名师讲坛
例1 比较$\dfrac{666665}{666667}$和$\dfrac{777776}{777778}$的大小。
例1 比较$\dfrac{666665}{666667}$和$\dfrac{777776}{777778}$的大小。
答案：思路分析
仔细观察两个分数的分母与分子的差，先把这两个分数与$1$作差，再利用差的大小来判断原分数的大小。因为$1 - \dfrac{666665}{666667}=\dfrac{2}{666667}$，$1 - \dfrac{777776}{777778}=\dfrac{2}{777778}$，而$\dfrac{2}{666667}$和$\dfrac{2}{777778}$的分子相同，则$\dfrac{2}{666667}＞\dfrac{2}{777778}$，所以$\dfrac{666665}{666667}＜\dfrac{777776}{777778}$。解答：$\dfrac{666665}{666667}＜\dfrac{777776}{777778}$
仔细观察两个分数的分母与分子的差，先把这两个分数与$1$作差，再利用差的大小来判断原分数的大小。因为$1 - \dfrac{666665}{666667}=\dfrac{2}{666667}$，$1 - \dfrac{777776}{777778}=\dfrac{2}{777778}$，而$\dfrac{2}{666667}$和$\dfrac{2}{777778}$的分子相同，则$\dfrac{2}{666667}＞\dfrac{2}{777778}$，所以$\dfrac{666665}{666667}＜\dfrac{777776}{777778}$。解答：$\dfrac{666665}{666667}＜\dfrac{777776}{777778}$
1. 比较$\dfrac{777771}{777773}$和$\dfrac{888885}{888887}$的大小。
答案：1. $\dfrac{777771}{777773}＜\dfrac{888885}{888887}$ 【提示】$1-\dfrac{777771}{777773}=\dfrac{2}{777773}$，$1-\dfrac{888885}{888887}=\dfrac{2}{888887}$。因为$\dfrac{2}{777773}＞\dfrac{2}{888887}$，所以$\dfrac{777771}{777773}＜\dfrac{888885}{888887}$。
例2 若$\dfrac{7}{5}＜\dfrac{17}{□}＜\dfrac{10}{7}$，则$□$里应填什么整数？
答案：思路分析
由于本题三个分数的分子都不同，可以把分子化成相同的数，$\dfrac{7×17×10}{5×17×10}＜\dfrac{17×7×10}{□×7×10}＜\dfrac{10×7×17}{7×7×17}$，即$\dfrac{1190}{850}＜\dfrac{1190}{□×70}＜\dfrac{1190}{833}$，推出$850＞□×70＞833$，所以$\dfrac{850}{70}＞□＞\dfrac{833}{70}$，即$12\dfrac{1}{7}＞□＞11\dfrac{9}{10}$，因此$□$里应填$12$。解答：$□$里应填$12$。
由于本题三个分数的分子都不同，可以把分子化成相同的数，$\dfrac{7×17×10}{5×17×10}＜\dfrac{17×7×10}{□×7×10}＜\dfrac{10×7×17}{7×7×17}$，即$\dfrac{1190}{850}＜\dfrac{1190}{□×70}＜\dfrac{1190}{833}$，推出$850＞□×70＞833$，所以$\dfrac{850}{70}＞□＞\dfrac{833}{70}$，即$12\dfrac{1}{7}＞□＞11\dfrac{9}{10}$，因此$□$里应填$12$。解答：$□$里应填$12$。
2. 如果$\dfrac{5}{11}＜\dfrac{26}{□}＜\dfrac{6}{13}$，那么$□$里应填的整数是(
57
)。答案：2. 57 【提示】将分子化成相同的数，$\dfrac{5×26×6}{11×26×6}＜\dfrac{26×5×6}{□×5×6}＜\dfrac{6×5×26}{13×5×26}$，即$\dfrac{780}{1716}＜\dfrac{780}{□×30}＜\dfrac{780}{1690}$，推得$1716＞□×30＞1690$，所以$\dfrac{1716}{30}＞□＞\dfrac{1690}{30}$，即$57\dfrac{1}{5}＞□＞56\dfrac{1}{3}$，因此$□$里应填57。
解析：
将分子化为相同的数，$\frac{5×26×6}{11×26×6}＜\frac{26×5×6}{□×5×6}＜\frac{6×5×26}{13×5×26}$，即$\frac{780}{1716}＜\frac{780}{□×30}＜\frac{780}{1690}$。因为分子相同，分母越大分数越小，所以$1716＞□×30＞1690$，则$\frac{1716}{30}＞□＞\frac{1690}{30}$，计算得$57\frac{1}{5}＞□＞56\frac{1}{3}$，故$□$里应填的整数是57。
例3 一组有规律的数：$1$、$\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{3}{5}······$在这组数中，从左往右数，第八个数是多少？
答案：思路分析
仔细观察$1$、$\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{3}{5}$可知，可以把“$1$”看作$\dfrac{1}{1}$，从第$3$个数开始，后一个分数的分子是前两个分数的分子之和，分母是前两个分数的分母之和。根据此规律可以依次写出后面的分数，进而确定第八个数。解答：第八个数是$\dfrac{21}{34}$。
仔细观察$1$、$\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{3}{5}$可知，可以把“$1$”看作$\dfrac{1}{1}$，从第$3$个数开始，后一个分数的分子是前两个分数的分子之和，分母是前两个分数的分母之和。根据此规律可以依次写出后面的分数，进而确定第八个数。解答：第八个数是$\dfrac{21}{34}$。
3. 已知一串分数：$\dfrac{1}{1}$、$\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{2}{2}$、$\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{3}{3}$、$\dfrac{1}{4}$、$\dfrac{2}{4}$、$\dfrac{3}{4}$、$\dfrac{4}{4}······$第$2027$个分数是(
$\dfrac{11}{64}$
)。答案：3. $\dfrac{11}{64}$ 【提示】因为$1 + 2 + 3 + ··· + 63 = 2016$，所以前63组共有2016个分数，$2027 - 2016 = 11$（个），所以第2027个分数就应该是第64组的第11个分数，即这个分数是$\dfrac{11}{64}$。
解析：
因为$1 + 2 + 3 + ··· + 63 = \frac{63×(63 + 1)}{2} = 2016$，所以前63组共有2016个分数。$2027 - 2016 = 11$，则第2027个分数是第64组的第11个分数，即$\frac{11}{64}$。