B 两地相距 27 千米.小丽、小明两人骑行,小丽从 A 地出发到 B 地,小明从 B 地出发到 A 地,两人同时出发,相向而行,3 小时后相遇,再骑行 1.5 小时,小丽剩下的路程为小明剩下路程的 2 倍,小丽、小明骑行的平均速度分别是多少?
答案：设小丽骑行的平均速度为x km/h,小明骑行的平均速度为y km/h,因为A,B两地相距27千米,所以3x+3y=27,再骑行1.5小时,小丽剩下的路程为[27-(3+1.5)x]km,即(27-4.5x)km,小明剩下路程为[27-(3+1.5)y]km,即(27-4.5y)km,所以27-4.5x=2(27-4.5y),即9y-4.5x=27,所以{3x+3y=27,9y-4.5x=27,解得{x=4,y=5,所以小丽骑行的平均速度为4 km/h,小明骑行的平均速度为5 km/h.
解析：
设小丽骑行的平均速度为$x$km/h，小明骑行的平均速度为$y$km/h。
因为A，B两地相距27千米，两人同时出发相向而行，3小时后相遇，所以$3x + 3y=27$。
再骑行1.5小时，小丽剩下的路程为$27-(3 + 1.5)x=(27 - 4.5x)$km，小明剩下的路程为$27-(3 + 1.5)y=(27 - 4.5y)$km。
由小丽剩下的路程为小明剩下路程的2倍，可得$27 - 4.5x=2(27 - 4.5y)$，即$9y-4.5x = 27$。
联立方程组$\begin{cases}3x + 3y=27\\9y-4.5x = 27\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y = 5\end{cases}$。
小丽骑行的平均速度为4km/h，小明骑行的平均速度为5km/h。
因为A，B两地相距27千米，两人同时出发相向而行，3小时后相遇，所以$3x + 3y=27$。
再骑行1.5小时，小丽剩下的路程为$27-(3 + 1.5)x=(27 - 4.5x)$km，小明剩下的路程为$27-(3 + 1.5)y=(27 - 4.5y)$km。
由小丽剩下的路程为小明剩下路程的2倍，可得$27 - 4.5x=2(27 - 4.5y)$，即$9y-4.5x = 27$。
联立方程组$\begin{cases}3x + 3y=27\\9y-4.5x = 27\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y = 5\end{cases}$。
小丽骑行的平均速度为4km/h，小明骑行的平均速度为5km/h。
2. 某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为 120 万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工 150 天完成.由于特殊情况,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工 40 天后甲队返回,两队又共同施工了 110 天,这时甲、乙两队共完成土方量 103.2 万立方.甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方?
答案：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方,根据题意,得{150(x+y)=120,110x+(40+110)y=103.2,解得{x=0.42,y=0.38.所以甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方.
解析：
设甲队原计划平均每天的施工土方量为$x$万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为$y$万立方。
根据题意，得
$\begin{cases}150(x + y) = 120 \\110x + (40 + 110)y = 103.2\end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得：$x + y = \frac{120}{150} = 0.8$，即$x = 0.8 - y$。
将$x = 0.8 - y$代入第二个方程：
$110(0.8 - y) + 150y = 103.2$
$88 - 110y + 150y = 103.2$
$40y = 103.2 - 88$
$40y = 15.2$
$y = 0.38$
则$x = 0.8 - 0.38 = 0.42$。
所以甲队原计划平均每天的施工土方量为$0.42$万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为$0.38$万立方。
根据题意，得
$\begin{cases}150(x + y) = 120 \\110x + (40 + 110)y = 103.2\end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得：$x + y = \frac{120}{150} = 0.8$，即$x = 0.8 - y$。
将$x = 0.8 - y$代入第二个方程：
$110(0.8 - y) + 150y = 103.2$
$88 - 110y + 150y = 103.2$
$40y = 103.2 - 88$
$40y = 15.2$
$y = 0.38$
则$x = 0.8 - 0.38 = 0.42$。
所以甲队原计划平均每天的施工土方量为$0.42$万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为$0.38$万立方。
3. (2025·昆明期中)玲玲家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作,需 6 周完成,共需装修费为 5.2 万元;若甲公司单独做 4 周后,剩下的由乙公司来做,还需 9 周才能完成,共需装修费 4.8 万元.玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成,设工作总量为 1,甲公司每周的工作效率为 m,乙公司每周的工作效率为 n.
