5. 在一次劳动课上,有 27 名同学在甲处劳动,有 19 名同学在乙处劳动.现在从其他班级另调 20 人去支援,使得在甲处的人数为在乙处人数的 2 倍,应调往甲、乙两处各多少人?
答案：设应调往甲处x人,调往乙处y人,依题意,得{x+y=20,27+x=2(19+y),解得{x=17,y=3.答:应调往甲处17人,调往乙处3人.
解析：
设应调往甲处$x$人，调往乙处$y$人，依题意，得$\begin{cases}x + y = 20 \\27 + x = 2(19 + y)\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 17 \\y = 3\end{cases}$。答：应调往甲处17人，调往乙处3人。
6. 某甜品店新推出了一款礼盒,每个礼盒中装有 1 个 A 款面包和 7 个 B 款面包.已知制作 1 个 A 款面包用 0.06 kg 面粉,制作 1 个 B 款面包用 0.015 kg 面粉.现有面粉 330 kg,则制作两款面包各用多少千克面粉时,才能使制作的两款面包刚好配套成盒? 且最多能制作多少个礼盒?
答案：设制作A款面包x个,B款面包y个,才能使制作的两款面包刚好配套成盒.由题意得{0.06x+0.015y=330,7x=y,解得{x=2000,y=14000,则制作的A款面包用面粉为0.06×2000=120(kg),制作的B款面包用面粉为0.015×14000=210(kg),且最多能制作的礼盒为2000个.答:制作A款面包用120 kg面粉,B款面包用210 kg面粉,才能使制作的两款面包刚好配套成盒,且最多能制作2000个礼盒.
解析：
设制作A款面包$x$个，B款面包$y$个，才能使制作的两款面包刚好配套成盒。
由题意得：
$\begin{cases}0.06x + 0.015y = 330 \\7x = y\end{cases}$
将$y = 7x$代入$0.06x + 0.015y = 330$，得：
$0.06x + 0.015×7x = 330$
$0.06x + 0.105x = 330$
$0.165x = 330$
$x = 2000$
则$y = 7x = 7×2000 = 14000$
制作A款面包用面粉：$0.06×2000 = 120$（kg）
制作B款面包用面粉：$0.015×14000 = 210$（kg）
最多能制作礼盒$2000$个。
答：制作A款面包用120 kg面粉，B款面包用210 kg面粉，才能使制作的两款面包刚好配套成盒，且最多能制作2000个礼盒。
由题意得：
$\begin{cases}0.06x + 0.015y = 330 \\7x = y\end{cases}$
将$y = 7x$代入$0.06x + 0.015y = 330$，得：
$0.06x + 0.015×7x = 330$
$0.06x + 0.105x = 330$
$0.165x = 330$
$x = 2000$
则$y = 7x = 7×2000 = 14000$
制作A款面包用面粉：$0.06×2000 = 120$（kg）
制作B款面包用面粉：$0.015×14000 = 210$（kg）
最多能制作礼盒$2000$个。
答：制作A款面包用120 kg面粉，B款面包用210 kg面粉，才能使制作的两款面包刚好配套成盒，且最多能制作2000个礼盒。
7. 如图所示,在长为 30 米、宽为 20 米的长方形花园里,原有两条面积相等的小路,其余部分为绿地.现在为了增加绿地面积,把公园里的一条小路改为绿地,只保留另一条小路,并且使得绿地面积是小路面积的 4 倍,则 x 与 y 的值分别为 (
A.3,2
B.5,4
C.6,5
D.6,4
D
)A.3,2
B.5,4
C.6,5
D.6,4
答案：D 解析:由题意可知{20x=30y,30×20-30y=30y×4,解得{x=6,y=4,故选D.
8. 图①是一个玻璃密封容器,底部是圆柱体,上面是长方体,内装 450 cm³ 的液体.当容器正放时,容器内液面的高度为 8 cm(如图②);倒放时,容器内液面的高度为 12 cm(如图③).则该玻璃密封容器底面的半径为
5
cm. (π 取 3)答案：5 解析:设该玻璃密封容器底面的半径为r cm,长方体的底面积为S cm²,根据题意得{5×3r²+3S=450,①3×3r²+9S=450,②①×3-②得36r²=900,解得r=5(负值不合题意,舍去),故该玻璃密封容器底面的半径为5 cm.
解析：
设该玻璃密封容器底面的半径为$r$ cm，长方体的底面积为$S$ cm²。
根据题意得：
$\begin{cases}5 × 3r^2 + 3S = 450 \\3 × 3r^2 + 9S = 450\end{cases}$
①×3 - ②得：$36r^2 = 900$，解得$r = 5$（负值不合题意，舍去）。
5
根据题意得：
$\begin{cases}5 × 3r^2 + 3S = 450 \\3 × 3r^2 + 9S = 450\end{cases}$
①×3 - ②得：$36r^2 = 900$，解得$r = 5$（负值不合题意，舍去）。
5
9. (2025·徐州校级月考)利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①方式放置,再交换两木块的位置,按图②方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度是
75
cm.答案：75 解析:设桌子的高度为h cm,题图中长方体木块的长为x cm,长方体木块的宽为y cm,由第一个图形可得h-y+x=80,由第二个图形可得h-x+y=70,两个方程相加,得(h-y+x)+(h-x+y)=150,解得h=75,即桌子的高度为75 cm.
