例 1 王老师带领社团学生去植树，学生恰好平均分成 4 组，如果王老师和每名学生植树一样多，那么他们一共植了 539 棵。这个社团有多少名学生？每人植树多少棵？
答案：思路分析
根据每人植树数量 × 人数 = 539，把 539 分解质因数，539 = 7 × 7 × 11，如果每人植树 7 棵，那么这个社团就有 7 × 11 - 1 = 76（名）学生；如果每人植树 11 棵，那么这个社团就有 7 × 7 - 1 = 48（名）学生。解答：539 = 7 × 7 × 11
每人植树 7 棵，7 × 11 - 1 = 76（名）
每人植树 11 棵，7 × 7 - 1 = 48（名）
答：这个社团有 76 名学生，每人植树 7 棵，或有 48 名学生，每人植树 11 棵。
根据每人植树数量 × 人数 = 539，把 539 分解质因数，539 = 7 × 7 × 11，如果每人植树 7 棵，那么这个社团就有 7 × 11 - 1 = 76（名）学生；如果每人植树 11 棵，那么这个社团就有 7 × 7 - 1 = 48（名）学生。解答：539 = 7 × 7 × 11
每人植树 7 棵，7 × 11 - 1 = 76（名）
每人植树 11 棵，7 × 7 - 1 = 48（名）
答：这个社团有 76 名学生，每人植树 7 棵，或有 48 名学生，每人植树 11 棵。
1. 某班同学在班主任李老师带领下去种树，学生恰好平均分成 3 组，如果师生每人种树一样多，一共种了 1073 棵，那么平均每人种了多少棵？
答案：1073=29×37
37-1=36(人) 36÷3=12(人)
37人平均每人种29棵树。
【提示】根据每人种树数量×参加人数=1073,把1073分解质因数:1073=29×37,再根据学生恰好平均分成3组可知:参加种树的人数是3的倍数多1,由于只有37是3的倍数多1,所以有37人,平均每人种29棵树。
37-1=36(人) 36÷3=12(人)
37人平均每人种29棵树。
【提示】根据每人种树数量×参加人数=1073,把1073分解质因数:1073=29×37,再根据学生恰好平均分成3组可知:参加种树的人数是3的倍数多1,由于只有37是3的倍数多1,所以有37人,平均每人种29棵树。
例 2 有一根 20 厘米长的绳子，从一端起每隔 2 厘米做一个记号，每隔 5 厘米也做一个记号，然后沿着标有记号的地方剪断。这根绳子一共被剪成了多少段？
答案：思路分析
每隔 2 厘米做一个记号，一共会做 20 ÷ 2 - 1 = 9（个）记号；同理，每隔 5 厘米做一个记号，一共会做 20 ÷ 5 - 1 = 3（个）记号。一共有 9 + 3 = 12（个）记号，但既是 2 厘米又是 5 厘米的倍数位置的记号是重复的，2 和 5 的最小公倍数是 10，即会有 20 ÷ 10 - 1 = 1（个）记号是重复的，则一共做了 12 - 1 = 11（个）记号，因此一共被剪成了 11 + 1 = 12（段）。解答：20 ÷ 2 - 1 = 9（个）
20 ÷ 5 - 1 = 3（个） [2,5] = 10
20 ÷ 10 - 1 = 1（个）
9 + 3 - 1 = 11（个）
11 + 1 = 12（段）
答：这根绳子一共被剪成了 12 段。
每隔 2 厘米做一个记号，一共会做 20 ÷ 2 - 1 = 9（个）记号；同理，每隔 5 厘米做一个记号，一共会做 20 ÷ 5 - 1 = 3（个）记号。一共有 9 + 3 = 12（个）记号，但既是 2 厘米又是 5 厘米的倍数位置的记号是重复的，2 和 5 的最小公倍数是 10，即会有 20 ÷ 10 - 1 = 1（个）记号是重复的，则一共做了 12 - 1 = 11（个）记号，因此一共被剪成了 11 + 1 = 12（段）。解答：20 ÷ 2 - 1 = 9（个）
20 ÷ 5 - 1 = 3（个） [2,5] = 10
20 ÷ 10 - 1 = 1（个）
9 + 3 - 1 = 11（个）
11 + 1 = 12（段）
答：这根绳子一共被剪成了 12 段。
2. 在一根长木棍上，有三组刻度线，第一组刻度线把木棍分成 10 等份，第二组刻度线把木棍分成 12 等份，第三组刻度线把木棍分成 15 等份。如果沿每条刻度线把木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？
答案：10,12和15的最小公倍数是60,设木棍为60厘米,60÷10=6(厘米),60÷12=5(厘米),60÷15=4(厘米)。
10等份的为第一种刻度线,共10-1=9(条);
12等份的为第二种刻度线,共12-1=11(条);
15等份的为第三种刻度线,共15-1=14(条)。
第一种与第二种刻度线重合的条数:6和5的最小公倍数是30,60÷30-1=1(条)。
第一种与第三种刻度线重合的条数:6和4的最小公倍数是12,60÷12-1=4(条)。
第二种与第三种刻度线重合的条数:5和4的最小公倍数是20,60÷20-1=2(条)。
三种刻度线重合的没有,6,5和4的最小公倍数是60。
因此,共有刻度线9+11+14-1-4-2=27(条),木棍总共被锯成27+1=28(段)。
【提示】根据最小公倍数的知识点,计算木棍上共有多少条不同的刻度线即可。
10等份的为第一种刻度线,共10-1=9(条);
12等份的为第二种刻度线,共12-1=11(条);
15等份的为第三种刻度线,共15-1=14(条)。
第一种与第二种刻度线重合的条数:6和5的最小公倍数是30,60÷30-1=1(条)。
第一种与第三种刻度线重合的条数:6和4的最小公倍数是12,60÷12-1=4(条)。
第二种与第三种刻度线重合的条数:5和4的最小公倍数是20,60÷20-1=2(条)。
三种刻度线重合的没有,6,5和4的最小公倍数是60。
因此,共有刻度线9+11+14-1-4-2=27(条),木棍总共被锯成27+1=28(段)。
【提示】根据最小公倍数的知识点,计算木棍上共有多少条不同的刻度线即可。