(1) 如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司?
(2) 如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司?
(1) 如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司?
(2) 如果从节约开支的角度考虑应选哪家公司?
答案：(1)设工作总量为1,甲公司每周的工作效率为m,乙公司每周的工作效率为n,依题意得{m+n=1/6,4m+9n=1,解得{m=1/10,n=1/15,因为1/10＞1/15,所以甲公司的效率高,所以从节约时间的角度考虑应选择甲公司.
(2)设甲公司每周费用为a万元,乙公司每周费用为b万元,依题意,得{6a+6b=5.2,4a+9b=4.8,解得{a=3/5,b=4/15,由(1)易得,甲公司单独完成共需3/5×10=6(万元),乙公司单独完成共需4/15×15=4(万元).因为4＜6,所以从节约开支的角度考虑应选乙公司.
(2)设甲公司每周费用为a万元,乙公司每周费用为b万元,依题意,得{6a+6b=5.2,4a+9b=4.8,解得{a=3/5,b=4/15,由(1)易得,甲公司单独完成共需3/5×10=6(万元),乙公司单独完成共需4/15×15=4(万元).因为4＜6,所以从节约开支的角度考虑应选乙公司.
4. 社区超市促销活动前后,A,B 两种商品的销售状况和营业额对比情况如下:打折前,A 商品平均每天售出 300 件,B 商品平均每天售出 200 件,营业额为 6 100 元.商品打折后,A 商品平均每天售出 500 件,B 商品平均每天售出 400 件,营业额为 8 240 元.已知 A 商品是按八折的价格销售,其打折后的价格比 B 商品打折前的价格还要贵 50%.
(1) 每件 A,B 商品的原价分别是多少元?
(2) 某同学在商品打折期间购买了 8 件 A 商品,10 件 B 商品,比打折前节省了多少钱?
(1) 每件 A,B 商品的原价分别是多少元?
(2) 某同学在商品打折期间购买了 8 件 A 商品,10 件 B 商品,比打折前节省了多少钱?
答案：(1)设每件A商品的原价为x元,每件B商品的原价为y元.因为A商品是按八折的价格销售,其打折后的价格比B商品打折前的价格还要贵50%,所以(1+50%)y=80%x.因为打折前,A商品平均每天售出300件,B商品平均每天售出200件,营业额为6100元,所以300x+200y=6100,所以{(1+50%)y=80%x,300x+200y=6100,解得{x=15,y=8.答:每件A商品的原价为15元,每件B商品的原价为8元.
(2)因为A商品是按八折的价格销售,所以打折后A商品的价格为每件15×80%=12(元),设打折后B商品的单价为a元.因为商品打折后,A商品平均每天售出500件,B商品平均每天售出400件,营业额为8240元,所以500×12+400a=8240,解得a=5.6,所以打折后B商品的单价为5.6元,所以该同学在商品打折期间购买了8件A商品,10件B商品的费用为12×8+10×5.6=152(元).因为不打折购买这些商品的费用为15×8+10×8=200(元),200-152=48(元),所以比打折前节省了48元.
(2)因为A商品是按八折的价格销售,所以打折后A商品的价格为每件15×80%=12(元),设打折后B商品的单价为a元.因为商品打折后,A商品平均每天售出500件,B商品平均每天售出400件,营业额为8240元,所以500×12+400a=8240,解得a=5.6,所以打折后B商品的单价为5.6元,所以该同学在商品打折期间购买了8件A商品,10件B商品的费用为12×8+10×5.6=152(元).因为不打折购买这些商品的费用为15×8+10×8=200(元),200-152=48(元),所以比打折前节省了48元.