解析：
设桌子的高度为$h$ cm，长方体木块的长为$x$ cm，宽为$y$ cm。
由图①可得：$h - y + x = 80$；
由图②可得：$h - x + y = 70$。
将两式相加：$(h - y + x) + (h - x + y) = 80 + 70$，
化简得：$2h = 150$，
解得：$h = 75$。
75
由图①可得：$h - y + x = 80$；
由图②可得：$h - x + y = 70$。
将两式相加：$(h - y + x) + (h - x + y) = 80 + 70$，
化简得：$2h = 150$，
解得：$h = 75$。
75
10. 若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形,我们称这个长方形为完美长方形,如图,该长方形被分割成 9 个大小不同的正方形.已知最小正方形的边长为 1,则最大正方形 A 的面积为
324
.答案：
324 解析:如图,给9个正方形编号.设标注为3的正方形边长是x,标注为2的正方形的边长为y,则标注为4的正方形的边长是x+1;标注为5的正方形的边长是x+1+1=x+2;标注为6的正方形的边长是x+2+1-y=x-y+3;标注为7的正方形的边长是x+2+x-y+3=2x-y+5;标注为A的正方形的边长是2x-y+5+x-y+3=3x-2y+8;标注为8的正方形的边长是x+y. 根据题意,得{x-y=1,x+y+x+1=2x-y+5+3x-2y+8,解得{x=8,y=7,所以最大的正方形A的边长为3x-2y+8=18,面积为18×18=324.
324 解析:如图,给9个正方形编号.设标注为3的正方形边长是x,标注为2的正方形的边长为y,则标注为4的正方形的边长是x+1;标注为5的正方形的边长是x+1+1=x+2;标注为6的正方形的边长是x+2+1-y=x-y+3;标注为7的正方形的边长是x+2+x-y+3=2x-y+5;标注为A的正方形的边长是2x-y+5+x-y+3=3x-2y+8;标注为8的正方形的边长是x+y. 根据题意,得{x-y=1,x+y+x+1=2x-y+5+3x-2y+8,解得{x=8,y=7,所以最大的正方形A的边长为3x-2y+8=18,面积为18×18=324.
11. (2025·东莞期末)平价商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件进价 50 元,售价 80 元,乙种商品每件进价 40 元,售价 60 元.
(1) 乙种商品每件的利润率为
(2) 若该商场同时购进甲、乙两种商品共 50 件,恰好用去 2 100 元,求购进甲种商品多少件.
(3) 在“元旦”期间,该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动:
|打折前一次性购物总金额|优惠措施|
|----|----|
|不超过 380 元|不优惠|
|超过 380 元,但不超过 500 元|售价打九折|
|超过 500 元|售价打八折|
按上述优惠条件,若小明这天只购买了甲种商品,实际付款 432 元,求小明这天在该商场购买甲种商品多少件.
(1) 乙种商品每件的利润率为
50
%.(2) 若该商场同时购进甲、乙两种商品共 50 件,恰好用去 2 100 元,求购进甲种商品多少件.
(3) 在“元旦”期间,该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动:
|打折前一次性购物总金额|优惠措施|
|----|----|
|不超过 380 元|不优惠|
|超过 380 元,但不超过 500 元|售价打九折|
|超过 500 元|售价打八折|
按上述优惠条件,若小明这天只购买了甲种商品,实际付款 432 元,求小明这天在该商场购买甲种商品多少件.
答案：(1)50 解析:乙种商品每件的利润率为(60-40)/40×100%=50%.
(2)设购进甲种商品x件,购进乙种商品y件,根据题意,可得{x+y=50,50x+40y=2100,解得{x=10,y=40.答:购进甲种商品10件.
(3)根据题意,小明购买了甲种商品,实际付款432元,设小明购买了甲种商品m件,可分为两种情况讨论.①若小明购买甲种商品的原售价超过380元,但不超过500元,则有80m×0.9=432,解得m=6,检验:当m=6时,购买甲商品的原售价为80×6=480(元),满足380＜480≤500,故m=6符合题意,即购买了甲种商品6件.②若小明购买甲种商品的原售价超过500元,则有80m×0.8=432,解得m=6.75,不合题意,舍去.综上所述,小明购买了甲种商品6件.
(2)设购进甲种商品x件,购进乙种商品y件,根据题意,可得{x+y=50,50x+40y=2100,解得{x=10,y=40.答:购进甲种商品10件.
(3)根据题意,小明购买了甲种商品,实际付款432元,设小明购买了甲种商品m件,可分为两种情况讨论.①若小明购买甲种商品的原售价超过380元,但不超过500元,则有80m×0.9=432,解得m=6,检验:当m=6时,购买甲商品的原售价为80×6=480(元),满足380＜480≤500,故m=6符合题意,即购买了甲种商品6件.②若小明购买甲种商品的原售价超过500元,则有80m×0.8=432,解得m=6.75,不合题意,舍去.综上所述,小明购买了甲种商品6件.